2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点54 数学文化（Word版附解析）

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图1
A．60°B．70°C．80°D．85°
【答案】B【解析】如图，
∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．
10. 【2023·兰州10题】我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】∵，，∴.∴.
∵，C为的中点，∴．
四川省
8．【2023•乐山】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝​（ ）
A．45B．35C．4D．15
【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sinθ的值．
【答案】A【解析】设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，
由题意可得：c2＝25，b﹣a=1=1，a2+b2＝c2，解得a＝3，b＝4，c＝5，∴sinθ=bc=45.
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．
9．【2023·宜宾】《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣2B．11﹣4C．8﹣2D．8﹣4
【分析】连接ON，根据是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，的ON＝OA•sin60°＝2，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2，故l＝AB+＝4+＝11﹣4．
【答案】B【解析】连接ON，如图：∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，∴ON⊥AB，∴M，N，O共线，∵OA＝4，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，∴ON＝OA•sin60°＝2，∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，∴l＝AB+＝4+＝11﹣4；
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．
11．【2023·巴中】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．
当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．﹣4C．2或4D．2或﹣4
【分析】观察题中的图表，表示出（a+b）4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
【答案】C【解析】根据题意得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，∴x4﹣12x3+54x2﹣108x+81＝x4+4x3•（﹣3）+6x2•（﹣3）2+4x•（﹣3）3+（﹣3）4＝（x﹣3）4.∴（x﹣3）4＝1，开四次方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，解得x＝2或4．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
湖南省
12．【2023·娄底】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2-(a2+b2-c22)2，△ABC的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA．下列结论中正确的是（ ）
A．csC=a2+b2-c22ab B．csC=-a2+b2-c22ab C．csC=a2+b2-c22ac D．csC=a2+b2-c22bc
【分析】由S△ABC=12a2b2-(a2+b2-c22)2，S△ABC=12absinC，可得出12a2b2-(a2+b2-c22)2=12absinC，即a2b2-(a2+b2-c22)2=absinC，等式两边同时平方后可得出a2b2﹣（a2+b2-c22）2＝a2b2sin2C，移项、合并同类项后，可得出a2b2（1﹣sin2C）＝（a2+b2-c22）2，即a2b2（1﹣sin2C）＝（a2+b2-c22）2，两边再开方同时除以ab，即可得出结论．
【答案】A【解析】∵S△ABC=12a2b2-(a2+b2-c22)2，S△ABC=12absinC，∴12a2b2-(a2+b2-c22)2=12absinC，即a2b2-(a2+b2-c22)2=absinC，∴a2b2﹣（a2+b2-c22）2＝a2b2sin2C，∴a2b2﹣a2b2sin2C＝（a2+b2-c22）2，∴a2b2（1﹣sin2C）＝（a2+b2-c22）2，∴a2b2cs2C＝（a2+b2-c22）2，∴abcsC=a2+b2-c22，∴csC=a2+b2-c22ab．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及三角形的面积，利用三角形的面积公式结合sin2C+cs2C＝1，找出csC=a2+b2-c22ab是解题的关键．
7．【2023·岳阳】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是（ ）
A．674寸B．25寸C．24寸D．7寸
【答案】C 【解析】∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BC=BD2-CD2=252-72=24．∴CD的长为24寸．
二、填空题
安徽省
13．【2023·安徽13题】清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12（BC+AB2-AC2BC）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ ．
【答案】1 【解析】∵BD=12（BC+AB2-AC2BC），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD=12（6+72-526）＝5.∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1．
四川省
14．【2023·广元】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．
【答案】21【解析】找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
因为第八行为（a+b）7，
∴（a+b）7展开式的第三项的系数是1+2+3+…+6＝21，
∴第八行从左到右第三个数为为21．
湖北省
16. 【2023·鄂州】2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是___________．
【分析】设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案．
【答案】【解析】设，，则，∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，整理得：，解得：，（舍去），即，∴，，∴，，∴，∴∴，∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，求出的长是解题的关键．
14．【2023·武汉】我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有著行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
【分析】根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
【答案】250 【解析】由题意可知，不善行者函数解析式为s＝60t+100，善行者函数解析式为s＝100t，联立s=60t+100s=100t，解得t=2.5s=250，∴两图象交点P的纵坐标为250，故答案为：250．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．
山东省
16．【2023·东营】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE=12AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．
【答案】26 【解析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE=12AB=12×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．
湖南省
16．【2023·常德】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ ．（结果保留一位小数）
【分析】根据题意分别求出线段的长度，代入公式中求出s，得出答案．
【答案】3.4【解析】如图，连接OD，∵AO＝2，∠AOB＝90°，∴OB＝2，AB＝22，∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB，∴CO⊥AB，即D、C、O共线，∴CO=2，CD＝2-2，∵s=AB+CD2OA，∴s＝22+(2-2)22≈4.4，∴|1﹣s|≈3.4．
【点评】本题以圆为背景考察了圆的相关概念，本题难度不大，掌握垂径定理和等腰直角三角形是解决问题的关键．
17．【2023·株洲】《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘＝112宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 度．
​
【答案】22.5 【解析】∠A＝1矩=90°，∠B＝1欘=45°+12×45°=67.5°．∴∠C＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°．
三、解答题