初中数学北师大版（2024）九年级下册圆内接正多边形同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册圆内接正多边形同步达标检测题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.正十边形的中心角是( )
A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°
2.正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的边数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠OAE的度数为( )
A. 18°B. 30°C. 32°D. 60°
4.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点(点P不与点D重命)，则∠CPD的度数为( )
A. 30∘B. 36∘C. 60∘D. 72∘
5.两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是( )
A. 2 3,2 3B. (3,4)C. 4,2 3D. 2 3,4
6.如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB=2，下面结论中正确的是：( )

①该圆的半径为2；
②AC⌢的长为π2；
③AC平分∠BAD；
④连接BC，CD，则▵ABC与ACD的面积比为1: 3．
A. ①③B. ①④C. ①②③D. ①③④
7.正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是( )
A. 把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形
B. 把圆n等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
C. 各边相等并且各角也相等的多边形是正多边形
D. 用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
8.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为 ( )
A. 1B. 3C. πD. 2π
二、填空题：
9.如果一个正多边形的中心角是20∘，那么这个正多边形的边数为 ．
10.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 ．
11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，它的内切圆半径为 3，则正六边形ABCDEF的边长为______．
12.如图，在正五边形ABCDE中，连接CE，以E为圆心，EA长为半径画弧，与CE交于点F，连接AF，则∠AFE的度数是______°.
13.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB= °.
14.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=3，则正六边形ABCDEF的面积为 ．
三、解答题：
16. 【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面.在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙.从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题.如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．

【探究发现】
(1)填写表中空格：
(2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有______．
①正三角形
②正五边形
③正六边形
④正七边形
⑤正八边形
【拓展应用】
(3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
17. 如图，用无刻度的直尺和圆规分别作出⊙O的内接正十二边形、正方形和正三角形(不写作法，保留作图痕迹)．
18.某个正多边形的每一个内角都比其相邻外角的4倍还多30∘，那么这个正多边形的内角和是多少?
19.如图，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹):
(1)作△ABC的外心O;
(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据正多边形的中心角定义可知：正n边形的中心角为360°n，则代入求解即可．
此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，掌握中心角的求法是解题的关键．
【解答】
解：正十边形的中心角为：360°10=36°．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：正多边形的外角和是360°，
∵正多边形的一个外角是72°，
∴多边形的边数为：360°÷72°=5，
故选：B．
正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数即可．
此题考查了多边形的内角和外角的关系，熟记正多边形的边数和外角的关系是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正六边形的性质；熟记正六边形的中心角的计算方法是解题的关键．
由正六边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】
解：∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOE=360°÷6×2=120°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=180°−∠AOE2=30°．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．连接OC，OD.求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠CPD=12∠COD=36°，
故选B．
5.【答案】D
【解析】如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB,CD,AB，先证明▵BCD是等边三角形，得到∠CDB=60 ∘，再求出∠ADB=120 ∘，得到A、C、D三点共线，求出∠DAB=30 ∘，得到∠ABC=90 ∘，则AB= 3AB=2 3，再由OB=OC+BC=4，可得A2 3,4．
【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB,CD,AB，
∴∠BCD=360 ∘6=60 ∘,CB=CD=2，
∴▵BCD是等边三角形，
∴∠CDB=60 ∘，
∵正六边形的一个内角度数为180 ∘×6−26=120 ∘，
∴∠ADB=360 ∘−120 ∘−120 ∘=120 ∘，
∴∠CDB+∠ADB=180 ∘，
∴A、C、D三点共线，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=180 ∘−∠ADB2=30 ∘，
∴∠ABC=90 ∘，
∴AB= 3BC=2 3，
又∵OB=OC+BC=4，
∴A2 3,4，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】先求出∠AOB=60 ∘，进而证明▵AOB是等边三角形，则OA=OB=AB=2，由此即可判断①；求出∠AOC=90 ∘，则AC⌢的长为：90π×2180=π，即可判断②；求出∠OAD=30 ∘，再求出∠OAC=45 ∘，即可推出∠BAC=∠DAC，由此即可判断③；过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，AG⊥CD交DC延长线于点G，求出AC=2 2，则AH= 2，设OB交AD于点M，求出MO=12OA=1，则AM= 3，AD=2 3，则AG= 6，再证明CD=BC，则S▵ABCS▵ACD=12BC⋅AH12DC⋅AG=AHAG=1 3，即可判断④．
【详解】解：根据题干补全图形，连接BC,CD,OA,OB,OC,OD,OE，

根据内接正六边形的性质可知：∠AOB=60 ∘，OA=OB，
∴▵AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，即圆的半径为2，故①正确；
根据内接正方形的性质可知：∠AOC=90 ∘，
∴AC⌢的长为：90π×2180=π，故②错误；
∵OA=OD，∠AOD=120 ∘，
∴∠OAD=30 ∘，
∵OA=OC，∠AOC=90 ∘，
∴∠OAC=45 ∘，
∵∠OAB=60 ∘，
∴∠BAC=60 ∘−45 ∘=15 ∘，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD，故③正确；
过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，AG⊥CD交DC延长线于点G，
∵∠ACB=12∠AOB=30 ∘，
∴AH=12AC，
∵AC= OA2+OC2=2 2，
∴AH= 2，
∠ADC=12∠AOC=45 ∘，
∴AG= 22AD，
设OB交AD于点M，
∵∠AOM=60 ∘，
∴OM⊥AD，AD=2AM，
∵∠OAM=30 ∘，
∴MO=12OA=1，
∴AM= OA2−OM2= 3，
∴AD=2AM=2 3，
∴AG= 6，
∵∠BAC=∠CAD，
∴CD=BC，
∴S▵ABCS▵ACD=12BC⋅AH12DC⋅AG=AHAG= 2 6=1 3，故④正确；
因此正确的结论：①③④
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是：把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形．
故选：A．
根据正多边形的作法，是作圆的内接正五边形，即可作出判断．
本题考查了正多边形的作图，正确理解是作圆的内接多边形是关键．
8.【答案】B
9.【答案】18
10.【答案】 2:1
【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【解答】解：设圆的半径为r，则内接正方形的边心距为 22r，
内接正三角形的边心距为12r，
故 22r:12r= 2:1．
11.【答案】2
【解析】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，它的内切圆半径为 3，
∴∠AOB=60°，OH= 3，
∴OA=OHsin60∘= 3 32=2
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2，
答：正六边形ABCDEF的边长为2，
故答案为：2．
连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，由正六边形ABCDEF内接于⊙O，它的内切圆半径为 3，得到∠AOB=60°，OH= 3，求得OA=OHsin60∘= 3 32=2根据等边三角形的性质得到结论．
本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键．
12.【答案】54
【解析】解：在正五边形ABCDE中，∵∠AED=∠CDE=(5−2)×180°5=108°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠CED=12×(180°−108°)=36°，
∴∠AEF=108°−36°=72°，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=12×(180°−72°)=54°，
故答案为：54．
根据正五边形的内角和得到∠AED=∠CDE=(5−2)×180°5=108°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．
13.【答案】108
14.【答案】3π
【解析】【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．
根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：如图：

∵▵ABC是正三角形，
∴∠BAC=60∘，
∴BC⌢的长为：60π×3180=π，
∴“莱洛三角形”的周长=3×π=3π．
故答案为：3π．
15.【答案】272 3/27 32
【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，连接OA，OF，根据正六边形的性质可得∠AOF=60 ∘，进而可得▵AOF是等边三角形，则得AF=OA=3，再求出等边▵AOF的面积，进而可求解．
【详解】解：连接OA，OF，过F点作FH⊥AO于点H，如图：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF=360 ∘6=60 ∘，
∵OA=OF，且OA=3，
∴▵AOF是等边三角形，且边长AF=OA=3，
∴AH=OH=12OA=32，
∴FH= OF2−OH2=3 32，
∴等边▵AOF的面积为：S=12×AO×FH=12×3×3 32=94 3，
∴正六边形ABCDEF的面积为：6S=6×94 3=272 3，
故答案为：272 3．
16.【答案】90° 108° ①③
【解析】解：(1)正三角形的每一个内角的度数为(3−2)×180°3=60°，
正方形的每一个内角的度数为(4−2)×180°4=90°，
正五边形的每一个内角的度数为(5−2)×180°5=108°，
故答案为：90°，108°；
(2)由(1)的方法可求出，
①正三角形的每一个内角的度数是60°，
②正五边形的每一个内角的度数是108°，
③正六边形的每一个内角的度数是120°，
④正七边形的每一个内角的度数是9007°，
⑤正八边形的每一个内角的度数是135°，
由于60°×6=360°，90°×4=360°，120°×3=360°，
所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形，
故答案为：①③；
(3)由题意得，x、y满足60x+120y=360的正整数解，
二元一次方程60x+120y=360的正整数解为x=2y=2或x=4y=1，
答：x和y是值为x=2y=2或x=4y=1．
(1)根据正多边形的内角的计算方法进行计算即可；
(2)求出正三角形、正五边形，正六边形，正七边形，正八边形的内角度数，再根据“密铺”的性质进行计算即可；
(3)求出60x+120y=360的正整数解即可．
本题考查正多边形和圆以及平面镶嵌，掌握正多边形内角的计算方法以及平面镶嵌的性质是正确解答的关键．
17.【答案】如图

18.【答案】解：设内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组x=4y+30x+y=180，
解得x=150y=30．
而多边形的外角和是360°，
则多边形内角和中的外角的个数是360÷30=12，
则这个多边形的边数是12边形，内角和为(12−2)×180°=1800°．
故这个多边形的边数为12，内角和为1800°．
【解析】本题根据多边形的内角与外角的关系转化为方程组的问题，并利用了多边形的外角和与内角和定理；已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的4倍还多30°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是y°，列方程组求解，再根据多边形的外角和与内角和定理求解．
19.【答案】解：(1)如图，点O为△ABC的外心．
(2)如图，正六边形DEFGHI即为所求．

【解析】【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，正多边形的计算．
(1)根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
(2)过D点作DI/​/BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF/​/AC交BC于F，过H点作HG/​/AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．正多边形的边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个内角的度数
60°
______
______
…