2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点46 新定义型、阅读理解型问题（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点46 新定义型、阅读理解型问题（Word版附解析），共32页。学案主要包含了2023·娄底，2023·包头，2023·重庆A卷，2023•内江，2023·菏泽，2023·武汉，2023·北京16题，2023·绍兴等内容，欢迎下载使用。
11．【2023·娄底】从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示，Cnm=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)m(m-1)⋯1（n≥m，n、m为正整数）；例如：C52=5×42×1，C83=8×7×63×2×1，则C94+C95=（ ）
A．C96B．C104C．C105D．C106
【分析】对于C94和C95正用公式Cnm=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)m(m-1)⋯1，通分后再逆用公式．
【答案】C【解析】∵Cnm=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)m(m-1)⋯1，∴C94+C95=9×8×7×64×3×2×1+9×8×7×6×55×4×3×2×1=5×9×8×7×65×4×3×2×1+9×8×7×6×55×4×3×2×1=2×9×8×7×6×55×4×3×2×1=10×9×8×7×65×4×3×2×1=C105，
【点评】本题考查了新定义组合数公式的正用和逆用以及通分技巧，关键是通分成一个分数．
内蒙古
3．【2023·包头】定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．5D．3
【答案】D
重庆
10．【2023·重庆A卷】在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【答案】C【解析】|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．
【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
四川省
11．【2023•内江】对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【答案】A【解析】∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1.
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0.∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0.
∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
12．【2023•内江】对于正数x，规定f(x)=2xx+1，例如：f（2）=2×22+1=43，f（12）=2×1212+1=23，f（3）=2×33+1=32，f（13）=2×1313+1=12，计算：f（1101）+f（1100）+f（199）+…+f（13）+f（12）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（ ）
A．199B．200C．201D．202
【分析】分别计算f（1），f（2），f（3），…，f（12），f（13），…，相加后可解答．
【答案】C【解析】∵f（1）=2×11+1=1，f（2）=2×22+1=43，f（12）=2×1212+1=23，f（3）=2×33+1=32，f（13）=2×1313+1=12，f（4）=2×44+1=85，f（14）=2×1414+1=25，…，f（101）=101×2101+1=10151，f（1101）=2×11011101+1=151，
∴f（2）+f（12）=43+23=2，f（3）+f（13）=32+12=2，f（4）+f（14）=85+25=2，…，f（101）+f（1101）=10151+151=2，
f（1101）+f（1100）+f（199）+…+f（13）+f（12）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）
＝2×100+1＝201．
【点评】本题考查了新定义，数字类规律问题，根据f(x)=2xx+1代入求值并找出规律是解本题的关键．
山东省
8．【2023·菏泽】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．-14≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．-14≤x＜6D．﹣4≤c＜5
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．
【答案】D 【解析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y和y＝3x至少有一个交点，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣12+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣12+c，解得c＜3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3＞﹣2+c，解得c＜5，综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
湖北省
10．【2023·武汉】皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+12L-1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（ ）
A．266B．270C．271D．285
【分析】根据公式，先计算出S和L的值，即可求出N的值．
【答案】C 【解析】∵A（0，30），B（20，10），O（0，0），∴△ABO的面积为S=12×30×20＝300，△ABO边界上的格点个数L＝31+19+10＝60，∵S＝N+12L﹣1，∴300＝N+12×60﹣1，∴N＝271．
【点评】本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键．
二、填空题
北京
16.【2023·北京16题】学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．
【答案】 ①. 53 ② 28【解析】由题意得（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟．②假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟.∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）.
浙江省
16．【2023·绍兴】在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ ．
【分析】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
【答案】712或-2512【解析】由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，∴B（3，4），
①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得c=014×9+3b+c=4，解得b=712；
②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得c=414×9+3b+c=0，解得b=-2512，
综上所述，b=712或b=-2512.
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
湖南省
14．【2023·怀化】定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝ ．
【答案】1 【解析】（2x，3）•（3，﹣1）＝3，6x﹣3＝3，解得x＝1．
黑龙江
18．【2023·大庆】如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．
【分析】由“SAS”可证△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，可求S△ABC＝S△B'C'A，BC＝2AD，故①②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确；通过证明平行四边形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的长，即可判断④，即可求解．
【答案】①②③【解析】证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接B'E，C'E，∵AD是中线，∴B'D＝C'D，∴四边形AC'EB'是平行四边形，∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'A=12S▱B'EC'A＝S△AB'E，∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠AB′E，∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，在△BAC和△AB′E中，BA=AB'∠BAC=∠AB'ECA=B'E，∴△BAC≌△AB′E（SAS），∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正确；∵AE＝2AD，∴BC＝2AD，故②正确；∵AB＝AC，∴AB'＝AC'＝AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°，∴∠ABB'+∠AC'C＝90°，∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确；∵BC＝6，∴AD＝3，∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，∴平行四边形AC'EB'是菱形，∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，∴B'D=B'A2-AD2=16-9=7，∴B'C'＝27，故④错误，故答案为：①②③．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
重庆
18．【2023·重庆A卷】如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab-bc=cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
【分析】根据递减数的概念列方程求a的值，根据递减数的概念先求得10a﹣9b﹣11c＝d，然后根据题意列出两个三位数字之和，结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最大值．
【答案】43128165【解析】由题意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴这个数为4312，由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和为：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，∴11a+2b9是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，当c取6时，d＝5，∴满足条件的数的最大值是8165，
【点评】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．
18．【2023·重庆B卷】对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若P(M)Q(M)能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
【分析】它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．分为两部分：第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．
【答案】62009313【解析】求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的的自然数0时，百位数是2；则最小的“天真数”为6200．一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．由“天真数”的定义得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；Q（M）＝a﹣5.P(M)Q(M)=4a+4ca-5论能被10整除当a取最大值9时，即当a＝9时，P(M)Q(M)满足能被10整除，则c＝1，“天真数”M为9313．
【点评】新定义题型，各数字的取值范围，最值：最小自然数0．
四川省
13．【2023·广安】定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是 ．
【分析】利用新定义的规定列式求得（x﹣y）的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可．
【答案】-23【解析】∵2※（﹣2）＝1，∴x2+y-2=1，∴x﹣y＝2．∴（﹣3）※3=x-3+y3=-13（x﹣y）=-13×2
=-23．故答案为：-23．
【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
18．【2023·巴中】规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标．
【答案】（3，0）或（4，0）【解析】当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；当k≠0时，此函数为二次函数，若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则二次函数的顶点在x轴上，即，解得k＝﹣1，∴二次函数的解析式为＝.∴它的“Y函数”解析式为，令y＝0，则，解得x＝4.∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0）.综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．
【点评】本题考查了新定义，二次函数与x轴的交点坐标，坐标与图形变换﹣﹣﹣﹣轴对称，求一次函数解析式和二次函数解析式，理解题意，采用分类讨论的思想是解题的关键．
23．【2023·成都】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【分析】根据新定义m2﹣n2，可以分别列出m2和n2的差，进而即可求解．
【答案】15，55【解析】根据题意，且m﹣n＞1，当m＝3，n＝1，则第1个智慧优数为：32﹣12＝8，当m＝4，n＝2，则第2个智慧优数为：42﹣22＝12，当m＝4，n＝1，则第3个智慧优数为：42﹣12＝15．正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．当m＝5，n＝3，则第3个智慧优数为：52﹣32＝16，当m＝5，n＝2，则第3个智慧优数为：52﹣22＝21，当m＝5，n＝1，则第3个智慧优数为：52﹣12＝24，以此类推，当m＝6时，有4个智慧优数，同理m＝7时有5个，m＝8时，有6个，1+2+3+4+5+6＝21，第22个智慧优数，当m＝9时，n＝7，第22个智慧优数为：92﹣72＝81﹣49＝32，第23个智慧优数，当m＝9时，n＝6，第23个智慧优数为：92﹣62＝81﹣36＝55，故答案为：15，55．
【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能分类进行求解．
16．【2023•乐山】定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ；
（2）若双曲线y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【分析】（1）根据题意得出4m+t=912+t=m2，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7；
（2）根据题意得出x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，①﹣②得（x+kx）（x-kx）＝﹣4（x-kx），整理得（x-kx）（x+kx+4）＝0，由x≠y，得出x+kx+4＝0，理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，由﹣3＜x＜﹣1，得出3＜k＜4．
【答案】（1）-7 （2）3＜k＜4【解析】（1）∵P（3，m）是“和谐点”，
∴4m+t=912+t=m2.消去t得到m2+4m﹣21＝0，解得m＝﹣7或3.
∵x≠y，∴m＝﹣7.
（2）∵双曲线y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，∴x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，
①﹣②得（x+kx）（x-kx）＝﹣4（x-kx），∴（x-kx）（x+kx+4）＝0.
∵x≠y，∴x+kx+4＝0，整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4.
∵﹣3＜x＜﹣1，∴3＜k＜4．
【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，本题综合性强，有一定难度．
三、解答题
26．【2023·盐城】定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB=14OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y=12x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
解：（1）【答案】①【解析】∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0），∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数，故答案为：①；
（2）令y＝0，得x+c＝0，
解得：x＝﹣c，
∴A（﹣c，0），
令x＝0，得y＝c，
∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c），
∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
∴y＝ax2+（ac+1）x+c，
设B（x′，0），
则x′（﹣c）=ca，
∴x′=-1a，
∴B（-1a，0），
∴OB＝|1a|，OA＝c，
∵OB=14OA，
∴|1a|=14c，
∴ac＝±4，
∴b＝5或﹣3；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图，
∴n2-4mt=0-n2m=-2t，
∴n2﹣n＝0，且n≠0，
∴n＝1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图，
∴4mt2-2nt+t=04mt-n24m=2t，
消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，
解得：n1=2-1，n2=-2-1，
∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n＜0，
∴n=-2-1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图，
∴4mt2-2nt+t=0-n2m=t，
∴n=14，
综上所述，n的值为1或-2-1或14．
26．【2023·南通】定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y=-4x的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）点A（t，12t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
解：（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±2；
（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，-12kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y=12x﹣2上，同理可得，点B在直线y=-12x+2k，
则y1=12m2﹣2，y2=-12m2+2k，
则y1﹣y2=12m2﹣2+-12m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；
（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5=4n+1n，
∵x≥0，
则4n+1n-5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠16，
即0＜n≤1且n≠16；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
26．【2023·常州】对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．
（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是 ；
（2）如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；
（3）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．
解：（1）【答案】2【解析】∵菱形ABCD是“可旋四边形”，∴AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的边长是2，故答案为：2；
（2）如图1，
连接OC，
∵四边形ABCD是“可旋四边形”，O为旋点，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OCA+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴2（∠OCA+∠OCB）＝180°，
∴∠ACB＝90°；
（3）如图2，
四边形ABCD是“可旋四边形”，理由如下：
分别作AD和BC的垂直平分线，交于点O，连接OA，OD，OB，OC，
∴OA＝OD，OC＝OB，
∵AC＝BD，
∴△AOC≌△DOB（SSS），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC，
∴四边形ABCD是“可旋四边形”．
北京
28.【2023·北京28题】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．
（1）如图，点，，．
①在点，，中，弦的“关联点”是______．
②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；
（2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；
（2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．
解：（1）① 解析：由关联点的定义可知，若直线中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．∵点，，，，，
∴直线经过点O，且与相切.∴是弦的“关联点”.又∵和横坐标相等，与都位于直线上，∴与相切，经过点O.∴是弦的“关联点”.
② 解析：∵，，设，如下图所示，共有两种情况.
a.若与相切，经过点O，则，所在直线为 ，解得，
∴.
b.若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，
∴.综上，．
（2）或. 解析：由题意，线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，如图所示.
①当S位于点时，为的切线，作.∵，的半径为1，且为的切线，∴.∵，∴.∴，即，解得.∴根据勾股定理得，，.根据勾股定理，，同理，.∴当S位于点时，的临界值为和．
②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，∵点，，∴.∴.又∵的半径为1，∴，
∴三角形为等边三角形.∴在此情况下，，.∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和.∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在内.
综上所述，t的取值范围为或.
甘肃省
27. 【2023·兰州27题】在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．
例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，33）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC=5，点P是△ABC 上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）过点作于点，根据新定义得出，根据已知得出，则，即可求解；
（2）当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，是等边三角形，且轴，设交于点，则，得出，根据即可求解；
（3）当四边形是正方形时，，连接并延长交轴于点，直线的解析式为，得出，可得到直线的距离为，则当点与点重合时，当点与点重合时，求得两个临界点时的的值，即可求解．
解：（1）如图所示，过点作于点，
∵线段AB上任意两点间的最大距离是2，且点是直线的“伴随点”，∴PQ=2.

∵，，∴.
∵，∴.
∴.
∴OP=GP-OG=4-2=3.∴.
（2）由题意得，等边三角形ABC上任意两点距离的最大值是边长BC.
∵点P为x轴的“伴随点”，∴yP=BC.
当到轴的距离最小时，yP=OP,∴PO=BC
设等边三角形的边长为2a，即PO=2a.∵AB=AC,AP⊥BC，∴PC=12BC=a.
在Rt△PCO中，PC2+PO2=OC2，即a2+（2a）2=(5)2，解得a=1或a=-1（舍去）.
∴△ABC的边长为2.
28. 【2023·兰州28题】综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．

解：（1）四边形ABCD是正方形.理由如下：
∵，，，
∴，.
∵矩形，∴.
∴.
又∵，∴.
∴.∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴.
∴四边形是矩形.∴.
同（1）可得.
∵正方形，∴.∴.
∴，.∴四边形是正方形.
∴.∴．
江苏省
28. 【2023·宿迁】规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
（3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；
（2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；
（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．
解：（1）② [解析]作出；；；图像，如图所示：

与图像有三个不同的公共点，
根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，
（2）①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②、 [解析]，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
（3）在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：

联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，
，
由得到，即．
【点评】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．
21．【2023·泰州】阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
​任务：
（1）不等式x2﹣x﹣6＜0 的解集为 ；
（2）3种方法都运用了 的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
【分析】（1）利用题干中的方法1，画出函数的图象，观察图象解答即可；
（2）依据解答过程体现的数学思想方法解答即可；
（3）画出函数y＝x﹣1和函数y=6x的大致图象，结合图象即可求得．
解：（1）﹣2＜x＜3 [解析] 解方程x2﹣x﹣6＝0，
得x1＝﹣2，x2＝3，
∴函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，
画出二次函数y＝x2﹣x﹣6的大致图象（如图所示），
由图象可知：当﹣2＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣x﹣6＜0．
所以不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．
（2）D
（3）当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜6x；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞6x．
画出函数y＝x﹣1和函数y=6x的大致图象如图：
当x＞0时，不等式x﹣1＜6x的解集为0＜x＜3；当x＜0时，不等式x﹣1＞6x的解集为﹣2＜x＜0，
∵当x＝0时，不等式x2﹣x﹣6＜0一定成立，
∴不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
浙江省
23．【2023·宁波】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°.∵∠A＝90°，∴∠ABC＝90°.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.∴∠CBD＝∠CDB.
∴CD＝CB.∴四边形ABCD为邻等四边形.
（2）解：如图，点D1，D2，D3即为所求作的点.
解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，则∠DAB＝∠ABC＝∠DFB=90°，∴四边形ABFD是矩形.
∴AD∥BC，AD=BF，AB=DF.
∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形.∴AE=BC.
设AD=a，则BF=AD=a，BC＝AE＝10-a，∴FC=BC-BF=10-2a.
∵∠BCD是邻等角，∴CD=BC=10-a.
在Rt△ABC中，AB2=AC2-BC2=82﹣(10-a)2，
在Rt△DF C中，DF 2=CD 2-F C2=(10-a)2﹣(10-2a)2，
∴BE2﹣AE2＝CD2﹣CF2.∴82﹣x2＝x2﹣（2x﹣10）2.
∴82﹣(10-a)2=(10-a)2﹣(10-2a)2，解得a=3，a＝-3（舍去），
∴DE+EB+BC +CD ＝10+8+20﹣2a＝38﹣6．
∴四边形EBCD的周长为38﹣6．
四川省
20．【2023·遂宁】我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；（2）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解不等式即可．
解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解得m且m≠0．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
山东省
19．【2023•枣庄】对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=a-b(a≥2b)a+b-6(a＜2b)，例如：3※1＝3﹣1＝2，5※4＝5+4﹣6＝3．根据上面的材料，请完成下列问题：
（1）4※3＝ ，（﹣1）※（﹣3）＝ ；
（2）若（3x+2）※（x﹣1）＝5，求x的值．
【分析】（1）根据定义的新运算列式计算即可；
（2）由新定义，分3x+2≥2（x﹣1）和3x+2＜2（x﹣1）两种情况分类讨论，并列得对应的方程并解方程即可．
解：（1）1 2【解析】∵4＜2×3，
∴4※3＝4+3﹣6＝1.
∵﹣1＞2×（﹣3），
∴（﹣1）※（﹣3）＝﹣1﹣（﹣3）=2.
故答案为：1；2.
（2）由题意，当3x+2≥2（x﹣1）时，即x≥﹣4时，
原方程为：3x+2﹣（x﹣1）＝5，解得：x＝1；
当3x+2＜2（x﹣1）时，即x＜﹣4时，
原方程为：3x+2+x﹣1﹣6＝5，解得：x＝2.5.
∵2.5＞﹣4，∴x＝2.5不符合题意，应舍去.
综上，x＝1．
【点评】本题考查定义新运算问题，特别注意（2）中应分3x+2≥2（x﹣1）和3x+2＜2（x﹣1）两种情况分类讨论．
22. 【2023·潍坊】［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．

实践应用】
任务一 完善的求值过程．

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．

【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解．
解：任务一，方法1：2[解析]借助面积为2的正方形，观察图③可知
方法2： 2 [解析]借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为，所以，．
任务二：参照方法2，借助函数和的图象，
，解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，
第二个正方形的面积为，……
则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，即
【点评】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
湖北省
23．【2023·荆州】如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP：PB＝1：2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
【分析】（1）根据新定义，画出等联角即可；
（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N，由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≌Rt△CNE，得出∠PCF＝45°，即可求解；
②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R＝∠A＝90°．证明△APC≌△RFP，得出AP＝BR＝FR，在Rt△BRF 中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k，进而证明四边形BRFQ为正方形，则BQ＝QF＝k，由FQ∥CN，得出△AEF∽△NEC，根据相似三角形的性质得出NE=32k，根据 PE＝PM+ME即可．
解：（1）作图如下：（方法不唯一）
（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．
由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，
∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，
∴四边形ABNC为正方形，∴CN＝AC＝CM，
又∵CE＝CE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL），∴∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∠CPF＝90°，
∴∠PCF＝∠2+∠3＝∠CFP＝45°，
∴△PCF是等腰直角三角形．
②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，
则∠R＝∠A＝90°，
∵∠1+∠5＝∠5+∠6＝90°，∴∠1＝∠6，
由△PCF是等腰直角三角形知：PC＝PF，
∴△APC≌△RFP（AAS），∴AP＝FR，AC＝PR，
而AC＝AB，∴AP＝BR＝FR，
在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k，
∴AP＝BR＝FR＝k，∴PB＝2AP＝2k，
∴AB＝AP+PB＝BN＝3k，
∵BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°，
∴四边形BRFQ为正方形，BQ＝OF＝k，
∵FQ⊥BN，CN⊥BN，∴FQ∥CN，
∴QENE=QFCN，
而QE＝BN﹣NE﹣BQ＝3k﹣NE﹣k＝2k﹣NE，
∴2k-NENE=k3k=13，解得：NE=32k，
由①知：PM＝AP＝k，ME=NE=32k，
∴PE=PM+ME=k+32k=52k，
答：等联线AB＝3k，线段PE=52k．
【点评】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．
湖南省
21．【2023·张家界】阅读下面材料：
将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a+b）2﹣a2
＝[（a+b）+a]•[（a+b）﹣a]
＝（2a+b）•b
＝b+2ab
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+23
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝ ，S4﹣S3＝ ；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论；
（2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可；
（3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可．
解：（1）9+23；15+23【解析】S3﹣S2＝（a+2b）2﹣（a+b）2
＝a2+4ab+4b﹣a2﹣2ab-b
＝2ab+3b，
当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+23；
S4﹣S3＝（a+3b）2﹣（a+2b）2＝a2+6ab+9b﹣a2﹣4ab-4b
＝2ab+5b，
当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+23；
故答案为：9+23；15+23；
（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；
证明：Sn+1﹣Sn
＝（1+3n）2﹣[1+（n﹣1）3]2
＝[2+（2n﹣1）3]×3
＝3（2n﹣1）+23
＝6n﹣3+23；
（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50
＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50
＝S51﹣S1＝（1+503）2﹣1
＝7500+1003．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
内蒙古
23. 【2023·赤峰】定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；
（2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．
（3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．
解：（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形“梦之点”满足，，
∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，
故答案为：，；
（2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，
∴把代入得，∴，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，∴“梦之点”都在直线上，
联立，解得或，∴，
∴直线的解析式是，
函数图象如图：

由图可得，当时，x的取值范围是或；
故答案为：，，或；
（3）是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴联立，解得或，
∴，，
∵，∴顶点，
∴，，，
∴，∴是直角三角形．
【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．
25．【2023·通辽】阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ -32 ，x1x2＝ -12 ．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求1s-1t的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n=-32，mn=-12，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t=-32，st=-12，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入1s-1t=t-sst中，即可求出结论．
解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-32，x1x2=-12；故答案为：-32，-12；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n=-32，mn=-12，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn=94+1=134；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t=-32，st=-12，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（-32）2﹣4×（-12）=174，
∴t﹣s＝±172，∴1s-1t=t-sst=±172-12=±17．
【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于-ba，两根之积等于ca”是解题的关键．工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，可得函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．
方法2 不等式x2﹣x﹣6＜0可变形为x2＜x+6，问题转化为研究函数y＝x2与y＝x+6的图象关系．画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是﹣2、3；y＝x2的图象在y＝x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜6x；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞6x．问题转化为研究函数y＝x﹣1与y=6x的图象关系…​