2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点55 涉及内心外心的试题（Word版附解析）

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A．52π-74B．52π-72C．54π-74D．54π-72
【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得∠AOC＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．
【答案】D【解析】如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，
由题意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC=5，∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积
=90π×(5)2360-12OA•OC-12AB•1=5π4-12×5×5-12×2×1=5π4-52-1=5π4-72．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
黑龙江
7．【2023·绥化】下列命题中叙述正确的是（ ）
A．若方差s甲2＞s乙2，则甲组数据的波动较小
B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【分析】直接利用方差的意义以及点到直线的距离、重心、角平分线的性质分别分析得出答案．
【答案】D 【解析】A．若方差s甲2＞s乙2，则乙组数据的波动较小，故此选项不合题意；B．直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故此选项不合题意；C．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故此选项不合题意；D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故此选项符合题意．故选：D．
【点评】此题主要考查了方差的意义以及点到直线的距离、重心、角平分线的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
山东省
6．【2023·聊城】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【答案】C 【解析】连接IC，IB，OC，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=12×(180°-∠BOC)=12×(180°-140°)=20°，故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【2023·威海】 在中，，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 内切圆的半径D. 当时，是直角三角形
【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
【答案】C【解析】∵，∴即，故A说法正确；当时，，若以底，高，∴，故B说法正确；设内切圆的半径为r，则，∵，∴，，∵，∴，∴，故C说法错误；当时，，∴是直角三角形，故D说法正确；故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键．
二、填空题
三、解答题
山东省
22．【2023·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【分析】（1）过点D作DH⊥AC，DG⊥AB，垂足分别为H、G，则DG＝DH，进而表示出两个三角形的面积即可求解．
（2）过点A作AM⊥BC于点M，表示出两个三角形的面积即可，
（3）连接DB、DC，证明△BFD∽△AFC得出BF•CF＝AF•DF，证明△ABF∽△ADC，得出AB•AC＝AD•AF，即AB•AC＝（AF+DF）•AF，恒等变形即可求解．
（4）连接BE，证明△ABD∽△BFD，得出DB2＝DA•DF，证明∠BED＝∠DBE，得出DB＝DE即可．
（1）解：过点D作DH⊥AC，DG⊥AB，垂足分别为H、G，如图：
∵点E是△ABC的内心，∴AD是∠BAC的平分线，
∵DH⊥AC，DG⊥AB，∴DG＝DH，
∵S△ABF=12AB⋅DG，S△ACF=12AC⋅DH，
∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，
∵S△ABF=12BF×AM，S△ACF=12FC×AM，
∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，
由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
∴AB：AC＝BF：FC，
（3）证明：连接DB、DC，如图，
∵AB=AB，DC=DC，
∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，
∴△BFD∽△AFC，∴BF•CF＝AF•DF，
∵AC=AC，∴∠FBA＝∠ADC，
又∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC，
∴ABAD=AFAC，∴AB•AC＝AD•AF，
∴AB•AC＝（AF+DF）•AF＝AF2+AF•DF，
∴AF2＝AB•AC﹣BF•CF．
（4）连接BE，如图，
∵点E是△ABC的内心，∴BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，
∴△ABD∽△BFD，
∴DBDF=DADB，∴DB2＝DA•DF，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE=12∠BAC+12∠ABC，
∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE=12∠BAC+12∠ABC，
∴∠BED＝∠DBE，∴DB＝DE，∴DE2＝DA•DF，
【点评】本题考查三角形内心的定义，圆周角定理，角平分线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握性质是解题关键．