湘教版（2024）七年级上册（2024）整式的加法与减法精品ppt课件

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湘教版（2024）数学7年级上册第3章 一次方程（组）3.6.1 代入消元法 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?解：设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只.4x + 2(35－x) = 94.还有其他的方法解二元一次方程组吗？# 3.6.1 代入消元法（初中七年级数学）## 一、教学过程### （一）情境导入（5分钟）1. 回顾旧知：展示二元一次方程组\(\begin{cases}x + y = 30 \\ 2x + 5y = 99\end{cases}\)（源于上节课人民币问题），提问：“我们已经知道这是二元一次方程组，如何求出它的解？”引导学生回忆上节课用一元一次方程的解法，设\(x\)为2元人民币张数，\(y = 30 - x\)，代入第二个方程求解。2. 提炼思路：“将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，就能把二元方程转化为一元方程”，这种方法就是本节课要学习的“代入消元法”。3. 引出课题：明确代入消元法的核心是“消元”——消去一个未知数，将二元一次方程组转化为已学的一元一次方程求解。### （二）新知探究（15分钟）1. 代入消元法的定义： - 给出定义：通过将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程，进而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。 - 核心思想：“消元转化”——二元→一元，将未知问题转化为已知问题。2. 代入消元法的步骤（以方程组\(\begin{cases}x + y = 30 ① \\ 2x + 5y = 99 ②\end{cases}\)为例）： - 第一步：变——用含一个未知数的式子表示另一个未知数。 选择系数简单的方程（如方程①），解出其中一个未知数（通常选系数为1或-1的）。由①得：\(x = 30 - y\) ③（将\(y\)移到右边，用含\(y\)的式子表示\(x\)）。 - 第二步：代——代入另一个方程消元。 将③代入②（注意：不能代入原方程①，否则无法消元），替换掉②中的\(x\)，得到一元一次方程：\(2(30 - y) + 5y = 99\)。 - 第三步：解——解一元一次方程。 去括号：\(60 - 2y + 5y = 99\)；合并同类项：\(3y = 39\)；化系数为1：\(y = 13\)。 - 第四步：回代——求出另一个未知数的值。 将\(y = 13\)代入③（或①），得\(x = 30 - 13 = 17\)。 - 第五步：验——检验并写出解。 检验：将\(\begin{cases}x = 17 \\ y = 13\end{cases}\)代入原方程组，①左边\(17 + 13 = 30\)（等于右边），②左边\(2×17 + 5×13 = 34 + 65 = 99\)（等于右边），因此是方程组的解。 规范表示：方程组的解记为\(\begin{cases}x = 17 \\ y = 13\end{cases}\)。3. 步骤口诀总结：“一变二代三求解，回代检验写答案”，帮助学生记忆。### （三）例题讲解（12分钟）1. 例题1：用代入法解方程组\(\begin{cases}y = 2x - 3 ① \\ 3x + 2y = 8 ②\end{cases}\) - 分析：方程①已直接用含\(x\)的式子表示\(y\)，可直接代入②。 - 解答： ① 代入②：\(3x + 2(2x - 3) = 8\)； 去括号：\(3x + 4x - 6 = 8\)； 合并同类项：\(7x = 14\)； 解得：\(x = 2\)； 回代：将\(x = 2\)代入①，得\(y = 2×2 - 3 = 1\)； 检验：代入原方程组，左右两边均相等； 结论：方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。 - 小结：当方程组中有一个方程直接给出未知数的表达式时，可直接代入，步骤更简洁。2. 例题2：用代入法解方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 ① \\ 3x - 4y = 2 ②\end{cases}\) - 分析：方程①中\(y\)的系数为1，优先解出\(y\)。 - 解答： 由①得：\(y = 5 - 2x\) ③； ③代入②：\(3x - 4(5 - 2x) = 2\)； 去括号：\(3x - 20 + 8x = 2\)； 合并同类项：\(11x = 22\)； 解得：\(x = 2\)； 回代：将\(x = 2\)代入③，得\(y = 5 - 2×2 = 1\)； 检验：代入原方程组，左右两边均相等； 结论：方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。 - 小结：选择系数绝对值较小（如1或-1）的未知数进行表示，可减少计算量。3. 例题3：用代入法解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 19 ① \\ x - y = 4 ②\end{cases}\) - 分析：方程②中\(x\)和\(y\)的系数均为1，可解出\(x = y + 4\)或\(y = x - 4\)。 - 解答： 由②得：\(x = y + 4\) ③； ③代入①：\(3(y + 4) + 4y = 19\)； 去括号：\(3y + 12 + 4y = 19\)； 合并同类项：\(7y = 7\)； 解得：\(y = 1\)； 回代：将\(y = 1\)代入③，得\(x = 1 + 4 = 5\)； 检验：代入原方程组，①左边\(3×5 + 4×1 = 19\)，②左边\(5 - 1 = 4\)，均等于右边； 结论：方程组的解为\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\)。 - 小结：解未知数时，注意移项要变号，代入后去括号要准确，避免漏乘。### （四）课堂练习（8分钟）1. 基础题： - （1）用代入法解方程组\(\begin{cases}x = 3y - 2 ① \\ 2x + y = 18 ②\end{cases}\)（答案：将①代入②得\(2(3y - 2) + y = 18\)，解得\(y = 2\)，\(x = 4\)，解为\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 2\end{cases}\)）； - （2）用代入法解方程组\(\begin{cases}3x + y = 7 ① \\ 2x - y = 3 ②\end{cases}\)（答案：由①得\(y = 7 - 3x\)，代入②得\(2x - (7 - 3x) = 3\)，解得\(x = 2\)，\(y = 1\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)）。2. 中档题： - 用代入法解方程组\(\begin{cases}2x - 3y = 1 ① \\ x + 2y = 4 ②\end{cases}\)（答案：由②得\(x = 4 - 2y\)，代入①得\(2(4 - 2y) - 3y = 1\)，解得\(y = 1\)，\(x = 2\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)）。3. 拓展题： - 已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 7 \\ bx + ay = 8\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，求\(a\)和\(b\)的值（答案：代入得\(\begin{cases}2a + b = 7 \\ 2b + a = 8\end{cases}\)，由第一个方程得\(b = 7 - 2a\)，代入第二个方程解得\(a = 2\)，\(b = 3\)）。### （五）课堂小结（2分钟）1. 核心方法：代入消元法的五步流程——变（表示未知数）、代（代入消元）、解（解一元方程）、回代（求另一个未知数）、验（检验写解）；2. 关键技巧：选择系数简单（如1、-1）的方程和未知数进行表示，减少计算量；代入时要代入另一个方程，避免循环；3. 核心思想：消元转化，将二元一次方程组转化为一元一次方程，体现“化未知为已知”的数学思想；4. 后续衔接：下节课将学习另一种消元方法——加减消元法，进一步丰富解二元一次方程组的工具。观察下面两种列方程的方式，你能找出更简单地解二元一次方程组的办法吗？∠1 = ∠24x + 2y = 94y = 35 - x ，2(35 - x )4x+2(15 - x)=94①②x = 12y = 23将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想.转化∴ 方程组 的解是总结 把 y 用 1代入③式，得 x = 2. 两边都除以 2，得 x = 2y. ③ 解：将方程①移项，得 2x = 4y ， 例1 解二元一次方程组： 解得 y = 1. 注意：检验方程组的解. 把③式代入方程②中，得 5×2y－7y = 3.例1 解二元一次方程组：   解：将方程①移项，得 2x = 4y ， 把 x 用 2代入③式，得 y = 1. 解得 x = 2 . 用消去未知数 y 的方法能否求出例 1 中方程组的解? 动手试一试.思考：把③代入①可以得解吗？例2 解二元一次方程组： 把 y 用 3 代入③式，得 x = 4. 解得 y = 3. 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：转化代入求解回代写解检验由①得y=35-x③将③代入②4x+2(35-x) = 94解得x=12将x=12代入①，得y=23举例：  解得 y = 1.       2. 解方程组：   做一做 若方程 5x2m+n + 4y3m-2n = 9 是关于 x、y 的二元一次方程，求 m 、n 的值.解：由题意可列方程组2m + n = 13m - 2n = 1①②由①得把③代入②得n = 1 - 2m.③3m – 2(1 – 2m) = 1. A  返回  C 返回 D  返回  二 返回 其中，①为______，②为_______，③为_______.代入   返回6.用代入消元法解下列方程组：     返回最终思想消元——解二元一次方程组代入消元法的步骤代入消元法的常用解题技巧将两个未知数变成一个未知数求解---____转化→代入→求解→____→写解→____回代检验消元转化整体代入谢谢观看！