人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法教学设计，共8页。教案主要包含了方法总结等内容，欢迎下载使用。
素养目标
1.掌握二次根式的加减运算法则，能进行二次根式的加减法运算.
2.会灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的加减运算.
教学重难点
重点：二次根式的加减运算法则.
难点：使学生掌握二次根式运算的方法，并能在练习中加以运用.
教学过程
新课导入
课件展示例题：现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
能截出两个正方形木板的条件是什么？你能用数学式子表示这个条件吗？
学生通过比较得出18＜5，8＜5，即木板的宽够，从而把问题转化为木板的长是否够，即转化为比较18＋8与7.5的大小问题，这就需要计算18＋8的结果.引出课题“二次根式的加减”.
新课教学
探究点一 可以合并的二次根式
【例1】化简下列二次根式，并指出哪些二次根式是可以合并的.
（1）27.（2）－1527a.（3）13.（4）2a3b（a＞0，b＞0）.（5）b127a3.
【解析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再观察每个最简二次根式的被开方数，被开方数相同的二次根式就可以合并.
【解】（1）27＝32×3＝33.
（2）－1527a＝－1527aa2＝－35a3a.
（3）13＝39＝33.
（4）2a3b＝a2·2abb2＝ab2ab.
（5）b127a3＝b3a81a4＝b9a23a.
（1）和（3），（2）和（5）可以合并.
【方法总结】判断两个二次根式是否可以合并，必须先将其化成最简二次根式，再看被开方数是否相同.若相同，则可以合并，否则不能合并.
探究点二 二次根式的加减运算
【例2】计算：
（1）239x＋6x4－2x1x.
（2）24－0.5+223－18－6.
【解析】先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
【解】（1）原式＝23×3x＋6×12x－2x·xx
＝2x＋3x－2x
＝3x.
（2）原式＝26－122＋236－142＋6
＝2+23+16＋－12－142
＝1136－342.
【方法总结】二次根式的加减法运算的步骤：（1）将每个二次根式都化简；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.可简记如下：一化简，二判断，三合并.
课堂训练
1.计算2－18的结果是（ ）
A.16B.－16
C.－22 D.22
2.下列计算正确的是（ ）
A.2＋3＝5B.12－3＝3
C.35－5＝3D.3＋22＝52
3.计算：
（1）212－613＋48.
（2）439x＋6x4.
板书设计
第1课时 二次根式的加减
1.二次根式的加减运算的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
2.步骤：一化简，二判断，三合并.
课堂小结
本节课学习了二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.会根据二次根式的加减法法则进行化简运算.
教学反思
本节课先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，此问题贴近学生的生活，易激发学生的学习兴趣.由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则，再理解、掌握和运用二次根式的加减运算法则.
在二次根式的加减运算中，要将最后结果化为最简二次根式，但几个二次根式是否可以合并，就需要判断被开方数是否相同，没有整式同类项的判断直接.前者往往需要把每一个二次根式化简，这会造成学生学习困难，所以教师在教学过程中引导学生进行类比时，指向一定要明确，由浅入深，总结得出“一化简”“二判断”“三合并”的步骤.
答案
课堂训练
1.C 2.B
3.解：（1）原式＝2×23－6×33＋43
＝43－23＋43
＝63.
（2）原式＝43×3x＋6×x2
＝4x＋3x
＝7x.
第2课时 二次根式的混合运算
素养目标
1.类比整式及数的混合运算进行二次根式的混合运算.
2.正确地进行二次根式的混合运算和求含有二次根式的代数式的值.
教学重难点
重点：掌握二次根式的混合运算的方法.
难点：会用二次根式的混合运算法则进行有关的计算.
教学过程
新课导入
计划在甲、乙两个城市间修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽42m、下底宽62m、高6m的梯形.已知这段路基长500m，那么这段路基的土石方（路基的体积）为多少立方米？（路基的体积＝路基横断面面积×路基的长度）
新课教学
探究点 二次根式的混合运算
类型一 二次根式的混合运算
【例1】计算：
（1）3（6＋8）.
（2）（43－36）÷23.
（3）（6＋2）（6－3）.
（4）（5＋7）（5－7）.
（5）（5＋2）2.
（6）（23－2）2.
【解析】根据单项式乘单项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式的法则及乘法公式进行计算.
【解】（1）原式＝18＋24＝32＋26.
（2）原式＝43÷23－36÷23＝2－322.
（3）原式＝6－36＋26－6＝－6.
（4）原式＝52－（7）2＝25－7＝18.
（5）原式＝5＋45＋4＝9＋45.
（6）原式＝12－46＋2＝14－46.
【方法总结】二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方，再乘除，最后加减.在二次根式的混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.
类型二 有关二次根式的整数部分和小数部分的运算
【例2】已知7＋5和7－5的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值.
【解析】明确5的整数部分是2，再得到7＋5＝9＋a，7－5＝4＋b，进而可求得a，b的值，最后代入计算即可.
【解】∵5的整数部分为2，∴7＋5＝9＋a，7－5＝4＋b，解得a＝－2＋5，b＝3－5，
∴ab－a＋4b－3＝（－2＋5）×（3－5）－（－2＋5）＋4×（3－5）－3＝－11＋55＋2－5＋12－45－3＝0.
【方法总结】先估算出二次根式的整数部分，再用二次根式减去整数部分，得出小数部分，最后把a，b的值代入求值.
类型三 二次根式的化简求值
【例3】已知x＝2－3，则x2－4x－3的值为 .
【解析】先利用已知条件得x－2＝－3，然后利用整体代入的方法计算即可.∵x＝2－3，∴x－2＝－3，∴x2－4x－3＝（x－2）2－7＝（－3）2－7＝3－7＝－4.
【解】－4
【方法总结】二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.
课堂训练
1.计算：
（1）（2＋1）（2－1）＋2×8.
（2）12＋146÷27.
2.若13－7的整数部分是a，小数部分是b，求a2＋（1＋7）ab的值.
板书设计
第2课时 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算的法则及公式的运用.
课堂小结
本节课学习了二次根式的混合运算的法则，掌握混合运算的顺序，能够正确地进行混合运算.
教学反思
在二次根式的混合运算中，让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系.在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.
学会进行二次根式的加、减、乘、除的混合运算，对用换元法、公式法等解决二次根式的化简问题还有待加强.
答案
课堂训练
1.解：（1）原式＝2－1＋2×8
＝1＋4
＝5.
（2）原式＝23＋64÷33
＝23＋212.
2.解：13－7＝3+7（3－7)(3+7）＝3+72.
∵2＜7＜3，
∴5＜3＋7＜6，
∴2.5＜3+72＜3.
∵13－7的整数部分是a，小数部分是b，
∴a＝2，b＝3+72－2＝7－12，
∴a2＋（1＋7）ab＝22＋（1＋7）×2×7－12＝4＋（7－1）＝4＋6＝10.