2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点45 规律猜想型问题（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点45 规律猜想型问题（Word版附解析），共14页。学案主要包含了2023·云南，2023·烟台，2023·济宁，2023·日照，2023·重庆B卷，2023·重庆A卷，2023·德阳，2023·达州等内容，欢迎下载使用。
9．【2023·云南】按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
山东省
10．【2023·烟台】如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（ ）
A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）
【答案】A【解析】由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34）.
10．【2023·济宁】已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2=1+a11-a1，a3=1+a21-a2，a4=1+a31-a3，an+1=1+an1-an，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．-12B．13C．﹣3D．2
【分析】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解．
【答案】A 【解析】由题意得，a1＝2，a2=1+a11-a1=1+21-2=-3，a3=1+a21-a2=1+(-3)1-(-3)=-12，a4=1+a31-a3=1+(-12)1-(-12)=13，a4=1+a41-a4=1+131-13=2，……，∴an的值按照2，﹣3，-12，13，……4次一个循环周期的规律出现，∵2023÷4＝505……3，∴a2023的值是-12．
【点评】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现an的规律．
12.【2023·日照】 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
【答案】B【解析】第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到；第3圈有16个点，即到，；依次类推，第n圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；是在第23圈上，且，即，故B选项正确；第n圈，，所以，故C、D选项不正确；故选B．
【点评】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
重庆
6．【2023·重庆B卷】用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【答案】B【解析】第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，...，则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
7．【2023·重庆A卷】用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39B．44C．49D．54
【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【答案】B【解析】由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒……∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，
【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四川省
11．【2023·德阳】在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+nB．mC．n﹣mD．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：m+n+n﹣m﹣m﹣n﹣n+m＝0，结合2023÷4＝505…3，从而可以得解．
【答案】D【解析】第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；……归纳可得，以上整式串每六次一循环．∵2023÷6＝337…1，∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等．∴这个和为m+n+n﹣m＝2n．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
9．【2023·达州】如图，四边形ABCD是边长为12的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，DA1的圆心为A，半径为AD；A1B1的圆心为B，半径为BA1；B1C1的圆心为C，半径为CB1；C1D1的圆心为D，半径为DC1…，DA1、A1B1、B1C1、C1D1的圆心依次为A、B、C、D循环，则A2023B2023的长是（ ）
A．4045π2B．2023πC．2023π4D．2022π
【分析】由观察规律可得A2023B2023的半径为2×2023﹣1＝4045，再用弧长公式列式计算即可．
【答案】D【解析】由已知可得，A1B1的半径为为1，B1C1的半径为32，C1D1的半径为2，D1A2的半径为52...，∴后一段90°的圆心角所对的弧比相邻的前一段90°的圆心角所对的弧的半径大12，∴A2B2的半径为3，A3B3的半径为5，A4B4的半径为7...，∴A2023B2023的半径为2×2023﹣1＝4045，∴A2023B2023的长为90360×2π×4045=4045π2．
【点评】本题考查图形的变化类问题，涉及与圆相关的计算，解题的关键是找到90°的圆心角所对的弧的半径变化规律．
湖南省
8．【2023·常德】观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a行b列，则a﹣b的值为（ ）
A．2003B．2004C．2022D．2023
【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案．
【答案】C【解析】观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，nm（m，n为正整数）在第（m+n﹣1）行，第n列，∴202023在第2042行，第20列，∴a＝2042，b＝20，∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，
【点评】本题考查数字变化类规律问题，解题的关键是观察数表得到a，b的值．
黑龙江
7．【2023·牡丹江】观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92B．87C．83D．78
【分析】观察第2行数可知第n个数为1+2+3+…+n，第一行数的第n个数为第2行第n个数的2倍减1，即可求出每行数的第7个数，从而得到答案．
【答案】C【解析】观察第2行数可知，第7个数为：1+2+3+4+5+6+7＝28，第1行的第7个数为28×2﹣1＝55，∵28+55＝83，∴取每行数的第7个数，这两个数的和是83；
【点评】本题考查数字的变化类问题，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律．
二、填空题
17．【2023·呼伦贝尔、兴安盟】观察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4 …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝ ．
【答案】505051【解析】 S1+S2+…+S50＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+...+1+150×51＝（1+1+1+...+1）+（11×2+12×3+13×4+...+150×51）＝1×50+（1-12+12-13+13-14+...+150-151）＝50+（1-151）＝50+5051＝505051，故答案为：505051．
16．【2023·青海】如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 ．
【答案】10 【解析】由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，
∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．故答案为：10．
18．【2023·西藏】按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
【答案】（3n+2）an【解析】∵第n个单项式的系数可表示为：3n+2，字母a的次数可表示为：n，∴第n个单项式为：（3n+2）an．
24．【2023·甘孜州】有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an=1an-1，n为偶数11-an-1，n为奇数，则a2023的值为 ．
【答案】2【解析】 由题知，a1＝2，a2=1a1=12，a3=11-a2=11-12=2，a4=1a3=12，…由此可知，an=2，n为奇数12，n为偶数．所以a2023＝2．故答案为：2．
江苏省
18. 【2023·宿迁】如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段 绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【答案】【解析】如图1所示，由图象可得，点，在x轴的正半轴上，∴．旋转3次为一个循环，∵∴点在射线的延长线上，∴点在x轴的正半轴上，∵，是正三角形，∴由旋转的性质可得，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴同理可得，，，∴，∴，∴，∴由旋转的性质可得，，∴如图2所示，过点作轴于点E，∵，∴，∴，∴，，∴点的坐标是．

1 2
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
山东省
18．【2023·泰安】已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 ．
【分析】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为3，得出答案．
【答案】（2023，3）【解析】如图，∵△A1A2O是边长为2正三角形，∴OB＝BA2＝1，A1B=22-12=3，
∴点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，∴点A2023在第一象限，∴点A2023的纵坐标为3，即点A2023（2023，3），
故答案为：（2023，3）．
【点评】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
18．【2023·东营】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x-3与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，⋯，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5……的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【答案】（1+33）2022 【解析】当y＝0时，有x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A1的坐标为（1，0）．∵四边形A1B1C1O为正方形，∴OA1＝A1B1＝OC1＝1，∴点B1（1，1），B1的横坐标为1；∴y＝1时，1=3x-3，解得：x=1+33，∴点A2的坐标为（1+33，1），A2B2C2C1是正方形，∴A2B2＝C2C1＝A2C1=1+33，∴点B2（1+33，2+33），即B2的横坐标为1+33；当y＝2+33时，2+33=3x-3，解得：x=23（3+2），∴点A3（23（3+2），2+33），∵A3B3C3C2是正方形，∴A3B3＝C3C2＝A3C2=23（3+2），∴点B3的横坐标为23（3+2）＝（1+33）2，……，以此类推，则点B2023的横坐标是（1+33）2022．故答案为：（1+33）2022．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，数形结合是解答本题的关键．
14．【2023·临沂】观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律， ＝n2．
【答案】（n﹣1）（n+1）+1
【解析】观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…；
按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．
17．【2023·聊城】如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
【分析】根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的第一个数为n（n+1）+1，第n个数对的第二个数为（n2+1）+1，于是得到结论．
【答案】（n2+n+1，n2+2n+2） 【解析】每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．，即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，则第n个数对的第一个数为n（n+1）+1，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，..．，即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．
【点评】本题考查了数字的变化规律，找出数字的排列规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．
湖南省
13．【2023·岳阳】观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 ．
【答案】n2﹣n＝n（n﹣1）
16．【2023·怀化】在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为 ，点A2023的坐标为 ．
【答案】22023 （22022，22022） 【解析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．由题意OA＝1＝2°，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2033的边长为22023．∵2023÷6＝372……1，∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，22022•）．
14．【2023·张家界】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 ．
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可．
【答案】（﹣2023，1） 【解析】∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得，∴A1点坐标为（2，0），又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得，∴A2点坐标为（0，﹣2），又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得，∴A3点坐标为（﹣3，1），又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得，∴A4点坐标为（1，5），由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、……、n，每次增加1．∵2023÷5＝505……3，故A2023为以点C为圆心，半径为2022的A2022顺时针旋转90°所得，故A2023点坐标为（﹣2023，1）．故答案为：（﹣2023，1）．
【点评】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
湖北省
15．【2023·随州】某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1﹣100的100盏灯，分别对应着编号为1﹣100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
【分析】分析各号开关被按的次数，可得出n号开关被按的次数等于n的约数的个数，进而可得出约数个数是奇数，则n一定是平方数．结合100＝102，可得出100以内共有10个平方数，即最终状态为“亮”的灯共有10盏．
【答案】10【解析】∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了2次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，…，
∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数，∴约数个数是奇数，则n一定是平方数．∵100＝102，∴100以内共有10个平方数，∴最终状态为“亮”的灯共有10盏．故答案为：10．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，根据各号开关被按的次数，找出“n号开关被按的次数等于n的约数的个数”是解题的关键．
14．【2023·十堰】用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 7n+6 ．（用含n的式子表示）
【分析】第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12+1＝3×4+1，第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18+2＝3×6+2，第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24+3＝3×8+3，…，据此可求得第n个图案所需要的火柴棍的根数．
【答案】7n+6【解析】∵第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12+1＝3×4+1，第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18+2＝3×6+2，第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24+3＝3×8+3，…，∴第n个图案需要火柴棍的根数为：3（2n+2）+n＝6n+6+n＝7n+6．故答案为：7n+6．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律．
16．【2023·恩施州】观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①
0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
【答案】（﹣2）10﹣22024+2024
四川省
16．【2023·广安】在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y=33x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为 ．
【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，可得△BnAnAn+1的高为an•sin60°=32an，即Bn的纵坐标为32an，又点B1，B2，B3，…是直线y=33x上的第一象限内的点，知Bn的横坐标为32an，故Bn（32an，32an），即可得B2023（3×22022，3×22022）．
【答案】（3×22022，3×22022）【解析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，∵△BnAnAn+1是等边三角形，∴△BnAnAn+1的高为an•sin60°=32an，即Bn的纵坐标为32an，∵点B1，B2，B3，…是直线y=33x上的第一象限内的点，
∴∠AnOBn＝30°，∴Bn的横坐标为32an•3=32an，∴Bn（32an，32an），∵点A1的坐标为（2，0），∴a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，∴an＝2n，∴Bn（3×2n﹣1，3×2n﹣1），当n＝2023时，
B2023（3×22022，3×22022），故答案为：（3×22022，3×22022）．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握等边三角形的性质，能熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系．
黑龙江
17．【2023·齐齐哈尔】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x 轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x 轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x 轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 ．
【分析】根据题意，结合图形依次求出 A1，A2，A3 的坐标，再根据其规律写出 A2023 的坐标即可．
【答案】（4-122021，122021） 【解析】在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，∵OA1⊥AB，∴△OA1B 是等腰直角三角形，同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，∴A1（2，2），根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4-12，12），A4（4-122，122），由此可推出：点A2023的坐标为（4-122021，122021），故答案为：（4-122021，122021）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出A_1 A_2 A_3$ 的坐标，找出其坐标的规律．
17．【2023·大庆】1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为 ．
【分析】根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．
【答案】128【解析】∵（a+b）0＝1，系数之和是20＝1；（a+b）1＝a+b，系数之和是21＝2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，系数之和是22；……（a+b）n，展开各项系数之和是2n．∴（a+b）7展开各项的系数之和为27＝128．
【点评】本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．
21．【2023·绥化】在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝ .（结果用含n的代数式表示）
【分析】根据题意可求得an＝4n﹣3，从而可求解．
【答案】2n2﹣n 【解析】∵图（1）有1个三角形，记作a1＝1；图（2）有5个三角形，记作a2＝5＝1+4＝1+4×1；图（3）有9个三角形，记作a3＝9＝1+4+4＝1+4×2；…，∴图（n）中三角形的个数为：an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，∴a1+a2+a3+…+an＝1+5+9+…+（4n﹣3）=1+4n-32⋅n ＝2n2﹣n．故答案为：2n2﹣n．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出an＝4n﹣3．
20．【2023·龙东地区】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y=33x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝22，顶点C在直线l2：y=3x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则
△A2023B2023C2023的面积是 ．
【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC=3，证明△ABC∽△A1B1C1，△ABC∽△A2B2C2，得出S△A1B1C1=4S△ABC，S△A2B2C2=42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，总结得出S△AnBnCn=（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，从而得出S△A2023B2023C2023=22×2023×3=240463．
【答案】240463 【解析】∵OB＝22，∴B（22，0），∵AB⊥x轴，∴点A的横坐标为22，∵直线l1：y=33x，∴点A的纵坐标为33×22=263，∴∠AOB=ABOB=26322=33，∴∠AOB＝30°，∵直线l2：y=3x，∴C（xC，3xC），∴∠BOC=3xCxC=3，∴∠BOC＝60°，∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，∴BC∥B1C1∥B2C2，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，∴OB=12OB1，OB1=12OB2，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴AB∥A1B1∥A2B2，∴ABA1B1=OBOB1=12，ABA2B2=OBOB2=14，∵BC∥B1C1∥B2C2，∴BCB1C1=OBOB1=12，BCB2C2=OBOB2=14，∴ABA1B1=BCB1C1，∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC∽△A1B1C1，同理△ABC∽△A2B2C2，∴S△A1B1C1=4S△ABC，S△A2B2C2=42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，∴S△AnBnCn=（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，S△A2023B2023C2023=22×2023×3=240463．故答案为：240463．
【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律的探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质．解题的关键是得出一般规律．
山西省
12．【2023•山西12题】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）．
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【答案】（2+2n）
三、解答题
安徽省
18．【2023·安徽18题】【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×52，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
解：（1）3n 解析：∵第1个图案中“◎”的个数为3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为6＝1+2+2+1，
第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1，…，∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n.
（2）n(n+1)2
（3）由题意得n(n+1)2=2×3n，解得n＝11或n＝0（不符合题意）．