初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）认识二元一次方程组精品课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）认识二元一次方程组精品课件ppt，共21页。PPT课件主要包含了x＋2y＝94，x＋y＝35，m＝1，m＋n＝0，∠1∠2，方程的解，x＋y＝35①，公共解，二元一次方程，二元一次方程组等内容，欢迎下载使用。
还记得前面所学的《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题吗？ 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?
能否设两个未知数解决？
解：设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只.4x + 2(35－x) = 94.
# 3.5 认识二元一次方程组（初中七年级数学）## 一、教学过程### （一）情境导入（5分钟）1. 展示两个实际问题，引导学生思考： - 问题1：某班同学去公园划船，若每条船坐3人，则多16人；若每条船坐5人，则刚好坐满。问有多少条船？多少名同学？ - 问题2：现有面值为2元与5元的人民币共30张，总金额为99元。问2元人民币和5元人民币各有多少张？2. 引导学生尝试用一元一次方程解答： - 问题1中，设船有\(x\)条，则同学有\(3x + 16\)人，列方程\(3x + 16 = 5x\)，可求解。 - 问题2中，设2元人民币有\(x\)张，则5元人民币有\(30 - x\)张，列方程\(2x + 5(30 - x) = 99\)，可求解。3. 追问：若问题2中同时设2元人民币有\(x\)张，5元人民币有\(y\)张，能列出什么式子？引出本节课主题——认识二元一次方程组。### （二）新知探究（15分钟）1. 二元一次方程的概念： - 针对问题2的设元，引导学生列出式子：\(x + y = 30\)和\(2x + 5y = 99\)。 - 观察这两个式子的特点：① 含有两个未知数（\(x\)和\(y\)）；② 未知数的次数都是1；③ 等号两边都是整式。 - 给出定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 - 即时练习：判断下列方程是否为二元一次方程？① \(3x + 2y = 5\)；② \(x + \frac{1}{y} = 2\)；③ \(x^2 + y = 7\)；④ \(3x + 5 = 8\)。（答案：①是，②③④不是，分别说明理由）2. 二元一次方程的解： - 提问：对于方程\(x + y = 30\)，\(x = 10\)，\(y = 20\)是它的解吗？\(x = 15\)，\(y = 15\)呢？如何判断一个数对是否为二元一次方程的解？ - 给出定义：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解（记作\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)）。 - 引导学生发现：二元一次方程有无数个解，因为给定一个\(x\)的值，总能求出对应的\(y\)的值。3. 二元一次方程组的概念： - 提问：问题2中，\(x + y = 30\)和\(2x + 5y = 99\)两个方程有什么联系？（都含有相同的两个未知数\(x\)和\(y\)，且表示同一个问题的数量关系） - 给出定义：把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 - 示例：\(\begin{cases}x + y = 30 \\ 2x + 5y = 99\end{cases}\)，强调方程组中每个方程都要满足二元一次方程的定义，且未知数相同。4. 二元一次方程组的解： - 提问：什么是二元一次方程组的解？（能使方程组中两个方程左右两边都相等的两个未知数的值） - 针对问题2的方程组，引导学生验证：\(\begin{cases}x = 17 \\ y = 13\end{cases}\)是否为解？（代入第一个方程：\(17 + 13 = 30\)，成立；代入第二个方程：\(2×17 + 5×13 = 34 + 65 = 99\)，成立，因此是方程组的解） - 强调：二元一次方程组的解是唯一的（针对有唯一解的情况），是两个方程解的公共部分。### （三）例题讲解（10分钟）1. 例题1：判断下列方程组是否为二元一次方程组？ - ① \(\begin{cases}x + y = 4 \\ 2x - 3y = 7\end{cases}\) ② \(\begin{cases}3x + 2y = 5 \\ x + z = 6\end{cases}\) ③ \(\begin{cases}x + 2y = 3 \\ xy = 4\end{cases}\) ④ \(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \\ 2x - y = 5\end{cases}\) - 解答：①是（两个二元一次方程，未知数相同）；②不是（未知数不同，含\(x,y,z\)三个未知数）；③不是（\(xy\)项的次数是2）；④是（整理后为二元一次方程，未知数相同）。 - 小结：判断二元一次方程组的关键的是“两个未知数”“两个一次方程”“未知数相同”。2. 例题2：已知\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}ax + by = 5 \\ bx + ay = 1\end{cases}\)的解，求\(a\)和\(b\)的值。 - 解答：将\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)代入方程组，得\(\begin{cases}2a + b = 5 \\ 2b + a = 1\end{cases}\)。 - 解第一个方程：\(b = 5 - 2a\)，代入第二个方程：\(2(5 - 2a) + a = 1\)，即\(10 - 4a + a = 1\)，解得\(a = 3\)。 - 把\(a = 3\)代入\(b = 5 - 2a\)，得\(b = 5 - 6 = -1\)。 - 检验：将\(a = 3\)，\(b = -1\)代入原方程组，左边分别为\(3×2 + (-1)×1 = 5\)和\((-1)×2 + 3×1 = 1\)，与右边相等，因此\(a = 3\)，\(b = -1\)。 - 小结：利用方程组的解的定义，将解代入方程组，转化为关于未知数系数的一元一次方程（或方程组），可求解系数的值。### （四）课堂练习（8分钟）1. 基础题： - （1）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. \(x + 2y = 3z\) B. \(2x + y = 3\) C. \(x^2 + y = 5\) D. \(x + \frac{1}{y} = 2\)（答案：B） - （2）写出二元一次方程\(2x + y = 7\)的3个解：________________________（答案：如\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 7\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 5\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)）2. 中档题： - （1）已知方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)，判断\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是否为该方程组的解（答案：是，代入验证即可）。 - （2）若\(\begin{cases}x = m \\ y = n\end{cases}\)是方程\(3x - 2y = 1\)的解，求\(6m - 4n + 2\)的值（答案：由\(3m - 2n = 1\)，得\(6m - 4n = 2\)，因此\(6m - 4n + 2 = 4\)）。3. 拓展题： - 已知方程组\(\begin{cases}(k - 1)x + 5y = 10 \\ 3x + (k + 2)y = 8\end{cases}\)是二元一次方程组，求\(k\)的取值范围（答案：\(k ≠ 1\)且\(k ≠ -2\)，保证两个方程都是二元一次方程）。### （五）课堂小结（2分钟）1. 核心概念：二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组、二元一次方程组的解的定义；2. 关键要点：二元一次方程有无数个解，二元一次方程组的解是两个方程解的公共部分；3. 解题方法：判断方程（组）类型紧扣定义，利用方程组的解代入可求解未知系数；4. 后续衔接：下节课将学习二元一次方程组的解法，为解决实际问题提供更便捷的工具。
(1) 找出，上述趣题中的等量关系：
探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?
(1) 兔的只数＋鸡的只数＝35；(2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
(2) 假设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？
设兔有 x 只，鸡有 y 只，
能否类比一元一次方程尝试总结定义？
注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程 就不是一次方程；
(2) 方程的左右两边都是整式.
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____．
|m－1|≠0 2n－1 ＝ 1
m ＝ －1n ＝ 1
1. 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m =____，n =____.
2m - 1 = 1
3n - 2m = 1
如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？
两个等量关系需要同时成立.
满足方程 x＋y＝35，且符合问题的实际意义 (鸡兔的只数) 的值有哪些？把它们填入表中.
思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
4x＋2y＝94. ②
思考2　上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？
x = 12，y = 23.
一般地，对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解.
例3 若 是关于 x、y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 .
例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元.(1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组.
解：(1) 根据等量关系，得
(2) 把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得：方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是 17；方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是 1.
因此， 是列出的二元一次方程组的一个解
①每个方程含有__个未知数；②含有未知数的项的次数______
使二元一次方程左右两边的值 的两个 的值
①含有__个未知数；②含有未知数的项的次数______；③一共有__个方程
二元一次方程组的两个方程的______