华东师大版（2024）九年级下册圆中的计算问题教案及反思

这是一份华东师大版（2024）九年级下册圆中的计算问题教案及反思，共14页。教案主要包含了自学导纲，合作互动，反馈训练，导学归纳，作业等内容，欢迎下载使用。
教学目标
☞知识与技能
1．理解弧长、扇形面积公式的由来．
2．会利用公式计算弧长及扇形的面积．
☞过程与方法
1．在探究弧长计算公式时，体验从特殊到一般的学习方法．在推导扇形面积公式的过程中，学会类比的数学思想方法．
2．能用弧长、扇形面积公式解决一些实际问题．
☞情感、态度与价值观
通过弧长和扇形面积的发现与推导，提高学生运用已有知识探究问题获得新知的能力．
重点难点
☞重点
弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积．
☞难点
运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积．
教学过程
一、自学导纲
1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？
3．什么叫弧长？
4．如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗？(π取3.14)
二、合作互动
问题一 弧长公式
1．探索
上面的问题就是求90°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n°，如何计算它所对的弧长呢？
还记得圆的周长公式吗？弧是圆上的一部分，你能否借助圆的周长公式，来寻找弧长公式？请同学们计算半径为3cm，圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n°所对的弧长．
说明：(1)教师可引导学生通过等分圆周和圆心角的方法，探索计算弧长公式．
(2)等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式(这里关键是1°圆心角所对的弧长是多少，进而求出n°的圆心角所对的弧长)弧长的计算公式为：
l＝·2πr＝.
2．对应练习
(1)75度的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在的圆的半径是________cm.
(2)有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81度，求这段圆弧的半径R(精确到0.1m)．
(3)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB与D，若AC＝6，则的长为________．
问题二 扇形的面积
1．探索
(1)定义：如图由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
(2)由弧长推导公式，你能推导出扇形的面积公式吗？
说明：让学生完成下列填空：
(1)圆心角是180°，占整个周角的________，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的________；
(2)圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的________；
(3)圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的________；
(4)圆心角是1°，占整个周角的________，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的________；
(5)圆心角是n°，占整个周角的________，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的________．
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为：S＝＝×＝lr.
因此扇形面积的计算公式为S＝或S＝lr.
2．对应练习
(1)如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的________．
(2)圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．(π≈3.14)
(3)一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是________．
3．例题精讲
例1 如图，半圆O的直径AB＝10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．
分析：阴影部分是一个不规则的图形，因此要设法将它转化为规则图形的面积．连结OC、OD，则S△PCD＝S△COD，所以S阴＝S扇COD.
解答：连结CD，OC，OD.∵点C，D是半圆的三等分点，∴＝＝.∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.又OC＝OD，∴△OCD为正三角形，∴∠ODC＝60°，∴CD∥AB，∴S△PCD＝S△COD.∴S阴影＝S扇形OCD＝×π×52＝π.
总结反思：扇形的面积公式一般用于求组合图形或不规则图形的面积，常用的方法有：割补法，和差重组法，方程法，等积变形法等．计算时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形．
例2 如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB＝60°，求的长(结果精确到0.1)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1)．
分析：要求弧长和扇形面积，只知道圆心角，半径便可求，本题已满足．
解：的长＝π×10＝π≈10.5，
S扇形＝π×102＝π≈52.3.
因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.3.
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E.
(1)求证：△AOC≌△AOD；
(2)若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S.
解答：(1)证明：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB.
在Rt△AOC和Rt△AOD中，
∴Rt△AOC≌Rt△AOD(H.L)．
(2)设半径为r，在Rt△ODB中，r2＋32＝(r＋1)2，解得r＝4.
由(1)有AC＝AD，∴AC2＋92＝(AC＋3)2，解得AC＝12.∴S＝AC·BC－πr2＝×12×9－π×42＝54－8π.
三、反馈训练
1．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(阴影部分)的面积之和为( )
A.cm2 B.cm2
C．πcm2 D．2πcm2
2．如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形．点C、E、D分别在OA、OB、上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F.如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为________．
3．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度是多少？
4．如图是某工件形状，圆弧BC的度数为60°，AB＝6cm，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝30°，求工件的面积．
四、导学归纳
本节课你有什么收获？还有什么疑惑？
五、作业
1．《能力培养与测试》同步课时作业．
2．如图1，从P点引⊙O的两切线PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，求图中阴影部分的面积．
图1
图2
3．如图2，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，若AB＝1，那么曲线CDEF的长是( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
4．如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°.求图中阴影部分的面积．
课后反思：
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活运用割补法、转化法等．
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
教学目标
☞知识与技能
掌握圆锥的特征，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决圆锥的侧面积和全面积问题．
☞过程与方法
让学生通过观察、想象，再猜想结果，最后经过实践得出结论．
☞情感、态度与价值观
培养学生初步的空间想象能力和相应的计算能力．
重点难点
☞重点
圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积．
☞难点
经历探索圆锥侧面积计算公式．
教学过程
一、自学导纲
如图是蒙古包，请你仔细观察图片，说说整体框架近似地看成是由哪些几何体构成的？你知道包围在它外表毯的面积吗？
二、合作互动
1．圆锥的概念
我们知道圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．如图：
(1)母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．
(2)圆锥的高：连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．
如图中a就是圆锥的一条母线，而h就是圆锥的高．
2．探究归纳
教师把事先做好的圆锥分发给每个学习小组，引导学生，沿一条母线将侧面剪开．并思考下列问题：
(1)圆锥的侧面展开图是什么图形？
(2)这个扇形的弧长与底面图的周长有什么关系？
(3)圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形是半径与圆锥中的哪一条线段相等？
归纳：如图，圆锥的底面周长就是侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径．
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．
设圆锥的母线为a，底面圆的半径为r，那么这个圆锥侧面展开图扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以可得圆锥的侧面积为S圆锥侧面积＝πra，S全面积＝πra＋πr2.
3．典型例题
例1 已知圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，圆锥的底面积为16π，求圆锥的侧面积．
分析：设圆锥底面半径为r，侧面展开图的半径为R，根据2πr＝×πR求出R，再利用S＝即可求出侧面积．
解答：设圆锥底面半径为r，侧面展开图的半径为R，由πr2＝16π，得r＝4，由＝2π×4得R＝12，∴S扇形＝＝48π.
总结反思：求圆锥的侧面积时一定要弄清两个公式的区别：是立体图形时S侧＝πrl，r是底面圆的半径，l是母线长；是侧面展开图形时，圆锥侧面积就是扇形的面积公式S＝，这里的R是扇形的半径，也是圆锥的母线长．
例2 一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
解答：圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以
S侧＝×2πr×a＝πra；S底＝πr2；
S全＝πra＋πr2.
答：这个圆锥形零件的侧面积为πra，全面积为πra＋πr2.
三、反馈训练
1．小红量得一个圆锥的母线长为15cm，底面圆的直径是6cm，它的侧面积为________cm2(结果保留π)．
2．小刚制作了一个高12cm，底面直径为10cm的圆锥，这个圆锥的侧面积是________cm2.
3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为________(结果保留π)．
4．某抗震篷的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径为10米，母线长为6米，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是( )
A．30米2 B．60米2 C．30π米2 D．60π米2
5．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是( )
A．60° B．90° C．120° D．180°
6.在如图所示的扇形中，半径R＝10，圆心角＝144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．
(1)求这个圆锥的底面半径r；
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1)．
四、拓展练习
1．如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形．
(1)求这个扇形的面积(结果保留π)．
(2)在剩下的三块余料中，能否从第③块斜料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
2．(难题)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm.求：
(1)以BC所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积；
(2)以AB所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积．
五、导学归纳
1．圆锥的侧面积和全面积．
2．圆锥母线a、底面圆半径r，高h满足关系式h2＋r2＝a2；圆锥侧面展开图中扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
六、作业
1．根据下列条件求圆锥的侧面积和全面积．
①底面半径1cm，母线长3cm；
②俯视图半径为1cm，母线长3cm；
③底面周长4πcm，高1cm；
④主视图是等腰直角三角形且斜边长6cm.
2．《能力培养与测试》同步课时作业．
3．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
(1)如图(1)，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；
(2)如图(2)，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；
(3)如图(3)，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图(4)所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.
课后反思：
教学过程中，强调学生应熟悉掌握相关公式并会灵活运用．要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形各个量准确对应起来．