初中数学华东师大版（2024）九年级下册二次函数的图象与性质教案

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级下册二次函数的图象与性质教案，共42页。教案主要包含了自学导纲，合作互动，反馈训练，导学归纳，作业等内容，欢迎下载使用。
教学目标
☞知识与技能
1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念.
2．掌握二次函数y＝ax2的图象和性质．
☞过程与方法
通过数形结合进一步理解二次函数的性质．
☞情感、态度与价值观
1．在画图、观察、比较等探究活动中，形成良好的思维习惯和学习方法．
2．在探究二次函数y＝ax2的性质活动中，体会通过探究得到发现问题的乐趣．
重点难点
☞重点
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和由图象概括二次函数y＝ax2的性质．
☞难点
二次函数y＝ax2性质的应用．
教学过程
一、自学导纲
1．前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，学习了二次函数的概念后，接着要研究什么问题？
2．想一想，一次函数的性质是怎样研究的？
(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．)
3．我们能否类比一次函数性质来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？
(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)
4．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？
(由此引出课题．)
二、合作互动
问题1：画二次函数y＝ax2的图象
请用描点法画出y＝x2的图象(学生画出)．
说明和建议：
1．在画图象前，可以指导学生复习描点法画函数图象的方法．
2．观察y＝x2的自变量x的取值范围．引导学生回忆前面学过的内容，列表时如何合理选值？以什么数为中心？
3．列表时应注意描点的方便，可告诉学生x取整数，可以以1为间距取值．
4．列表时应注意到x取相反数时，y的值相同，这样列表就可简捷一些，连线前要观察所描的点位置，它们不在一条直线上，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或按自变量从大到小的顺序连接．
5．要引导学生讨论这样画出的y＝x2的图象是实际图象的一部分，还是它的全部？所画函数图象是准确的，还是近似的？
6．在学生画完的基础上，教师板演画函数y＝ax2的图象．
(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图所示．
问题2：请观察y＝x2的图象，它有什么特点？
说明和建议：
1．这个问题具有开放性，不同层次的学生可总结概括出不同的结论．
2．让学生观察、思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．
教师在学生发言的基础上，借助上面所画的图象，指出有关概念：抛物线及这个函数图象的对称轴、开口方向、顶点坐标等．
归纳：二次函数y＝x2的图象是一条曲线，这条曲线叫抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点，抛物线y＝x2的顶点是原点．
问题3：(1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？
(2)在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？
(3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
说明与建议：
对于(1)，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点．两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y＝x2的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下．
对于(2)，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点教师可引导学生类比(1)得出．
对于(3)，教师可引导学生从(1)的共同点和(2)的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它们的顶点坐标都是(0，0)．
在学生完成、交流的基础上，教师展示图象并归纳．
函数y＝ax2的图象是一条________，它关于________对称，它的顶点坐标是________．
思考：如果要更细致地研究函数y＝ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么？
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空：
当a＞0时，抛物线y＝ax2开口________．在对称轴的左边，曲线自左向右________；在对称轴的右边，曲线自左向右________．________是抛物线上位置最低的点．
问题4：观察图象，y随x的变化如何变化？
说明与建议：
1．可让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空：
当x＜0时，函数值y随着x的增大而________，当x＞0时，函数值y随x的增大而________；当x＝________时，函数值y＝ax2(a＞0)取得最小值，最小值y＝________．
以上结论就是当a＞0时，函数y＝ax2的性质．
思考以下问题：
观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？
让学生思考、讨论、交流，达成共识，当a＜0时，抛物线y＝ax2开口向下．在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．顶点是抛物线上位置最高的点．图象的这些特点，反映了当a＜0时，函数y＝ax2的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0.
例 在同一坐标系中，二次函数y＝3x2，y＝x2，y＝－4x2的图象的共同点是( )
A．关于y轴对称，开口方向向上
B．关于y轴对称，顶点坐标为(0，0)
C．关于y轴对称，最高点都是原点
D．关于y轴对称，x＜0时，y随x的增大而减小
分析：二次函数y＝ax2，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，故A错误；开口向上时有最低点，开口向下时，有最高点，故C错误；当a＜0，x＜0时，y随x的增大而增大．故D错误．
解答：选B
三、反馈训练
基础练习
1．二次函数y＝πx2的顶点坐标是____________，对称轴是________，图象在x轴的________(顶点除外)，开口向________，当x________时，y随x的增大而减小，当x________时，y随x的增大而增大．
2．观察函数y＝x2的图象，则下列判断中正确的是( )
A．若a，b互为相反数，则x＝a与x＝b的函数值相等
B．对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应
C．对于一个实数y，有两个x和它对应
D．对任意实数x，都有y＞0
3．在函数y＝ax2中，当a＜0时，设自变量x1、x2的对应值分别为y1，y2，当x1＞x2＞0时，必有y1＜y2吗？为什么？
拓展练习
4．已知函数y＝(k2＋k)xk2－2k－1是二次函数，它的图象开口________，当x________时，y随x的增大而增大．
5．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象．
四、导学归纳
本节课你学到了什么，还有什么困惑？
引导学生从二次函数y＝ax2的图象形状、画法、对称轴、顶点、开口方向和增减性总结．
五、作业
1．《能力培养与测试》同步课时作业．
2．课下思考：
(1)已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则k＝________．
(2)已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2.
①求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
②根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的周长；
③根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质教学目标
☞知识与技能
1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象.
2．理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．
3．体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法．
☞过程与方法
先画出y＝ax2＋k与y＝ax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律．
☞情感、态度与价值观
1．结合探究函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象平移规律的过程继续渗透数形结合思想方法．
2．在探究二次函数y＝ax2＋k性质的过程中，成就学生的成就感，进一步增强学生学习的自信心．
重点难点
☞重点
二次函数y＝ax2＋k的图象和性质．
☞难点
理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．
教学过程
一、自学导纲
1．二次函数y＝2x2的图象是__________，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，当x＝________时，取最________值，其最________值是________．
2．二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
二、合作互动
例 在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象，并指出它们的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，说出三个函数图象的异同点．
解答：用描点法可以作出三个函数的图象，如图所示，y＝x2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点(0，0)；y＝x2＋2的图象的开口向上，对称轴为y轴、顶点为点(0，2)；y＝x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为点(0，－2)．从三个函数的图象可以看出，它们的开口方向、形状大小、对称轴相同，只是顶点的位置不同．
总结反思：二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k的图象的对称轴相同，开口大小相同，开口方向相同，形状相同，顶点的位置不同．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2向上或向下平移得到．
探究1 二次函数y＝ax2＋k的图象
(1)对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？
(画出函数y＝x2＋1和函数y＝x2的图象，并加以比较．)
(2)请你在同一坐标系中画出函数y＝x2＋1和函数y＝x2的图象
说明：①让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．
②教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝x2＋1的图象．
③教师写出解题过程，与学生所画图象进行比较．
(3)当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
说明：①教师引导学生观察画函数图象时所列的表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系？由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的函数值都比函数y＝x2的函数值大1.
②教师引导学生观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，研究一些特殊点的位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．
(4)观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y＝x2＋1和y＝x2的图象之间的关系吗？
归纳：①相同点：开口方向相同，对称轴相同；不同点：顶点坐标位置不同．
②y＝x2＋1的图象和y＝x2的图象形状相同，开口方向相同，y＝x2＋1的图象可以由y＝x2的图象向上平移1个单位得到．
探究2 根据上面讨论，你能由y＝x2的性质得到y＝x2＋1的性质吗？
说明：让学生用类比的方法得到性质，可从对称轴左右两侧考虑．可让学生完成下列填空：当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________．
以上就是函数y＝x2＋1的性质
探究3 你能说出y＝－x2＋1的图象与性质吗？
说明：小组合作交流，得出结论，并发言回答．最后教师归纳．
y＝－x2＋1的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最大值．
思考：根据上面的讨论，你能得出二次函数y＝ax2＋k的图象与性质吗？
归纳：二次函数y＝ax2＋k的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)．当a＞0时，它的开口向上；x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最小值，最小值为k.当a＜0时，它的开口向下；x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y取最大值，最大值为k.
三、反馈训练
在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2＋1得到抛物线y＝－x2－1.
四、导学归纳
1．通过本节学习，你有哪些收获？
2．你对本节课有什么疑惑？
五、作业
必做题
1．《能力培养与测试》同步课时作业．
2．函数y＝－2x2＋5，当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x＝________时，函数值y取最________值________．
选做题
3．试说出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象所具有的共同性质．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系与区别．
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
教学目标
☞知识与技能
1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2．理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系．
3．体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法．
☞过程与方法
先画出y＝ax2＋k与y＝ax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律．
☞情感、态度与价值观
1．结合探究函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象平移规律的过程继续渗透着数形结合思想方法．
2．在探究二次函数y＝a(x－h)2性质的过程中，造就学生的成就感，进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心．
重点难点
☞重点
二次函数y＝a(x－h)2图象和性质．
☞难点
把抛物线y＝ax2通过平移后得到y＝a(x－h)2时，确定平移的方向和距离．
教学过程
一、自学导纲
1．已知y＝－x2，y＝－x2－1，回答：
(1)两条抛物线的位置关系；
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标；
(3)说出它们所具有的公共性质．
2．二次函数y＝(x－2)2的图象是怎样的一条抛物线，它与二次函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？
二、合作互动
1．思考：你将用什么方法来研究上面提出的问题2?
(画出二次函数y＝(x－2)2和二次函数y＝x2的图象，并加以观察．)
2．画图：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝(x－2)2和二次函数y＝x2的图象．
说明：(1)学生完成表格.
(2)画出图象．
(3)解决情景引入第2题．
①教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
②让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝(x－2)2与y＝x2的图象开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝(x－2)2的图象可以看作是函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到的，它的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)．
3．探究
例 已知二次函数y＝(x＋b)2，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求b的值及该二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，y取最小值？最小值是多少？
(3)若点A(m，y1)，B(m＋1，y2)都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
解答：(1)把x＝3，y＝0代入关系式，0＝(3＋b)2，解得b＝－3，所以该函数为y＝(x－3)2.
(2)当x＝3时，y取最小值，最小值为0.
(3)当m＜2.5时，y1＞y2；当m＝2.5时y1＝y2；当m＞2.5时，y1＜y2.
4．探讨：(1)你可以由函数y＝x2的性质，得到函数y＝(x－2)2的性质吗？
①教师引导学生回顾二次函数y＝x2的性质，并观察二次函数y＝(x－2)2的图象；
②让学生完成以下填空：
当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x＝________时，函数取得最________值y＝________．
(2)在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？y＝－(x＋2)2有哪些性质？
4．总结：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质．
一般规律
①y＝a(x－h)2的图象特点如下表：
②性质：若a＞0，当x＜h时，函数值y随x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函数取得最小值，最小值y＝0.
若a＜0，当x＜h时，函数值y随x的增大而增大；当x＞h时，函数值y随x的增大而减小；当x＝h时，函数取得最大值，最大值y＝0.
③y＝a(x－h)2平移规律：当h＞0时，将抛物线y＝ax2向右平移h个单位；当h＜0时，将抛物线y＝ax2向左平移|h|个单位．
三、反馈训练
1．基础练习
抛物线y＝(x－1)2的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它可以看作是由抛物线y＝x2向________平移________个单位得到的．
2．拓展练习
(1)怎样平移函数y＝－(x－2)2的图象，就可得到函数y＝－(x＋5)2的图象？
(2)将抛物线y＝ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为－2，且新抛物线经过点(1，3)，求a的值．
四、导学归纳
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别？
2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗？
3．谈谈本节课的收获和体会．
五、作业
1．不画出图象，请你说明抛物线y＝5x2与y＝5(x－4)2之间的关系．
2．已知函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2.
(1)在同一直角坐标系中画出它们的函数图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y＝－x2的图象得到函数y＝－(x＋2)2和函数y＝－(x－2)2的图象？
(4)分别说出各个函数的性质．
选做题
3．试说出二次函数y＝x2＋2x＋1图象的对称轴、顶点坐标、开口方向，最大(或最小)值；当x取什么值时，y随x增大而增大．
(提示：将y＝x2＋2x＋1化为y＝(x＋1)2后求．)
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
y＝(x－2)2
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝x2
y＝(x－2)2
x
…
1
2
3
4
5
6
…
y
…
4
1
0
1
4
9
…
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0
向上
a＜0
向下
x＝h
(h，0)
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
教学目标
☞知识与技能
会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质．
☞过程与方法
先由y＝a(x－h)2＋k型的五个特例入手，再推广到一般，归纳出结论．
☞情感、态度与价值观
结合函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象平移规律的探究过程，继续渗透数形结合的方法．
重点难点
☞重点
二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
☞难点
二次函数y＝a(x－h)2＋k图象与y＝ax2图象之间的关系．
教学过程
一、自学导纲
我们学习了形如y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2的函数，知道了它们可以经过相互平移得到．二次函数y＝a(x－h)2＋k又是怎样的一条抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？
二、合作互动
1．探究
例 已知函数y＝2(x－3)2－8.
(1)写出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标；
(2)求出图象与x轴的交点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小；
(4)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大(小)值；
(5)函数图象可由y＝2x2的图象经过怎样的平移得到．
分析：本题综合考查函数y＝a(x－h)2＋k的图象及性质，特别注意图象与x轴的交点坐标即要求出y＝0时的x的值，则需解一元二次方程求得．
解答：(1)∵a＝2＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，－8)．
(2)令y＝0，即2(x－3)2－8＝0，
整理，得x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1，x2＝5.
故图象与x轴交于(1，0)，(5，0)．
(3)当x＞3时y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小．
(4)当x＝3时，y有最小值，最小值是－8.
(5)函数图象可由y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移8个单位得到．
总结反思：综合运用函数y＝a(x－h)2＋k的图象特点及性质求解，熟记这些基础知识是解题关键．
在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝(x－2)2＋1的图象，并写出它们的开口方向、对称轴及顶点．
说明：在画图时，可引导学生注意以下问题：
①列表时，要合理选值，选值时先考虑对称性质，其次尽量选整数，方便计算、描点．前两个函数的对称轴是y轴，选值以x＝0为中心．第三个函数的对称轴尚不清楚，可对照y＝a(x－h)2，作出初步的判断．计算y值，只要计算对称轴一侧的值，另一侧由对称性直接填空．另外，注意观察三个函数解析式的特点，后两个函数值的计算，可以利用第一个函数的运算结果．
②描点时，一般可先定顶点，然后利用对称性，描出各对称点．
③连线时，特别要注意顶点附近的大致趋向，最后画得抛物线应平滑、对称、并且符合抛物线的特点．
④让学生完成下列填空：它们的开口方向都向________，对称轴分别为________、________、________，顶点坐标分别为________、________、________．
观察归纳：观察上面所画函数的图象并进行比较，你认为函数y＝(x－2)2＋1的图象有何特点？
说明：让学生充分表达自己的见解．在这个基础上，再设问：①函数y＝x2＋1的图象与函数y＝x2的图象两者之间有什么关系？(形状相同，位置不同)②函数y＝(x－2)2与y＝x2＋1之间有什么关系？
最后让学生归纳得y＝(x－2)2＋1图象特点：开口向上，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)，顶点是图象的最低点．
(3)函数y＝(x－2)2＋1有哪些性质？
说明：学生类比y＝x2的性质得出．
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＝2时，y取最小值1.
2．归纳：根据上面的讨论，请你用类比的方法归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质．
说明：教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识．
(1)图象：可让学生完成教材第16页练习第3题．
(2)性质：若a＞0，当x＜h时，函数值y随x的增大而减小，当x＞h时，函数值y随x的增大而增大，当x＝h时，y取最小值k；若a＜0，当x＜h时，函数值y随x的增大而增大，当x＞h时，函数值y随x的增大而减小．当x＝h时，y取最大值k.
3．做一做：
你能说出函数y＝－(x－1)2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y＝－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标是(1，2)．)
三、反馈训练
1．基础练习
(1)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、最大值或最小值．
①y＝2(x－4)2－13；②y＝2(x－4)2＋13；③y＝－5(x－7)2－13；④y＝－3(x＋2)2＋1.
(2)将抛物线y＝2(x－4)2－1如何平移可得到抛物线y＝2x2( )
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．拓展练习
把抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y＝x2，求b、c的值．
四、导学归纳
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y＝a(x－h)2＋k中k的值；左右平移，只影响h的值．抛物线的形状不变．所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
五、作业
1．二次函数y＝－5(x－2)2－1，图象是________，开口________，对称轴是直线______，顶点坐标为________，当x________时，函数y随x的增大而增大，当________时，y随x的增大而减小，当x________时，函数y有最________值是________．
2．抛物线y＝－(x－8)2＋2的顶点坐标是( )
A．(2，8) B．(8，2)
C．(－8，2) D．(－8，－2)
3．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
y＝－3x2，y＝－3(x＋2)2，y＝－3(x＋2)2－1，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．二次函数y＝5(x＋2)2＋3的图象与y＝5(x－3)2＋4的图象如何相互平移得到．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
教学目标
☞知识与技能
1．经历求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点的过程．
2．能通过配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并掌握二次函数的性质．
☞过程与方法
通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)等过程，让学生从中学会探索新知的方式方法．
☞情感、态度与价值观
经历求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合思想方法．
重点难点
☞重点
通过配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式，求对称轴和顶点坐标．
☞难点
二次函数性质的综合应用．
教学过程
一、自学导纲
1．写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴．
(1)y＝2x2；(2)y＝3(x－1)2；
(3)y＝－x2＋1；(4)y＝3(x－2)2＋3.
2．填空：
(1)x2＋6x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2－x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋6x－9＝(x＋________)2＋________；
(4)x2－5x＋8＝(x－)2＋________．
3．情景引入
不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
二、合作互动
例 已知二次函数y＝2x2－4x－6，
(1)求出此函数的顶点坐标及对称轴；
(2)当x取何值时，函数有最值？最值是多少？
(3)当x取何值时，函数值y随x的增大而减小？
分析：解决此题的关键是将二次函数的一般式化为顶点式，可以直接配方也可用顶点坐标公式．
解答：y＝2x2－4x－6
＝2(x2－2x)－6
＝2(x2－2x＋1－1)－6
＝2(x－1)2－8
(1)此函数图象的顶点为(1，－8)，对称轴为x＝1；
(2)当x＝1时，函数有最小值，最小值为－8；
(3)当x＜1时，y随x的增大而减小．
总结反思：求二次函数的顶点坐标或最值有两种方法：(1)将一般式化为顶点式；(2)直接运用公式．
问题1：(1)将函数y＝x2－12x＋42写成y＝a(x－h)2＋k的形式，并确定这个抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标．
说明：①根据复习回顾2学生不难完成，对有困难的学生要给予引导．
②指出这种求抛物线顶点坐标的方法叫配方法．并指出与用配方法解一元二次方程的异同点．
(2)根据解题方法，解决情景引入中的问题．
问题2：你能根据上面的方法写出抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴和二次函数的性质吗？
说明：先让学生独立完成，然后小组交流，形成共识．最后教师给出解答．
y＝ax2＋bx＋c＝a＋c＝a[x2＋x＋－()2]＋c＝a＋.所以顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；若a＞0，则抛物线的开口向上，当x＞－时，函数值y随x的增大而增大；当x＜－时，函数值y随x的增大而减小，当x＝－时，y取最小值；若a＜0，则抛物线的开口向下，当x＞－时，函数值y随x的增大而减小，当x＜－时，函数值y随x的增大而增大，当x＝－时，y取最大值.这就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质．
问题3：请你画出二次函数y＝－2x2＋4x＋6的图象．
(学生讨论合作完成)
解：y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x2－2x)＋6＝－2(x2－2x＋1－1)＋6＝－2[(x－1)2－1]＋6＝－2(x－1)2＋8.
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，8)．
由对称性列表：
描点、连线，如图所示．
说明：(1)列表时选值，应以对称轴x＝1为中心，间距要适当，函数值可由对称性得到．
(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
思考：画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，应注意什么？
三、反馈训练
1．基础练习
(1)抛物线y＝2x2＋4x＋5的对称轴是x＝________．
(2)二次函数y＝2x2－2x－1的图象的顶点是________，当x________时，y随x的增大而减小．
2．拓展练习
(1)开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝________．
(2)已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
四、导学归纳
本节课你有哪些收获？
(1)教师引导学生从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)顶点坐标、对称轴、最大(小)值及平移规律等总结．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的画法．
五、作业
必做题
《能力培养与测试》同步课时作业．
选做题
1．当a＜0时，求抛物线y＝x2＋2ax＋1＋2a2的顶点所在的象限．
2．已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的顶点坐标．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－10
0
6
8
6
0
－10
…
第5课时 二次函数最值的应用
教学目标
☞知识与技能
1．会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值．
2．能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．
☞过程与方法
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
☞情感、态度与价值观
通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识．
重点难点
☞重点
会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值．
☞难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
教学过程
一、自学导纲
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10.
2．求二次函数的最大值或最小值的方法有几种？求下列函数的最大值或最小值．
(1)y＝x2＋2x－3；(2)y＝1＋2x－x2.
3．在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如求最大利润、最大面积，花费最小等，这些问题常常与二次函数的最大值或最小值有关．它们的实质是求什么？
二、合作互动
1．应用举例
例1 李强的叔叔以每件8元的价格进了一批商品，售价为每件12元，每天可售100件，他想通过提高售价来增加利润，但他发现价格每增加1元时，每天少卖5件，问李强的叔叔将售价定为多少时获利最大？获得最大利润为多少元？
解答：设李强的叔叔将售价定为x元时，销量为y件，获利为P(元)，则销售量y＝100－5(x－12)＝160－5x，∴获得利润P＝(x－8)(160－5x)＝－5x2＋200x－1280＝－5(x－20)2＋720，∴当x＝20时，P最大＝720，故当售价定在20元时每天获利最大，最大利润为720元．
总结反思：(1)建立数学模型，将实际问题转化为二次函数问题，并表示出二次函数关系式．(2)由二次函数性质求出这个二次函数的最大(小)值，即可求出实际问题的最大(小)值．(3)求二次函数的最大(小)值时，要注意自变量的取值范围，当顶点的横坐标在自变量的取值范围内时，最大(小)值在顶点处取得．当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，就要考虑给定范围的端点处的函数值．
例2 要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围才能使围成的花圃的面积最大？
解：设矩形的AB为x m，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.
围成的花圃面积y与x的函数关系式是
y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x，
配方得y＝－2(x－5)2＋50.
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.
因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.
所以应围成宽5m、长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．
2．归纳
通过以上两个例题的学习，你能总结一下用二次函数解决实际问题(求最大值或最小值)的方法吗？
分析等量关系，建立二次函数关系式，利用二次函数的性质，求出最大值或最小值．
3．拓展应用
用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
思考并解决以下问题：
(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少？(m)
(2)根据实际情况，x有没有限制？若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由．
让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即得到不等式组解这个不等式组，得到不等式组的解集为0＜x＜2，所以x的取值范围应该是0＜x＜2.
(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗？
在师生共同分析后，学生独立完成解答过程，并小组交流．
小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
(5)解决提出的实际问题．
三、反馈训练
(1)某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
(2)当2.5≤x≤3.5时，求二次函数y＝x2－2x－3的最大值或最小值．
思考：在求实际问题中的最大值或最小值时，应注意什么？
解析：应注意抛物线的顶点是否在自变量的取值范围内，若不在，则在顶点处不是最大值或最小值．
四、作业
1．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，那么m的值是________．
2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y(件)之间关系如下表：
若日销量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售定为多少元？此时每日销售利润是多少？
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.
(1)用含y的代数式表示AE；
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．x(元)
130
150
165
y(件)
70
50
35
26．2.3 求二次函数的表达式
教学目标
☞知识与技能
1．会利用待定系数法求二次函数关系式．
2．学会利用二次函数解决实际问题．
☞过程与方法
在解决实际问题中体会二次函数的应用．
☞情感、态度与价值观
体会实际解决问题的方法，为下一步探索打基础，培养热爱科学、勇于探索的精神．
重点难点
☞重点
掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的形式来求二次函数的关系式．
☞难点
熟记、区分并能灵活运用三种关系式，利用待定系数法求二次函数的关系式．
教学过程
一、自学导纲
1．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
(由此题引出新课——求二次函数的关系式．)
2．复习回顾
根据下列条件，分别写出相应的函数关系式．
1．y与x成正比，其图象过点P(2，1)；
2．函数y＝2kx＋k的图象过点(2，－5)；
3．一次函数图象过点(1，2)、(－3，5)．
二、合作互动
问题 解答上面的问题，运用了什么数学方法？运用这种数学方法的一般步骤是什么？
说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤．
例1 求满足下列条件的二次函数的关系式．
(1)图象经过A(0，3)，B(1，3)，C(－1，1)；
(2)图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点(2，－8)；
(3)图象经过A(－1，0)，B(3，0)，函数有最小值－8.
解答：(1)设所求函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，∵图象经过A(0，3)，∴3＝a×02＋b×0＋c，∴c＝3.又∵图象过B(1，3)，C(－1，1)，
∴，解得，
∴函数关系式为y＝－x2＋x＋3.
(2)∵图象顶点为(1，－6)，
∴可设其关系式为y＝a(x－1)2－6，
∵图象经过点(2，－8)，
∴－8＝a(2－1)2－6，
∴a＝－2，
∴关系式为y＝－2(x－1)2－6＝－2x2＋4x－8.
(3)∵函数有最小值是－8，且图象过(－1，0)，(3，0)
∴图象的顶点为(1，－8)
可设其关系式为y＝a(x－1)2－8
又∵图象过(－1，0)
∴a(－1－1)2－8＝0
∴a＝2，
∴关系式为y＝2(x－1)2－8＝2x2－4x－6.
总结反思：运用待定系数法确定二次函数关系式时，首先观察题目中所给的条件，根据不同的条件选择适当的关系式形式，然后代入点的坐标，通过解方程(组)求出字母系数的值，从而确定函数关系式．有时，条件的形式之间可以发生转化，要注意灵活运用．
例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的关系式．
解答：设所求的二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由这个函数的图象经过(0，1)，可得c＝1.又由于其图象过(2，4)、(3，10)两点，可得解这个方程组，得a＝，b＝－.
因此，所求的二次函数的关系式为y＝x2－x＋1.
说明：通常求二次函数的关系式，要列出三个方程；但如果一个二次函数关系式只有一个或两个待定的系数，就要列出一个或两个方程即可，一般地有几个待定的系数，就要列几个方程．此题是典型的根据三点坐标求其关系式，关键是：(1)熟悉待定系数法；(2)点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的关系式；(3)会解简单的三元一次方程组．
例3 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式．
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：
y＝a(x－8)2＋9.
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值．
请同学们完成本例的解答．
思考：当题目改为当x＝8时，y取最大值9，且图象过点(0，1)，你能求出这个二次函数的关系式吗？
说明：当题目中与标点坐标、对称轴方程、最大值、最小值有关时，一般将关系式设为y＝a(x－h)2＋k的形式．
三、反馈训练
1．已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是________．如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______．
3．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式．(用两种方法求解)
四、拓展运用
已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是2和3，与y轴的交点的纵坐标是72，求这个二次函数的关系式．
学生独立完成．
说明：(1)解题时，要注意挖掘题目中的隐含条件；
(2)可视学生的实际介绍第二种解法：设二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)＝a(x－2)(x－3)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标，把点(0，72)代入，即可求得a，从而求出关系式．
五、导学归纳
1．本节课你有哪些收获？
可引导学生总结：
(1)二次函数关系式常用的三种形式：
①一般式：____________________(a≠0)；
②顶点式：____________________(a≠0)；
③交点式：____________________(a≠0)．
(2)本节课是用待定系数法求函数关系式，应注意根据不同的条件选择合适的关系式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质．①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式；②当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式；③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．
2．你还有什么疑惑？
六、作业
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式．
3．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
课后反思：
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算．