2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点56 PISA理念测试题（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点56 PISA理念测试题（Word版附解析），共9页。
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米
【答案】B【解析】方法1：由图象可知，小州游玩的速度为210075-2×20=60（米/分）.设①④⑥各路段路程所用时间为x分钟，⑤⑦⑧各路段路程所用时间为y分钟，②③各路段路程所用时间为z分钟，则3x+3y＝3×60+25-5×20=105，x+y+z=75+10-2×2=45，两式相减得z=10.①③⑥⑦⑧各路段所用时间为2x+2y+z＝80.
∵游玩行走速度恒定，小州的游玩速度为60（米/分），∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为80×60=4800（米）.
方法2：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣2×20＝45（分钟），小温游玩行走的时间大3×60+25﹣100＝105（分钟）.设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米,小州的速度为x+y+z45=x+y+z-210010，解得x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分）.由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100.∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．
【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
10．【2023·宁波】如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积 B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积
【答案】C【解析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，则S=ED•AG=BC•AG.
S1+S2＝BE•EG+CD•DG＝CD•BC.
.∴S﹣S1﹣S2＝BC•AG﹣CD•BCG＝BC•AF＝S△ABC.
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选C．
二、填空题
浙江省
16．【2023·温州】图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为2，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE=6EF，则题字区域的面积为 ．
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接 OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．
5 64256 【解析】如图所示，依题意，图1中正方形的边长为42，GH＝2＝GQ.
∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4.
又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径.∵OH＝r﹣KH＝r﹣2.在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5.连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，∵AB∥PN，∴AB⊥OT.∴AS＝SB.∵点A，N，M在同一直线上，∴ANMM=ASSB.∴MN＝AN.∵∠ABM＝90°，∴MN＝AN＝NB.∵NP⊥MP，∴MP＝PB＝2.∴NS=12MB＝2.∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1.∴OS＝3.设EF＝ST＝a，∵DE=6EF，则 ET=12DE=62a.在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即 52=(3+a)2+(62a)2，整理得 5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得a=85 或a＝﹣4（舍），∴题字区域的面积为 6a2=64256．
【点评】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
浙江省
23．【2023·温州】根据背景素材，探索解决问题．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
解:由以下两种规划，任选一种作答即可.
规划一：
【任务1】选择点A和点B，
tan∠1=18，tan∠2=14，tan∠3=13，测得图上AB＝4mm.
【任务2】如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm.
设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm.
∵tan∠MAF=xAF=14，tan∠MBG=x+4BG=13，
∴AF＝4x，BG＝3x+12.
∵AF＝BG，即4x＝3x+12，解得x＝12，∴AF＝BG＝4x＝48（mm）.
∵tan∠FAN=FN48=18，∴FN＝6mm.∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm）.
【任务3】测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为hm.
由题意，得512=18h，解得h＝43.2（m），∴发射塔的实际高度为43.2m．
23．【2023·金华】问题：如何设计“倍力桥”的结构？
探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；
②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…Hn的周长．
解：探究1：①四边形CDEH1是菱形，理由如下：
由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，∴CDEH1为平行四边形，
∵横梁的规格是相同的，∴横梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，
∵平行四边形CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，∴CDEH1每条边相等.∴CDEH1为菱形．
②如图1，过点C作CM⊥AB于点M．
由题意，得CA＝CB，CM＝12cm，AB＝32cm，∴AM=12AB＝16cm.
在Rt△CAM中，CA2＝AM2+CM2，
∴CA=162+122=400=20（cm），∴l＝CA+2＝22（cm）.
探究2：①如图2，过点C作CN⊥H1H2于点N，
由题意，得∠H1CH2＝120°，CH1＝CH2，CN＝3cm，∴∠CH1N＝30°.
∴CH1＝2CN＝6cm，H1N=CNtan30°=333=33cm.
又∵四边形CDEH1是菱形，∴EH1＝CH1＝6cm.
∴l＝2（2+6+33）＝（16+63）cm.
②如图3，过点C作CN⊥H1H2于点N．
由题意，形成的多边形为正n边形，∴外角∠CH1H2=360°n.
在Rt△CNH1中，H1N=CNtan∠CH1H2=3tan360°n（cm）.
又∵CH1＝CH2，CN⊥H1H2，∴H1H2＝2H1N=6tan360°ncm.∴形成的多边形的周长为（6ntan360°n）cm．
【点评】实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．
24．【2023·台州】【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量分别为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；∴b=3010k+b=29，解得k=-0.1b=30，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30.
任务3：
（1）w＝（30﹣30）²+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2＝0.05．
（2）设h＝kt+30，则w＝（30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（10k+30﹣28.1）2+（10k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2＝3000k2﹣+612k+12+12+1.92+32+4.22..
当k＝﹣6122×3000=-0.102时，w最小，∴优化后的函数解析式值为h=-0.102t+30．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min(1cm变式时间约为908min).
22．【2023·嘉兴、舟山】图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）
解：（1）如图2，过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm）.
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（SAS），∴EF＝DE＝35.1（cm）.
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），ED=35.1×2=70.2（cm）>26（cm），
∴小杜需要下蹲的最小距离为208﹣195.1＝12.9（cm）.
（2）如图3，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P.
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm）.
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA）.
∴PN＝MP＝54.0（cm）.∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm）.
小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为123﹣106.0＝17.0（cm）＞15（cm）.
∴小若踮起脚尖后能被识别．
21．【2023·宁波】某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解：（1）β＝90°﹣α
（2）在Rt△ABD中，BD=ADtan370≈43AD，在Rt△ACD中，CD=ADtan450≈AD，
∴BC=BD-CD=43AD-AD=20，解得AD＝60.
答：气球A离地面的高度AD是60米．
湖南省
24．【2023·湘潭】问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据2≈1.414，3≈1.732）
【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；
（2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可．
解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；
（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD=32OA=3（米）．
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC=22OB=2（米），
∴CD＝OD﹣OC=3-2≈0.3（米），
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理的应用，熟练掌握圆的基本性质是正确解答的前提．测算发射塔的高度
背景素材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1
分析规划
选择两个观测位置：点 A 和点 B（答案不唯一） ．
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2
推理计算
计算发射塔的图上高度MN．
任务3
换算高度
楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．
图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8