初中数学二元一次方程组的应用优质课课件ppt

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湘教版（2024）数学7年级上册第3章 一次方程（组）3.4.2一元一次方程的应用（二）1.工程问题中涉及到的三个量之间有什么关系？工作效率×工作时间= 工作量工作量÷工作效率=工作时间 工作量÷工作时间=工作效率 2.在工程问题中通常把哪个量看作整体“1”？在未知总工作量具体数据时，通常把总工作量看作整体“1”.# 3.4.2 一元一次方程的应用（二）（初中七年级数学）## 一、导入新课（5分钟）1. **情境递进+矛盾激发**：展示行程问题情境：“甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度为60km/h，乙车速度为80km/h，A、B两地相距350km，几小时后两车相遇？”再展示工程问题情境：“一项工程，甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，两队合作几天能完成这项工程的一半？”引导学生思考：“这两个问题的核心数量关系是什么？用算术法解答时需要考虑哪些因素？”学生尝试后发现，涉及“速度、时间、路程”或“工作效率、工作时间、工作总量”的复杂关系时，算术法思路繁琐，进而引出：“如何用一元一次方程更清晰地解决这类问题？”2. **引出课题**：点明行程问题和工程问题是一元一次方程应用的经典题型，其核心是围绕固定公式构建等量关系。本节课将重点学习“相向而行的行程问题”和“合作完成的工程问题”，掌握这类问题的方程解法，提升解决复杂实际问题的能力。## 二、探究新知（20分钟）### （一）核心解题流程回顾列一元一次方程解应用题的六步流程：**审→设→列→解→验→答**，核心仍是“找准等量关系”，将实际问题转化为数学方程。### （二）题型一：行程问题（相向而行）1. **核心公式**：\(路程 = 速度×时间\)（\(s = vt\)）2. **关键等量关系（相向而行）**： - 两车相遇时，**甲行驶的路程 + 乙行驶的路程 = A、B两地总路程**； - 若有一方先出发，需考虑“先行路程 + 后续共同行驶路程 = 总路程”。3. **解题要点**： - 统一单位（如速度单位km/h，时间单位h，路程单位km）； - 明确“同时出发”“先后出发”“相遇”等关键词的含义，梳理运动过程； - 设相遇时间为未知数，用“速度×时间”表示各自行驶的路程。### （三）题型二：工程问题（合作完成）1. **核心公式**：\(工作总量 = 工作效率×工作时间\)（通常将工作总量看作单位“1”）2. **关键等量关系（合作）**： - 甲的工作效率 + 乙的工作效率 = 合作的工作效率； - **甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量**（或部分工作量，如“工程的一半”）。3. **解题要点**： - 工作效率的表示：若单独完成一项工程需\(n\)天，则每天的工作效率为\(\frac{1}{n}\)； - 明确“合作时间”“单独做的时间”等概念，区分各自的工作量； - 总工作量未明确时，默认设为“1”（或根据题意设为具体数值，如“100”，简化计算）。## 三、例题讲解（12分钟）### 例题1：基础相向而行行程问题（同时出发）- 题目：A、B两地相距450km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度为50km/h，乙车速度为40km/h，经过多少小时两车相遇？- 解答： ① 审：已知总路程450km，甲速度50km/h，乙速度40km/h，同时出发相向而行，求相遇时间； ② 设：设经过\(x\)小时两车相遇； ③ 列：根据“甲路程 + 乙路程 = 总路程”，列方程：\(50x + 40x = 450\)； ④ 解：合并同类项得\(90x = 450\)，化系数为1得\(x = 5\)； ⑤ 验：\(5\)小时内甲行驶\(50×5 = 250km\)，乙行驶\(40×5 = 200km\)，\(250 + 200 = 450km\)，符合总路程； ⑥ 答：经过5小时两车相遇。- 小结：同时出发的相向而行问题，直接用“速度和×时间 = 总路程”的变形列方程，思路简洁。### 例题2：含先行的相向而行行程问题- 题目：甲、乙两地相距300km，甲车从甲地出发，速度为60km/h，1小时后乙车从乙地出发，速度为40km/h，两车相向而行，乙车出发后几小时与甲车相遇？- 解答： ① 审：总路程300km，甲先出发1小时，速度60km/h，乙后出发，速度40km/h，求乙出发后的相遇时间； ② 设：设乙车出发后\(x\)小时与甲车相遇，则甲车行驶的总时间为\((x + 1)\)小时； ③ 列：根据“甲先行路程 + 甲后续路程 + 乙路程 = 总路程”，列方程：\(60×1 + 60x + 40x = 300\)； ④ 解：化简得\(60 + 100x = 300\)，移项得\(100x = 240\)，解得\(x = 2.4\)； ⑤ 验：甲总行驶时间\(2.4 + 1 = 3.4\)小时，路程\(60×3.4 = 204km\)；乙路程\(40×2.4 = 96km\)，\(204 + 96 = 300km\)，符合题意； ⑥ 答：乙车出发后2.4小时与甲车相遇。- 小结：有一方先行时，需先算出先行路程，再用“后续路程和 = 总路程 - 先行路程”列方程，注意时间的对应关系。### 例题3：基础合作工程问题（完成全部工程）- 题目：一项工程，甲队单独做需12天完成，乙队单独做需18天完成，两队合作多少天能完成这项工程？- 解答： ① 审：甲单独12天完成，乙单独18天完成，合作完成总工程（设为“1”），求合作时间； ② 设：设两队合作\(x\)天能完成这项工程； ③ 列：甲的工作效率为\(\frac{1}{12}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{18}\)，根据“甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量”，列方程：\(\frac{1}{12}x + \frac{1}{18}x = 1\)； ④ 解：去分母（最小公倍数36）得\(3x + 2x = 36\)，合并得\(5x = 36\)，解得\(x = \frac{36}{5} = 7.2\)； ⑤ 验：合作7.2天，甲完成\(\frac{1}{12}×7.2 = 0.6\)，乙完成\(\frac{1}{18}×7.2 = 0.4\)，\(0.6 + 0.4 = 1\)，符合总工作量； ⑥ 答：两队合作7.2天能完成这项工程。- 小结：工程问题中，工作效率用“单位时间完成总量的几分之几”表示，合作时效率相加，根据工作量之和列方程。## 四、课堂练习（8分钟）1. **基础题**： （1）甲、乙两车从相距280km的两地同时相向而行，甲车速度70km/h，乙车速度50km/h，几小时后相遇？（答案：设\(x\)小时，\(70x + 50x = 280\)→\(x = \frac{7}{3}≈2.33\)小时）； （2）一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需10天，两队合作几天完成工程的\(\frac{9}{10}\)？（答案：设\(x\)天，\((\frac{1}{8} + \frac{1}{10})x = \frac{9}{10}\)→\(\frac{9}{40}x = \frac{9}{10}\)→\(x = 4\)天）。2. **中档题**： （1）A、B两地相距500km，甲车从A地出发，速度80km/h，2小时后乙车从B地出发，速度120km/h，相向而行，乙车出发后多久相遇？（答案：设\(x\)小时，\(80×2 + 80x + 120x = 500\)→\(160 + 200x = 500\)→\(x = 1.7\)小时）； （2）甲队单独完成一项工程需15天，乙队单独做需20天，两队合作3天后，剩下的由乙队单独完成，还需几天？（答案：设还需\(x\)天，\(3×(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}) + \frac{1}{20}x = 1\)→\(3×\frac{7}{60} + \frac{1}{20}x = 1\)→\(\frac{7}{20} + \frac{1}{20}x = 1\)→\(x = 13\)天）。3. **拓展题**： 甲、乙两人骑自行车从相距180km的两地出发，相向而行，甲比乙早出发1小时，甲的速度是15km/h，乙的速度是12km/h，甲出发后几小时与乙相遇？（答案：设甲出发后\(x\)小时相遇，\(15x + 12(x - 1) = 180\)→\(15x + 12x - 12 = 180\)→\(27x = 192\)→\(x = \frac{64}{9}≈7.11\)小时）。- 要求：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注行程问题的时间对应、工程问题的效率表示，最后集体订正，讲解易错点（如工程问题总工作量未设为1、行程问题漏算先行路程）。## 五、课堂小结（2分钟）1. 核心题型： - 行程问题（相向而行）：关键是“路程和 = 总路程”，注意“同时出发”与“先后出发”的时间差异； - 工程问题（合作）：关键是“工作量和 = 总工作量”，工作效率用“\(\frac{1}{单独完成时间}\)”表示，总工作量默认设为1。2. 解题关键： - 梳理运动或工作过程，找准等量关系； - 统一单位，确保代数式与等量关系对应； - 检验解的实际意义（如时间、工作量是否合理）。3. 应用价值：行程问题和工程问题是生活中常见的数学模型，掌握其方程解法，能有效解决同类实际问题，进一步提升数学建模能力。探究1 (1) 一项工程，由甲单独做需要 40 天完成，则甲的工作量可以看_______，工作时间是_______，工作效率是_______. ①若已知单独完成工作的时间，把工作量看作整体“1”，则“时间的倒数”就是工作效率.140 （2）若一项工程甲单独做要用 a 小时完成，则甲每小时完成工程的______. 乙单独做要用 b 小时完成，则乙每小时完成工程的___. 如果甲乙合作做 2 小时，则完成的工作量是___________. ②若工程为多方合作完成，则合作完成的工作效率是各方的作效率之和.则 1 个人做 1 小时完成的工作量是_______；3 个人做 1 小时完成的工作量是__________；3 个人做 4 小时完成的工作量是____________.探究2 在工程问题中，一个人单独做要 40 小时才能完成全部工程，归纳小结：人均效率×人数×时间=工作量人均效率例1 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起做 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？工程问题：整理完成这批图书.分析：总工作量＝人均效率×人数×时间列表分析：解：先安排 x 人先做 4 h.根据先后两个时间段的工作量之和等于工作总量，列出方程解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40.4x＋8x＋16＝40.12x＝24.x＝2.答：应安排 2 人先做 4 h.工作总量＝人均工作效率×人数×工作____.若工作总量为单位 1，工作时间为n，则工作效率是___.工程问题：时间例2 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成. 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品?设再合绣 x 天x + 1x + 4本题中等量关系为：甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝总工作量.解得 x＝4.解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，则根据题意，得答：甲、乙两人再合绣 4 天就可以完成这件作品.例3 一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙 合作 3 天的工作量 + 乙、丙合作的工作量 = 1，得解得 x = 3.答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作.解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得解得 x = 189.189应用1 行程问题   返回 A  返回       （3）求这列火车的长度.  返回 （1）甲、乙两个扫地机器人的速度分别是多少？    返回1. 列方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数，设其中某个未知量为 x. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)．谢谢观看！