第二章 第7讲 一元二次方程及应用-2026年广东中考数学一轮复习课件

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第7讲一元二次方程及应用1.方程 x2＝1 的根是()CAA.x＝1B.x＝－1C.x＝±1D.x＝±2)2.关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－8＝0 的根的情况是(A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x－a＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是________.D4.(2025 湖北)一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的两个实数根为 x1，)x2，下列结论正确的是(A.x1＋x2＝－4C.x1x2＝4B.x1＋x2＝3D.x1x2＝35.解方程：x2－6x＋5＝0.解：移项，得 x2－6x＝－5，方程两边都加上 9，得 x2－6x＋9＝－5＋9，即(x－3)2＝4，则 x－3＝±2，所以 x1＝5，x2＝1.6.(传统文化)(2025 辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为 x 步，根据题意可列方程为()AA.x(60－x)＝864C.x(60＋x)＝864B.x(x－60)＝864D.2[x＋(x＋60)]＝8641.一元二次方程(1)概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且二次项系数不为 0 的整式方程，叫做一元二次方程.(2)一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，注意 a≠0.a≠－11－1－5回练课本1.(1)若(a＋1)x2－4x－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 满足________；(2)方程 x2－x＝5 的二次项的系数是________，一次项的系数是________，常数项是_________.2.一元二次方程的解法(1)基本思路：降次.(2)方法：①直接开平方法：(x＋m)2＝n(n≥0)的根是_______________；②配方法：将 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化成__________________的形式，当____________时，用直接开平方法求解；③公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 x＝_____________________________________；b2－4ac≥0回练课本2.解下列方程：(1)x2＋2x＝0；(2)x2＋x－12＝0.(1)x1＝0，x2＝－2(2)x1＝3，x2＝－4④因式分解法：将方程右边化为 0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解.3.一元二次方程根的判别式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是 b2－4ac.(1)当 b2－4ac＞0 时，方程有_______________的实数根；(2)当 b2－4ac＝0 时，方程有____________的实数根；(3)当 b2－4ac＜0 时，方程______________.回练课本3. 有下列方程：①x2 －4x －7 ＝0 ；②2x2 － x ＋1 ＝0；③x2－8x＋17＝0.其中有两个不相等的实数根的是__________，无实数根的是__________.(填序号)①③两个不相等两个相等无实数根4.一元二次方程的根与系数的关系回练课本4.已知方程 x2－6x－15＝0 的两个根分别为 x1，x2，则：(1)x1＋x2＝__________；(2)x1·x2＝__________.6－155.一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程，最后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义.回练课本5.两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.若设其中一个数为x，则列方程得__________________.x(8－x)＝9.75一元二次方程的解及其解法1.若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－6＝0 的一个根，则 m＝________.2.用配方法解方程 x2－4x－1＝0 时，配方后正确的是()B.(x＋2)2＝17D.(x－2)2＝17A.(x＋2)2＝3C.(x－2)2＝53.方程 x2＝2x 的解是()A.x＝0B.x＝2C.x＝0 或 x＝2D.x＝ 5CC4.(2025 齐齐哈尔)解方程：x2－7x＝－12.解：整理得 x2－7x＋12＝0，因式分解得(x－4)(x－3)＝0，∴x－4＝0 或 x－3＝0，解得 x1＝4，x2＝3.解一元二次方程一般优先考虑直接开平方法，其次因式分解法，最后公式法或配方法.若题目要求用特定方法，则按要求解题.一元二次方程根的判别式5.已知关于 x 的方程 x2－(2k－2)x＋k2－1＝0 有两个实数根，A.－1B.1C.－1－2kD.2k－36.(2025 广东)不解方程，判断一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的根的情况是________________________.A有两个不相等的实数根7.已知关于 x 的一元二次方程 kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0 有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围；(2)当 k＝1 时，用配方法解方程.一元二次方程根与系数的关系9.(代数推理)(2025 南充)设 x1，x2 是关于 x 的方程(x－1)(x－2)＝m2 的两根.(1)当 x1＝－1 时，求 x2 及 m 的值；(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.(2)方程(x－1)(x－2)＝m2可化简为x2－3x＋2－m2＝0.∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0，∴方程有两个不相等的实数根.∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2.∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝－m2.∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0.一元二次方程的应用10.电动自行车已成为市民日常出行的常用工具.据某市某品牌电动自行车经销商 1 至 3 月份统计，该品牌电动自行车 1 月份销售 150 辆，3 月份销售 216 辆.(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；(2)假设每月的增长率相同，预计 4 月份的销量会达到 300 辆吗？解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x，由题意得 150(1＋x)2＝216，解得 x1＝－2.2(不合题意，舍去)，x2＝0.2＝20%，答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 20%.(2)4 月份的销量为 216×(1＋20%)＝259.2(辆)，∵259.2＜300，∴预计 4 月份的销量不会达到 300 辆.11.(2025 广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年 5 月产值达到2 500 万元，预计 7 月产值将增至 9 100 万元.设该公司 6，7 两个月产值的月均增长率为 x，可列出的方程为()AA.2 500(1＋x)2＝9 100B.2 500(1－x)2＝9 100C.2 500(1－2x)2＝9 100D.2 500(1＋2x)2＝9 10012.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用 18 m 的篱笆围成.生态园的面积能否为 40 m2？如果能，请求出 AB 的长；如果不能，请说明理由.13.(2022 广东)若 x ＝1 是方程 x2 －2x ＋a ＝0 的根，则 a ＝________.14.(2024 广东)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋c＝0 有两个相等的实数根，则 c＝________.15.(2019 广东)已知 x1，x2是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是( )11D16.(2021 广东)若一元二次方程 x2＋bx＋c＝0(b，c 为常数)的两根 x1，x2 满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为____________________.x2－2＝0(答案不唯一)运算能力特训——计算能力18.解方程：3x2＋4x－1＝0.(用配方法)19.某社区利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知 AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x 米的道路.已知铺花砖的面积为 640 m2.(1)求道路的宽是多少米？(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨 5 元，就会少租出 1 个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为 10 125 元？解；(1)根据道路的宽为 x 米，根据题意得，(52－2x)(28－2x)＝640，解得 x1＝34(舍去)，x2＝6.答：道路的宽为 6 米.(2)设月租金上涨 a 元，∵停车场月租金收入为 10 125 元，答：每个车位的月租金上涨 25 元时，停车场的月租金收入为10 125 元.教材难题生长——思维能力20.(北师9上P33 问题解决改编)(运算能力、几何直观、应用意识)(数学文化)从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿的长.解：设竹竿的长为 x 尺，由题意得(x－4)2＋(x－2)2＝x2，即 x2－12x＋20＝0，解得 x1＝2(不符题意，舍去)，x2＝10.答：竹竿的长为 10 尺.21.(人教9上P18 阅读与思考、P22 拓广探索改编)(运算能力、几何直观、应用意识)人们把这个数叫做黄金分割数.五角星是常见的图案，如图，在正五角星中存在黄金分割数，有 BF2＝FG·BG，已知 BG＝2，则 FG＝________.1.将一元二次方程 3x2－2＝4x 化成一般形式后，若二次项的系数是 3，则一次项的系数是()CA.－2B.2C.－4D.42.若关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0 的一个根是x＝0，则 a 的值为()AA.2B.－2C.2 或－2D.123.根据如下表格可知，方程 x2＋3x－1＝0 的一个解的范围为()CA.0.28＜x＜0.29C.0.30＜x＜0.31B.0.29＜x＜0.30D.0.31＜x＜0.324.(2025 潍坊)若一元二次方程 x2－2x＋c＝0 有两个相等的实根，则 c 的值为()DA.－1B.01C.2D.15.(1)解方程：4(x－1)2－9＝0；(2)(2025 徐州)解方程：x2＋2x－4＝0.6.解方程：2x2＋x－2＝0.7.已知方程 x2－2x＋k＝0 的一个根为－2，则方程的另一个根为________.8.为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排 28 场比赛，设邀请 x 个球队参加比赛，可列方程得()4A9.小淇在计算正数 a 的平方时，误算成 a 与 2 的积，求得的答案比正确答案小 1，则 a 的值为()C10.随着“互联网＋教育”的发展，某市逐步推出“空中课堂”，为学生提供线上授课.据统计，第一批受益学生为 10 万人次，第三批受益学生为 14.4 万人次.如果第二批、第三批受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.解：设这个增长率为 x，根据题意得 10(1＋x)2＝14.4，解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).答：这个增长率为 20%.11.如图，小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为 15 m2，在鸭舍侧面中间位置)C留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成)，则 BC 的长为(A.5 m 或 6 mB.2.5 m 或 3 mC.5 mD.3 m12.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 y(件)与每件售价 x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)；(2)该商品日销售额能否达到 2 600 元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为 y＝kx＋b，结合表格数据，将(45，55)，(55，45)代入，得∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－x＋100.(2)不能，理由如下：由题意得 x(－x＋100)＝2 600，可化为 x2－100x＋2 600＝0，∵Δ＝(－100)2－4×2 600＝－400＜0，∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到 2 600 元.13.(2025 山东一模)定义：如果关于 x 的一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，则称这样的方程为“邻根方程”.(1)若(x＋3)(x－m)＝0 是“邻根方程”，求 m 的值；(2)若一元二次方程 x2＋bx＋c＝0(b，c 均为常数)为“邻根方程”，请写出 b，c 满足的数量关系，并说明理由.解：(1)解方程(x＋3)(x－m)＝0，得 x1＝－3，x2＝m，∵由邻根方程定义得|－3－m|＝1，∴－3－m＝±1，∴m＝－2 或－4.(2)b2－4c＝1，理由如下：方程 x2＋bx＋c＝0 有两个不同实数根，∴Δ＝b2－4c>0，此时 x1＋x2＝－b，x1·x2＝c，∵|x1－x2|＝1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝b2－4c＝1.