专题01 变量之间的关系【知识串讲+七大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版）

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专题01 变量之间的关系 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）变量与常量变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。【注意】①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。模块三考点一遍过考点1：常量与变量典例1：某超市苹果的单价是3元／斤，若购买x斤苹果的总价是y元，则其中的常量是（    ）A．3B．xC．yD．不确定【变式1】已知半径是R的圆，周长C=2πR，下列说法正确的是（    ）A．C，π，R是变量，2是常量B．C是变量，2，π，R是常量C．R是变量，2π，C是常量D．C，R是变量，2，π是常量【变式2】  在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：°C）．在这个问题中，变量是 ．【变式3】小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ．考点2：自变量与因变量典例2：汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　）A．汽车B．路程C．速度D．时间【变式1】圆的半径为r，面积S与r的关系式为S=πr2，下列判断正确的是（    ）A．r是因变量B．π是常量C．S是自变量D．S，π，r都是变量【变式2】  一空水池，现需注满水，水池深4.9m．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表：（1）自变量是 ，因变量是 ；（2）能推出注满水的时间是 ．【变式3】一个等腰三角形的周长为24，其中它的腰长x为自变量，底边长y为因变量，则用x表示y的关系式是 .考点3：表格表示两个变量关系典例3：学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下：请你帮小俊计算水烧开的时间为（     ）A．12:30B．12:33C．12:35D．12:38【变式1】下表是不同的海拔高度对应的大气压强的值，仔细分析表格中数据，下列说法中正确的是（    ）A．当海拔高度为2000m时，大气压强为70.7kpaB．随着海拔高度的增加，大气压强越来越大C．海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值是变化的D．珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强约为45kpa【变式2】  小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，他们得到如下数据：估计当支撑物的高度为100cm时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由 ．【变式3】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录，如果这种数量关系不变，则当室外温度为88°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是 次．考点4：关系式表示两个变量关系典例4：一个蓄水池已有25m3的水，现以每分钟0.3m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量y（m3）与注水时间t（分）之间的关系式为（   ）A．y=0.3t B．y=25t C．y=25−0.3t D．y=25+0.3t 【变式1】汽车离开汽车站20km后，以70km/h的速度匀速前进了xh，则汽车离开汽车站所走的路程ykm与时间xkm之间的关系式是（   ）A．y=20−70x B．y=20+70x C．y=70x D．y=70x−10 【变式2】  某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表：用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ．【变式3】一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为xg，yg，则y与x的关系式为 ．考点5：根据关系式求变量的值典例5：圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：请帮圆圆算一算，一次性放进高40cm的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（    ）  A．21B．22C．23D．24【变式1】弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长Lcm与重物质量xkg的关系如表所示：当重物质量为7.5kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长Lcm．（　　）A．25B．22.5C．30D．27.5【变式2】  某小组做“油的沸点”实验（沸点是指液体沸腾时候的温度），研究一种食用油的温度随加热时间变化而变化，他们得到如下数据：小红发现，加热到105s时油恰好沸腾，则油的沸点是 ℃．【变式3】某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法：①空气的温度越高声音传播的速度越快；②声音速度y与温度x关系式可以是y=−0.6x+330；③温度每升高10℃，声音速度增加6 m/s，其中正确的有 ．考点6：图像表示两个变量关系典例6：某电影院的某个电影的每张电影票的售价为58元，售票张数为x，票房收入为w元，在这个售票过程中，始终不变的量是（　　）A．售票的张数B．余票的张数C．每张电影票的售价D．该电影院的票房收入【变式1】如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（    ）A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）【变式2】  甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程skm与行驶时间t(h)之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 km/h．【变式3】如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为 ．考点7：从图像获取变量信息典例7：某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　）A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟B．王老师吃早餐用10分钟C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢【变式1】骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）  A．点P表示老刘出发5h，他一共骑行80kmB．老刘实际骑行时间为5hC．0~2h老刘的骑行速度为15km/hD．老刘的骑行在0~2h的速度比3~5h的速度慢【变式2】  小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程sm和小明所用时间tmin的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时5min；②小华到学校的平均速度是240m/min；③小明跑步的平均速度是100m/min；④小华到学校的时间是7：05．  【变式3】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的a=3.2，b=5.5；③甲比乙提前1小时完成工作．水的深度h/m0.71.42.12.8注水时间t/h0.511.52水温（°C）2240567082．．．．．．时间（时：分）12:0312:0812:1312:1812:23．．．．．．海拔高度/m010002000300040005000600070008000大气压强/kpa101.290.780.070.761.353.947.241.336.0支撑物的高度/cm102030405060708090小车下滑的时间/s4.233.002.452.131.891.711.591.501.41温度/°F7678808284…每分钟鸣叫的次数/次144152160168176…每小时加工件数（件）3020189…加工时间（小时）12182040杯子的数量x（只）123456…总高度ℎcm1011.412.814.215.617…重物质量xkg0.51.01.52.02.5弹簧总长Lcm1617181920时间ts01020304050油温y℃20406080100120温度（x℃）−20−100102030声速（ym/s）318324330336342348