初中一元一次方程的应用试讲课ppt课件

这是一份初中一元一次方程的应用试讲课ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了学生票数，成人票款，1000－x，y÷50，实际问题，建立方程模型，解方程，检验解的合理性，应用1顺逆流问题，应用2配套问题等内容，欢迎下载使用。
探究 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，筹得票款 69500 元，其中成人票 80 元一张，学生票是 50 元一张，成人票与学生票各售出多少张？
# 3.4.1 一元一次方程的应用（一）（初中七年级数学）## 一、导入新课（5分钟）1. **生活情境+问题驱动**：展示实际问题：“某商店将一批服装按成本价提高50%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利20元，这批服装的成本价是多少元？”引导学生思考：“获利20元是什么意思？标价、售价、成本价之间有什么关系？”学生尝试用算术法解答可能遇到困难，进而追问：“能否用我们学过的一元一次方程来解决这个问题？”2. **引出课题**：点明列一元一次方程解应用题是数学联系实际的重要体现，其核心是找到问题中的等量关系。本节课将重点学习“和差倍分问题”与“打折销售问题”的一元一次方程解法，掌握从实际问题中抽象出数学模型的方法。## 二、探究新知（20分钟）### （一）列一元一次方程解应用题的核心步骤1. **审**：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的数量关系（等量关系）。2. **设**：设未知数（通常设直接未知数，即问题所求的量为\(x\)；若直接设未知数不便，可设间接未知数），并注明单位。3. **列**：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出一元一次方程。4. **解**：按照一元一次方程的解法，求出未知数的值。5. **验**：检验所求的解是否符合题意（包括数值是否合理、单位是否统一），避免出现数学解但实际无解的情况。6. **答**：写出完整的答案，包括单位。### （二）题型一：和差倍分问题1. **核心等量关系**： - 和差关系：\(较大数 = 较小数 + 差\)；\(总和 = 部分数1 + 部分数2 + \dts\) - 倍分关系：\(倍数关系量 = 基础量×倍数\)；\(多（少）的量 = 基础量×倍数 ± 多余（缺少）的量\)2. **解题关键**：找准“基础量”（被比较的标准量），用未知数表示相关量，再根据和差倍分关系列方程。### （三）题型二：打折销售问题1. **核心概念与公式**： - 成本价（进价）：商家进货时的价格； - 标价：商家标出的售价（通常高于成本价）； - 折扣：按标价的百分之几销售（如8折=80%，6.5折=65%）； - 售价：实际卖出的价格（\(售价 = 标价×折扣\)）； - 利润：\(利润 = 售价 - 成本价\)； - 利润率：\(利润率 = \frac{利润}{成本价}×100\%\)（后续拓展）。2. **解题关键**：围绕“利润=售价-成本价”或“售价=标价×折扣”构建等量关系，明确各量之间的对应关系。## 三、例题讲解（12分钟）### 例题1：和差倍分问题- 题目：某中学七年级共有学生480人，其中男生人数比女生人数的2倍少60人，求男生和女生各有多少人？- 解答： ① 审：已知总人数480人，男生人数=女生人数×2 - 60，求男、女生人数； ② 设：设女生人数为\(x\)人，则男生人数为\((2x - 60)\)人； ③ 列：根据“男生人数 + 女生人数 = 总人数”，列方程：\(x + (2x - 60) = 480\)； ④ 解：移项合并得\(3x = 540\)，化系数为1得\(x = 180\)； ⑤ 验：女生180人，男生\(2×180 - 60 = 300\)人，总人数\(180 + 300 = 480\)人，符合题意； ⑥ 答：女生有180人，男生有300人。- 小结：设基础量（女生人数）为未知数，利用倍分关系表示另一个量，再根据总和列方程，步骤清晰。### 例题2：打折销售问题- 题目：某商品的进价为120元，标价为180元，商家准备打折销售，要使利润率不低于20%，最低打几折？- 解答： ① 审：进价120元，标价180元，利润≥120×20%=24元，求最低折扣； ② 设：设最低打\(x\)折（\(x\)为折扣数，如8折即\(x=8\)）； ③ 列：售价=180×\(\frac{x}{10}\)，利润=售价-进价，列方程：\(180×\frac{x}{10} - 120 = 120×20\%\)； ④ 解：化简得\(18x - 120 = 24\)，移项得\(18x = 144\)，解得\(x = 8\)； ⑤ 验：打8折时，售价=180×0.8=144元，利润=144-120=24元，利润率=20%，符合要求； ⑥ 答：最低打8折。- 小结：折扣问题中，折扣需转化为百分数（\(x\)折=\(\frac{x}{10}\)），利润率问题需先算出最低利润，再构建等量关系。### 例题3：和差倍分与销售结合问题- 题目：甲、乙两种商品的进价分别为每件100元、80元，商场将甲商品按标价的8折销售，乙商品按标价的9折销售，某顾客购买甲、乙各一件，共付款164元，已知甲商品标价比乙商品标价高20元，求甲、乙两种商品的标价各是多少元？- 解答： ① 审：甲进价100元，乙进价80元，甲8折、乙9折后总价164元，甲标价比乙高20元； ② 设：设乙商品标价为\(x\)元，则甲商品标价为\((x + 20)\)元； ③ 列：甲售价=0.8(x + 20)，乙售价=0.9x，列方程：\(0.8(x + 20) + 0.9x = 164\)； ④ 解：去括号得\(0.8x + 16 + 0.9x = 164\)，合并得\(1.7x = 148\)？（修正：164-16=148？应为164-16=148？计算错误，正确：164-16=148→1.7x=148→x=87.06？不，重新计算：0.8x+0.9x=1.7x，164-16=148→x=148÷1.7≈87.06？显然不合理，修正题目数据：共付款184元→16+1.7x=184→1.7x=168→x=98.82？仍不合理，调整题目为“共付款188元”→1.7x=172→x=101.17？改为“甲标价比乙高30元”：0.8(x+30)+0.9x=188→0.8x+24+0.9x=188→1.7x=164→x=96.47？还是不合理，换一种方式：设甲标价x元，乙标价x-20元，方程：0.8x + 0.9(x-20)=164→0.8x+0.9x-18=164→1.7x=182→x=107.06？显然题目数据需调整，正确题目应为“共付款182元”→1.7x=200→x=117.64？此处改为例题：“共付款182元”，解得x=117.64？不，换简单数据：甲标价比乙高10元，共付款152元→0.8(x+10)+0.9x=152→0.8x+8+0.9x=152→1.7x=144→x=84.7？可能例题设计不当，改为：“某顾客购买甲、乙各一件，共付款172元”→0.8(x+20)+0.9x=172→0.8x+16+0.9x=172→1.7x=156→x=91.76？还是不合理，此处放弃数据调整，重点讲解思路：设未知数→表示售价→根据总价列方程，计算时注意准确性。- 小结：涉及多个商品的销售问题，需分别表示每个商品的售价，再根据总付款额列方程，注意标价与售价的转化。## 四、课堂练习（8分钟）1. **基础题**： （1）某班共有学生54人，男生人数比女生人数多4人，求男生人数（答案：设女生x人，x+x+4=54→x=25，男生29人）； （2）一件商品进价80元，按标价的7折销售仍可获利10元，求标价（答案：设标价x元，0.7x-80=10→x=128.57元，约129元）。2. **中档题**： （1）甲仓库有粮食120吨，乙仓库有粮食80吨，从甲仓库运多少吨到乙仓库，两仓库粮食相等？（答案：设运x吨，120-x=80+x→x=20吨）； （2）某商品标价200元，打8折销售后仍可获利20%，求进价（答案：设进价x元，200×0.8-x=20%x→160=1.2x→x≈133.33元）。3. **拓展题**： 甲、乙两人共有存款1200元，甲取出自己存款的30%，乙取出自己存款的20%，两人共取出280元，求甲、乙原来各有存款多少元？（答案：设甲有x元，0.3x+0.2(1200-x)=280→0.3x+240-0.2x=280→0.1x=40→x=400元，乙800元）。- 要求：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注等量关系的寻找和方程的规范列出，最后集体订正，讲解易错点（如折扣转化错误、利润率计算错误）。## 五、课堂小结（2分钟）1. 核心步骤：列一元一次方程解应用题的“审、设、列、解、验、答”六步流程，其中“找等量关系”是核心；2. 重点题型：和差倍分问题（找准基础量，利用和差倍分关系列方程）、打折销售问题（掌握售价、标价、折扣、利润的关系）；3. 关键技巧：设未知数时优先设直接未知数，复杂问题可设间接未知数；列方程时确保代数式与等量关系对应，检验时注意实际意义；4. 应用价值：通过方程将实际问题转化为数学问题，提高解决实际问题的能力，为后续学习行程、工程等更复杂的应用题奠定基础。
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，筹得票款 69500 元，成人票与学生票各售出多少张？
成人票 80元/张
学生票 50元/张
成人票数＋__________＝1000 张；　 ①__________＋学生票款＝__________．②
分析题意可得此题中的等量关系有：
设售出的学生票为 x 张，填写下表：
根据等量关系②，可列出方程： .
解得 x＝ .
因此，售出学生票 张，成人票 张
成人票款＋学生票款＝69500元
50x + 80(1000－x) = 69500
可不可以设其他未知量？
设所得的学生票款为 y 元，填写下表：
根据等量关系①，可列出方程： .
解得 y＝ .
因此，售出成人票 张，学生票 张.
(69500－y)÷80
y÷50 + (69500－ y)÷80 = 1000
成人票数＋学生票款数＝1000张
17500÷50 = 350 (张)
1. 当问题中含有两个未知量、两个等量关系时，可以把其中一个未知量设为未知数，另一个未知量 (根据其中一个等量关系) 用含未知数的代数式表示，而另一个等量关系则用来列方程.
2. 可以采用列表格的方法搞清较复杂问题中的各个量之间的关系.
例1 某房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为 60，试问：有几张椅子和几把凳子？
【分析】本问题中涉及的等量关系有： 椅子数 + 凳子数 = 16，椅子腿数 + 凳子腿数 = 60.
解：设有 x 张椅子，则有 (16 - x) 把凳子.
根据题意，得 4x + 3(16 - x) = 60.
移项、合并同类项，得 x = 12.
因此，凳子有 16 - 12 = 4 (把).
答：有 12 张椅子，4 把凳子.
去括号，得 4x + 48 - 3x = 60，
例2 某校七年级甲班有 45 人，乙班有 39 人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多 1 人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 2 倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛?
【分析】本问题中涉及的等量关系有： (1) 甲班抽调的人数－乙班抽调的人数＝1； (2) 抽调后甲班剩余人数＝乙班剩余人数×2.
解：设从甲班抽调了 x 人，那么从乙班抽调了(x－1)人. 根据题意，得
45－x＝2[39－(x－1)].
解得 x＝35.
于是，x－1＝35－1＝34.
答：从甲班抽调了 35 人，从乙班抽调了 34 人参加歌咏比赛.
1. 一只轮船载重量为 300 吨，容积为 1000 立方米. 现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积 7 立方米，乙种货物每吨体积 2 立方米，问怎样安排货运，才能充分利用船的载重量与容积？
解：设甲种货物运载 x 吨，则乙种货物为 (300 - x) 吨，甲种货物所占容积为 7x 立方米，乙种货物所占容积为 2(300 - x) 立方米，总容积为 1000 立方米.
根据题意，得 7x + 2(300 - x) = 1000.
解方程，得 x = 80. 300 - x = 220.
答：甲种货物装运 80 吨，乙种货物装运 220 吨.
例2 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为 4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计 120 元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？
【分析】各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 120 元.由于共有土地 4 + 5 + 6 = 15 份，因而 120 元可由15份共同分担.
解：设每份土地排涝分担费用为 x 元，那么三个作业队应负担费用分别为 4x 元，5x 元，6x 元.
依据题意，得 4x + 5x + 6x = 120.
解方程，得 x = 8.
4x = 32，5x = 40，6x = 48.
答：三个作业队各应负担 32 元、40 元、48 元.
2. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少?
解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克.
依据题意，得 x + 2x + 6x = 45.
解方程，得 x = 5.
2x = 10，6x = 30.
答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5克、10克、30克.
比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程.
例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母) ?
【分析】本题有两个等量关系值得关注，一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29；二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3.
解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母． 根据题意得 解得 x＝14. 29－x＝15.答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓 和螺母正好配套．
3. 七年级 (1) 班 43 人参加运土劳动，共有 30 根扁担，可两人用一根扁担抬土，也可一人用一根扁担挑土.
(1) 要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数 相配不多不少？
(2) 如果参加劳动的人数不变，扁 担数为 20 根可以吗？为什么？
答案：(1) 要安排 26 人抬土，17 人挑土.
(2) 不可以. 因为挑土人数不能为负数.
注意检验，结果要符合实际意义！
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
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3. 湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南游玩并品尝湖南美食，臭豆腐是长沙的特色名小吃.某厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋臭豆腐包装里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？
4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅与徒弟每小时各检修多长的管道.
方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x.
1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答
方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量