初中湘教版（2024）一元一次方程的解法试讲课ppt课件

这是一份初中湘教版（2024）一元一次方程的解法试讲课ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了一般形式，x＝a形式，去分母，去括号，合并同类项，除以未知数的系数，你有不同的解法吗，可利用去括号解方程，解法二，还有其他解法吗等内容，欢迎下载使用。
解一元一次方程的一般步骤：
# 3.3.2 一元一次方程的解法（二）（初中七年级数学）## 一、导入新课（5分钟）1. **旧知衔接+问题递进**：先回顾上节课不含分母的一元一次方程解法（去括号→移项→合并同类项→化系数为1），展示方程\(\frac{x - 1}{2} + \frac{2x + 3}{3} = 5\)，提问：“这个方程含有分母，直接按之前的步骤无法求解，该如何处理才能转化为我们熟悉的形式？”引导学生回忆“去分母”的方法（等式基本性质2），明确本节课的核心是学习含分母的一元一次方程的完整解法。2. **引出课题**：点明含分母的一元一次方程是一元一次方程的常见类型，其解法在基础步骤上增加了“去分母”环节，本节课将系统掌握“去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1”的完整流程，解决复杂一元一次方程的求解问题。## 二、探究新知（20分钟）### （一）含分母的一元一次方程的特征方程中含有分数形式的项（分母为常数），例如\(\frac{3x - 2}{4} - \frac{x + 1}{5} = 1\)、\(\frac{2x}{3} = x - \frac{1}{2}\)，需先通过去分母转化为整数系数方程，再按基础步骤求解。### （二）核心解法步骤（五步流程）以方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = 2\)为例，梳理完整步骤：1. **去分母**： - 依据：等式基本性质2（方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，等式仍成立）。 - 操作：分母3和4的最小公倍数是12，方程两边同时乘12，得\(4(2x - 1) - 3(x + 2) = 24\)。 - 关键要点： ① 每一项都要乘最小公倍数，包括不含分母的常数项（如右边的2乘12得24，不能漏乘）； ② 分子是多项式时，需加括号（如\(\frac{2x - 1}{3}×12 = 4(2x - 1)\)，避免后续去括号出错）。2. **去括号**： - 依据：去括号法则和乘法分配律。 - 操作：\(4×2x - 4×1 - 3×x - 3×2 = 24\)，化简得\(8x - 4 - 3x - 6 = 24\)。 - 关键：括号前是负号（如-3(x + 2)），括号内各项要变号。3. **移项**： - 依据：等式基本性质1（移项必变号）。 - 操作：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，得\(8x - 3x = 24 + 4 + 6\)。 - 关键：带着项前的符号移动，未移动的项符号不变。4. **合并同类项**： - 依据：合并同类项法则（系数相加，字母和指数不变）。 - 操作：左边\((8 - 3)x = 5x\)，右边\(24 + 4 + 6 = 34\)，方程化为\(5x = 34\)（“ax = b”形式）。 - 关键：有理数加减运算准确，尤其是负数与正数的合并。5. **化系数为1**： - 依据：等式基本性质2（两边同乘或除以同一个不为0的数）。 - 操作：两边同时除以5，得\(x = \frac{34}{5}\)（或6.8）。 - 关键：系数为分数时，除以系数等于乘其倒数，结果可保留分数或小数（按题目要求）。### （三）检验步骤与常见易错点1. **检验**：代入原方程验证，左边\(\frac{2×\frac{34}{5} - 1}{3} - \frac{\frac{34}{5} + 2}{4} = \frac{\frac{63}{5}}{3} - \frac{\frac{44}{5}}{4} = \frac{21}{5} - \frac{11}{5} = 2\)，右边=2，解正确。2. **常见易错点**： - 去分母漏乘常数项（如方程\(\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3}\)，乘6时1漏乘，得\(3x + 1 = 2x\)）； - 分子是多项式未加括号（如\(\frac{x - 3}{2}×4 = 2x - 3\)，正确为\(2(x - 3) = 2x - 6\)）； - 去括号时符号错误（如\(-2(x - 1) = -2x - 2\)，正确为\(-2x + 2\)）； - 移项不变号（如\(3x - 5 = 2x + 3\)移项得\(3x - 2x = 3 - 5\)）； - 合并同类项或化系数为1时计算错误（如\(-4x = 8\)得\(x = 2\)，正确为\(x = -2\)）。## 三、例题讲解（12分钟）### 例题1：分母为互质数的方程- 题目：解方程\(\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} = 1\)- 解答： ① 去分母（最小公倍数6）：\(3(x + 1) - 2(x - 2) = 6\)； ② 去括号：\(3x + 3 - 2x + 4 = 6\)； ③ 移项：\(3x - 2x = 6 - 3 - 4\)； ④ 合并同类项：\(x = -1\)； ⑤ 检验：左边\(\frac{-1 + 1}{2} - \frac{-1 - 2}{3} = 0 - (-1) = 1\)，右边=1，解正确。- 小结：分母互质时，最小公倍数为分母乘积，去分母后注意括号内符号变化，移项合并步骤简洁。### 例题2：分母有倍数关系的方程- 题目：解方程\(\frac{2x - 3}{6} - \frac{x + 1}{3} = \frac{1}{2}\)- 解答： ① 去分母（最小公倍数6，分母6是3的倍数，优先选6）：\(2x - 3 - 2(x + 1) = 3\)； ② 去括号：\(2x - 3 - 2x - 2 = 3\)； ③ 合并同类项：\(-5 = 3\)（矛盾）； ④ 结论：此方程无解。- 小结：去分母后若出现“常数=常数”且不相等，方程无解；若相等（如\(-5 = -5\)），方程有无数解，需注意这类特殊情况。### 例题3：分子分母均含常数项的复杂方程- 题目：解方程\(\frac{3x - 1}{4} - \frac{5x - 7}{6} = 1\)- 解答： ① 去分母（最小公倍数12）：\(3(3x - 1) - 2(5x - 7) = 12\)； ② 去括号：\(9x - 3 - 10x + 14 = 12\)； ③ 移项：\(9x - 10x = 12 + 3 - 14\)； ④ 合并同类项：\(-x = 1\)； ⑤ 化系数为1：\(x = -1\)； ⑥ 检验：左边\(\frac{3×(-1) - 1}{4} - \frac{5×(-1) - 7}{6} = \frac{-4}{4} - \frac{-12}{6} = -1 + 2 = 1\)，右边=1，解正确。- 小结：分子分母均为多项式时，去分母后务必完整去括号，移项时注意负数的符号变化，避免计算失误。## 四、课堂练习（8分钟）1. **基础题**： 解方程\(\frac{x - 3}{4} + \frac{2x + 1}{6} = 1\)（答案：去分母得\(3(x - 3) + 2(2x + 1) = 12\)，去括号得\(3x - 9 + 4x + 2 = 12\)，移项合并得\(7x = 19\)，x=\(\frac{19}{7}\)）。2. **中档题**： 解方程\(\frac{2(3x - 1)}{3} - \frac{x - 1}{2} = \frac{x + 1}{6}\)（答案：去分母得\(4(3x - 1) - 3(x - 1) = x + 1\)，去括号得\(12x - 4 - 3x + 3 = x + 1\)，移项合并得\(8x = 2\)，x=\(\frac{1}{4}\)）。3. **拓展题**： 已知方程\(\frac{x - a}{2} - \frac{2x - 1}{3} = 1\)的解是x=2，求a的值（答案：将x=2代入得\(\frac{2 - a}{2} - \frac{4 - 1}{3} = 1\)，去分母得\(3(2 - a) - 6 = 6\)，去括号得\(6 - 3a - 6 = 6\)，合并得\(-3a = 6\)，a=-2）。- 要求：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注去分母漏乘、分子加括号、去括号变号等易错点，最后集体订正，讲解典型错误。## 五、课堂小结（2分钟）1. 核心步骤：含分母的一元一次方程解法为“去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1”，去分母是转化的关键；2. 关键要点：去分母不漏乘、分子多项式加括号、去括号变号、移项必变号、计算准确；3. 特殊情况：方程无解（去分母后矛盾）或有无数解（去分母后等式恒成立），需注意识别；4. 应用价值：掌握含分母的一元一次方程解法，能解决所有一元一次方程问题，为后续列方程解应用题、学习二元一次方程组等奠定坚实基础。
去分母，得 4(x＋14)＝7(x＋20)，
方程两边同除以－3，得 x＝－28.
移项、合并同类项，得 －3x＝84.
去括号，得 4x＋56＝7x＋140，
把分数化成整数计算更简单！
思考：两种解法有什么不同？你认为哪种解法比较好？
解：去分母(方程两边乘 10 )，得 5(3x－1)－2 (2－x)＝10x，去括号，得 15x－5－4＋2x＝10x，移项、合并同类项，得 7x＝9，方程两边都除以 7，得
移项，得 0.2x－0.3x－0.3x＝0.4＋0.4＋0.9，
合并同类项，得 －0.4x＝1.7，
解 去括号，得 0.2x－0.4－0.3x－0.4＝0.3x＋0.9，
例1 解方程：0.2(x－2)－0.1(3x＋4)＝0.3(x＋3).
解 ：两边乘 2，得 2(x－2)－(3x＋4)＝3(x＋3)，
移项，得 2x－3x－3x＝4＋4＋9，
合并同类项，得 －4x＝17，
去括号，得 2x－4－3x－4＝3x＋9，
去分母 (方程两边乘 30)，得 6(4x＋9)－10(3＋2x)＝15(x－5).去括号，得 24x＋54－30－20x＝15x－75.移项，得 24x－20x－15x＝－75－54＋30.合并同类项，得 －11x＝－99.两边都除以－11，得 x＝9.
解一元一次方程潜存着许多解题技巧，只要在解题过程中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则就可以达到事半功倍的效果.
去分母，得 4(x－10)＝3x－8，
移项，得 x＝32.
去括号，得 4x－40＝3x－8，
解：按小马去分母的方法，得 2(2x－1)＝3(x＋a)－1.把 x＝2 代入上面的方程，得 2(2×2－1)＝3(2＋a)－1，解这个方程，得 a＝ . 所以原方程为 解这个方程，得 x＝－3.
等式的基本性质1
系数化为1，得⑦_________.（⑧_________________）（其中①③填写变形步骤名称，②④⑥⑦填写变形结果，⑤⑧填写变形依据）
解一元一次方程有哪些基本步骤？