数学八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法优秀教案

这是一份数学八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法优秀教案，共4页。教案主要包含了情境导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。

八年级数学下册 19
教学目标
课题
19.3 第2课时二次根式的混合运算
授课人

素养目标
1.正确进行二次根式的混合运算，灵活运用运算律、乘法公式使计算简便，掌握规范的解题过程，体会类比、化归等数学思想，培养学生知识迁移的能力.
2.经历观察、推理、类比、交流等数学活动过程，提高数学探究能力和归纳表达能力.
教学重点
二次根式的加、减、乘、除混合运算.
教学难点
由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
生活中有许多梯形，比如足球球门的侧面.如果一个梯形的上、下底边长分别为2 2,4 3高为 6，那么它的面积是多少?状状是这样算的：
梯形的面积： 12×22+43×6=2+23×6 =2×6+23×6=12+218=23+62
他的做法正确吗?
答：正确.
【教学建议】
让学生相互讨论，
可以引导学生利用计算器检验是否正确.
设计意图
借助梯形的面积导入新课的学习.
活动二：问题引入，自主探究
探究点1 二次根式的混合运算
1.对比(a+b)c= ac+ bc ,想一想( 2+23×6=2×6+23×6成立的依据是什么?
答：分配律.
2.类似地，参考 a+b÷c=a+b⋅1c=a⋅1c+b⋅1c,a+b(m+n)= am+ bm+ an+ bn,计算：
18+3×6;242−36÷22;32+32−5).
解:(1)原式=8×6+3×6=8×6+3×6=43+32;
(2)原式: =42−36×122=42×122−36×122=2−323;
(3)原式: =2²−52+32−15=2−22−15=−13−22.
【对应训练】
计算：
123+5;280+40÷5;35+35+2.
解:(1)原式 =6+10;(2)原式: =16+8=4+22;
(3)原式= =5²+35+25+6=5+55+6=11+55
【教学建议】
指定学生代表解
答，引导学生回忆整式乘法中的分配律，类比整式的乘法来计算.告诉学生在二次根式的运算中，整式的乘法法则仍然适用.
设计意图
引导学生类比整式学习二次根式的混合运算.
20名师教学设计
教学步骤
师生活动
设计意图
探究点 2 二次根式与乘法公式
1.对比( a+ba−b=a²−b²,，想想该怎么计算( 5+35−3?
解： 5+35−3=5²−3²=5−3=2.
2.类似地，参考( a+b²=a²+2ab+b²;a−b²=a²−2ab+b²，计算：
12+3²; 237−23².
解:(1)原式 =2²+2×2×3+3²=2+26+3=5+26;
(2)原式=( 37²−2×37×23+23²=63−1221+12=75一 1221.
【对应训练】
计算：
16+26−2; 24+74−7;
3a+ba−b; 43+2²;
525−2².
解:(1)原式 =6²−2²=6−2=4;
(2)原式 =4²−7²=16−7=9;(3)原式 =a²−b²=a−b;
(4)原式 =3²+2×3×2+2²=3+43+4=7+43;
(5)原式 =25²−2×25×2+2²=20−410+2=22−410.
【教学建议】
指定学生代表解答，引导学生回忆乘法公式，告诉学生在二次根式的运算中，乘法公式仍然适用.注意提醒学生将3 7方时，要把 3 和 7平方.
引导学生运用乘法公式进行二次根式的运算.
活动三：重点突破，提升探究
例1 计算：
148÷−3−12×12+24;
23−73+7+22−2;
3312−213+48÷23+13².
解:(1)原式= =−16−6+26=−4+6;
(2)原式 =9−7+22−2=22;
(3)原式 =63−233+43÷23+13=3−13+2+13=5.
例2已知a=3+2 2,b=3-2 2,求a²b−ab²的值.
解： ab=1,a−b=42,所以 a²b−ab²=aba−b=1×42=42.
【对应训练】
1.计算:
127−3+2÷3; 25+12−1×5+12;
36−1332−3424×−26.
解:(1)原式 =33−1−233=733−1;
(2)原式 =5+1−22×5+12=5−12×5+12=5−14=1;
(3)原式 =6−66−326×−26=−12+2+18=8
2.先化简，再求值：2a+3a−3−aa−6+6,其中 a=2−1.
解：原式= 2a²−3−a²−6a+6=2a²−6−a²+6a+6=a²+6a.
当 a=2−1时，原式= =2−1²+62−1=2−22+1+62−6=42−3.
【教学建议】
提醒学生二次根式的混合运算顺序与有理数相同：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.一般先将每个二次根式化为最简二次根式再计算(可根据式子特点灵活选择，比如例1(1)中的 48和 12就 没 有 先 化简)，最后将结果中的每一项化为最简二次根式或整式.
设计意图
帮助学生准确熟练地进行二次根式的混合运算.
备课素材
解题大招
解题大招一 有理化因式的应用
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式.如： 3−2是 3+2的有理化因式； ma+nb是 ma−nb的有理化因式.
例1 阅读材料，解答问题：
材料：已知 18−x−11−x=1,求 18−x+11−x的值.
张山同学是这样解答的：
因为
所以 18−x+11−x=7.
问题：已知 30−x+9−x=7.
(1)求 30−x−9−x的值; (2)求x 的值.
解:(1)因为( 30−x+9−x)30−x−9−x=30−x2−9−x2=30−x−9+x=21,所以 30−x− 9−x=3.
(2)由 {30−x+9−x=7,30−x−9−x=3,得 30−x=5,
所以30-x=25,所以x=5.经检验,x=5符合题意.故x的值为5.
解题大招二 分母有理化
把分母中的根号化去，通常是分子、分母同乘同一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的.
如 13+2=3−23+23−2=3−2.
八年级数学下册 21
教学步骤
师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
以前学过的运算律、运算法则和乘法公式在二次根式的混合运算中依然适用吗?二次根式的混合运算最后的计算结果有什么要求?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P16习题19.3第3,5,6,7,8题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
19.3二次根式的加法与减法
第2课时 二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算：
先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
2.运用乘法公式和运算律进行计算：
在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
教学反思
本课时要将整式运算的知识迁移到二次根式中来，教学中先用类比的方式引导学生理解，再用练习帮助学生在实例中掌握.本课时可以说是本章所学内容的综合运用，通过检查可以估计本章教学的基本要求是否达到，关注有哪些不足的地方，以便后续复习时查漏补缺.
例2 在化简 x−yx+y时，甲、乙两位同学的解法如下：
甲 :x−yx+y=x−yx−yx+yx−y=x−yx−yx−y=x−y.
乙 :x−yx+y=x2−y2x+y=x−yx+yx+y=x−y.
则对甲、乙两人的解法的判断正确的是(B)
A.两人都对B.甲错，乙对C.甲对，乙错D.两人都错
解析：当x=y时， x−y=0,根据分式的基本性质可知甲的解法不正确，乙的解法正确，故选 B.
例3 阅读下列材料，然后回答问题：

(1)求 17+6的值; (2)求 1n+1+n((n为正整数)的值；.
(3)计算 :11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100.
解 117+6=7−67+67−6=7−67−6=7−6;
21n+1+n=n+1−nn+1+nn+1−n=n+1−nn+1−n=n+1−n;
(3)原式= 2-1+ 3- 2+ 4- 3+···+ 99- 98+ 100- 99= 100-1=10-1=9.
解题大招三 二次根式的混合运算
注意：①在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律；②进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式).
例4 计算： 3−22024×3+22025=3+2.
解析：原式 =3−22024×3+22024×3+2=[( 3-2)( 3+2)]²⁰²⁴×( 3+2)=(-1)²⁰²⁴×( 3+2)= 3+2.
例5 已知 a=12+3,求 1−2a+a2a−1−a2−2a+1a2−a的值.
解：因为 a=12+3,所以 a=2−3,1a=2+3,所以 a−1=2−3−1=1−3