北师大版（2024）九年级下册圆内接正多边形练习

这是一份北师大版（2024）九年级下册圆内接正多边形练习，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（满分24分）
1．若一个正多边形的中心角为45°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．七B．八C．九D．十
2．若正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个角度不可能是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．180°
3．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．12
4．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A∼H代表八个方位，如图，BH与DG交于点P，则点P位于点D的（ ）
A．南偏西75°方向B．北偏东75°方向C．南偏西67.5°方向D．北偏东67.5°方向
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠ANF的度数为（ ）
A．125°B．108°C．90°D．144°
7．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系是错误的是（ ）
A．R2−r2=14a2B．a=2Rsin36°
C．a=2rtan36°D．r=acs36°
8．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC．若正六边形的边长为4，则点O到AC的距离OG的长为（ ）
A．23B．2C．3D．1
二、填空题（满分24分）
9．如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的124，那么n的值是 ．
10．若正多边形的一个中心角为60°，边长为4cm，则这个正多边形外接圆的半径为 cm．
11．图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为 ．
12．如图，⊙O是半径为3的正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接DF，则DF的长为 ．
13．如图，BE为正六边形ABCDEF的一条对角线，FH⊥BE于点H，连接AH，若正六边形的边长为2，则AH的长为 ．

14．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，BD与AF交于点G，则∠DGF的度数是 °．
15．如图，正六边形 ABCDEF的边CD、EF分别与⊙O相切于点C、F，连接OF、CO，则∠COF 的度数是 ．
16．已知圆O是正方形ABCD的内切圆，M为圆O上任一点，N为OC的中点，连接MN．
（1）如图1，MNMC= ；
（2）如图2，连接MB，若AB=4，则2MB−MC的最大值为 ．
三、解答题（满分72分）
17．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S．
18．如图所示，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的13倍．

19．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
(1)求证：AE2=EF⋅EM；
(2)若AF=1，求AE的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
(1)请判断△ABD的形状，并说明理由．
(2)若DE=13,AE=17，求⊙O的半径；
(3)DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1=kxk>0,x>0的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB=23．

(1)判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
(2)求出直线EP：y2=ax+ba≠0的解析式，并根据图象直接写出当x>0时，不等式ax+b>kx的解集．
22．已知⊙O的直径AB=6，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F．

(1)如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
(2)如图2，如果E为弦BD的中点，求tan∠ABD的值；
(3)连接BC，CD，DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
23．摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．

(1)∠NOP=________°
(2)若OA=16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．
参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键．
根据正多边形的中心角计算公式为：中心角=360°÷边数，求解即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：45°n=360°，解得：n=8．
故选B．
2．B
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．正八边形绕中心旋转的最小角度为360°8=45°，所有可能的旋转角度均为45°的整数倍，据此即可求解．
【详解】解：正八边形是旋转对称图形，其旋转对称角度为360°8=45°．
因此，旋转后的重合角度必须满足45°×k（k为整数）．
选项A：45°是45°×1，符合条件；
选项B：60°无法表示为45°的整数倍，不符合条件；
选项C：90°是45°×2，符合条件；
选项D：180°是45°×4，符合条件．
综上，不可能的角度为60°，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点A、B、C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB，即可得到结论．
【详解】解：如图，设正多边形的中心为O，
∵A、B、C为正多边形的顶点，
∴点A、B、C在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ACB=20°，
∴∠AOB=2∠ACB=40°，
∵360°÷40°=9，
∴该正多边形的边数为9．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵点O是正六边形的中心，
∴△AOC是正三角形，
∴∠OAC=60°，
又∵点O是正方形的中心，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC−∠OAD=60°−45°=15°，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，设正八边形ABCDEFGH的中心为点O，连接BD、OB、OG、DH，
∴正八边形ABCDEFGH的中心角为360°8=45°，
∴∠BOG=3×45°=135°，∠HOG=45°，
∴∠BDG=12∠BOG=12×135°=67.5°，∠GDF=∠HDG=12∠HOG=12×45°=22.5°，
∴∠BDF=∠BDG+∠GDF=67.5°+22.5°=90°，
∴BD⊥DF，
∴点P位于点D的北偏东67.5°．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接OM，ON．求出∠MON，再利用圆周角定理求出∠MFN=36°，连接AF，可得∠AFN=∠AFM=18°，由ON=OF得∠ONF=18°，求解即可．
【详解】解：连接OM，ON，如图，
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，AM=AN，
∴∠OMA=∠ONA=90°，
∵正五边形ABCDE中，∠A=108°，
∴∠MON=180°−108°=72°，
∴∠MFN=12∠MON=36°，
连接AF，由对称性可得A,O,F三点在同一条直线上，
在△ANO和△AMO中，
AM=ANOM=ONAO=AO,
∴△ANO≌△AMOSSS，
∴∠NAO=∠MAO，
在△ANF和△AMF中，
AN=AM∠NAF=∠MAFAF=AF，
∴△ANF≌△AMFSAS，
∴∠NFA=∠MFA=18°，
∵ON=OF，
∴∠ONF=∠OFN=18°，
∴∠ANF=∠ANO+∠ONF=90°+18°=108°．
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了圆和正多边形的结合，垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识点逐项进行判断即可．
【详解】解：如图所示，OF⊥BC，交BC于点F，
A.由垂径定理和勾股定理可得R2−r2=14a2，该选项正确，故不符合题意；
B.由题意可得，∠BOC=15×360°=72°，由等腰三角形的三线合一性质可得∠BOF=12∠BOC=36°，
∴BF=OB⋅sin∠BOF=R⋅sin36°，
由垂径定理得BC=2BF=2R⋅sin36°，
该选项正确，故不符合题意；
C. 由题意可得，∠BOC=15×360°=72°，由等腰三角形的三线合一性质可得∠BOF=12∠BOC=36°，
∴BF=OF⋅tan∠BOF=r⋅tan36°，
由垂径定理得BC=2BF=2r⋅tan36°，
该选项正确，故不符合题意；
D. 由题意可得，∠BOC=15×360°=72°，由等腰三角形的三线合一性质可得∠BOF=12∠BOC=36°，
∴OF=OB⋅cs∠BOF=R⋅cs36°，
即r=R⋅cs36°
该选项错误，故符合题意；
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接OG，OA，OD，则OC=OA=OD，∠AOC=120°，∠DOC=60°，可证明△DOC是等边三角形，∠OAC=∠OCA=30°，则可得到OC=DC=4，再求出OG的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OG，OA，OD，
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OC=OA=OD，∠AOC=360°6×2=120°，∠DOC=360°6=60°，
∴△DOC是等边三角形，∠OAC=∠OCA=180°−120°2=30°，
∴OC=DC=4，
∵OG⊥AC，
∴OG=12OC=2，
∴点O到AC的距离OG的长为2，
故选：B．
9．8
【分析】此题考查正多边形内角与中心角，根据正n边形的中心角的度数为360°n，内角和为n−2×180°，列出方程即可，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角．
【详解】解：正n边形的中心角的度数为360°n，内角和为n−2×180°，
由题意可得：360°n=n−2×180°×124，
解得：n1=8，n2=−6（负值舍去），
故：n=8，经检验，符合题意，
故答案为：8．
10．4
【分析】本题考查正多边形与圆的综合，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意得到该正多边形是正六边形，其的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵正多边形的一个中心角为60°，
∴该正多边形的边数为360÷60=6，即该正多边形为正六边形，
正六边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，
∵边长为4cm，
∴这个正多边形外接圆的半径为4cm，
故答案为：4．
11．593
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
延长CE交AB的延长线于点D，作FG⊥CE于点G，得到∠ADC=90°，∠FGC=∠FGE=90°，设正六边形的边长为a，则EF=CF=a,AB=4a，求出∠EFC=360°−2×120°=120°，得到FG=12CF=12a，继而得到DC=523a，BD=FG=12a，求得AD=AB+BD=4a+12a=92a，得到tan∠BAC=DCAD=523a92a=593，即可得到答案．
【详解】解：如图，延长CE交AB的延长线于点D，作FG⊥CE于点G，
∴∠ADC=90°，∠FGC=∠FGE=90°，
设正六边形的边长为a，则EF=CF=a,AB=4a，
∴EG=FG，
∵正六边形的一个内角为6−2×180°6=120°，
∴∠EFC=360°−2×120°=120°，
∴∠FCG=∠FEG=12180°−∠EFC=30°，
∴FG=12CF=12a，
∴CG=CF2−FG2=32a
∴DC=523a，BD=FG=12a，
∴AD=AB+BD=4a+12a=92a，
∴tan∠BAC=DCAD=523a92a=593，
故答案为：593．
12．32
【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆，
先求出中心角，再根据勾股定理可得答案．
【详解】解：连接OD,OE,OF，如图所示，
∵这个多边形是正八边形，
∴∠DOE=∠EOF=360°8=45°，
∴∠DOF=90°．
在Rt△DOF中，DO=FO=3，
∴DF=DO2+FO2=32．
故答案为：32．
13．7
【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出∠FEB=60°，由FH⊥BE可得∠HFE=30°，∠AFH=90°,得HE=12EF=1，由勾股定理可求出HF=3，AH=7．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴EF=AF=2,∠AFE=∠DEF=6−2×180°6=120°,
∵六边形ABCDEF是轴对称图形，
∴BE是它的一条对称轴，
∴∠FEB=∠DEB=12∠DEF=60°,
∵FH⊥BE，即∠FHE=90°,
∴∠EFH=30°,
∴∠AFH=120°−30°=90°，
在Rt△FHE中，FE=2,∠EFH=30°,
∴EH=12EF=1,
由勾股定理得，FH=FE2−EH2=22−12=3,
在Rt△FHA中，由勾股定理得AH=AF2+FH2=22+32=7，
故答案为：7．
14．54
【分析】连接BO,CO，根据正五边形的中心角得∠BOC=360°÷5=72°，AF⊥CD，结合圆周角定理得∠BDC=12∠BOC=36°，再运用直角三角形的两个锐角互余列式计算，即可作答．本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：连接BO,CO，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，
∴∠BOC=360°÷5=72°，AF⊥CD，
∵BC=BC，
∴∠BDC=12∠BOC=36°，
则在Rt△GDW中，∠DGF=90°−∠BDC=90°−36°=54°，
故答案为：54．
15．120°
【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，F，
∴∠OFE=90°=∠OCD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠D=∠E=6−2×180°6=120°，
在五边形OCDEF中，
∠COF=5−2×180°−90°×2−120°×2=120°，
故答案为：120°．
16． 22 25
【分析】本题是圆的综合题，考查了正方形内切圆，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，将2MB−MC的最大值转化为求BN的长是解题关键．
（1）过点O作OF⊥BC，垂足为F．圆O半径为R，则ON=22R，证明△MON∽△COM，即可求出MNMC的值；
（2）结合（1）的结论可得2MB−MC=2MB−MN，则当M在BN的延长线上时，即点B、M、N三点共线时，MB−MN有最大值，最大值为BN的长，过点N作NQ⊥BC，垂足为Q，证明△COF∽△CNQ，得出BQ=3，NQ=CQ=1，从而求出BN=10，即可得解．
【详解】解：（1）如图1，过点O作OF⊥BC，垂足为F．

设圆O半径为R，则OF=OM=R，
∴OC=2R，
∵N为OC的中点，
∴ON=22R，
∴ONOM=22，OMOC=22，
又∵ ∠MON=∠COM，
∴ △MON∽△COM，
∴MNMC=ONOM=22，
故答案为：22；
（2）由（1）可知，MN=22MC，
∴2MB−MC=2MB−22MC=2MB−MN，
∴当M在BN的延长线上时，即点B、M、N三点共线时，MB−MN有最大值，最大值为BN的长，
如图2，过点N作NQ⊥BC，垂足为Q，
∴NQ∥OF，
∴△COF∽△CNQ，
∴CFCQ=OFNQ=OCCN=2，
∵OF=BF=CF，AB=BC=4，
∴BQ=3，NQ=CQ=1，
∴BN=BQ2+NQ2=10，
∴MB−MN的最大值为10，
∴2MB−MN的最大值为2×10=20=25，
∴2MB−MC的最大值为25．
故答案为：25．
17．a=23,P=63,r=1,S=33
【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积，
作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质得出BD=CD=12BC，∠OCD=30°，求出OD，根据勾股定理求出CD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：作AD⊥BC于D．
∵△ABC是正三角形，
∴点O在AD上，a=BC=2CD，∠OCD=30°，
在Rt△COD中，r=OD=12OC=1，
CD=OC2−OD2=22−12=3，
∴a=BC=2CD=23，P=3a=63．
又∵AD=OA+OD=2+1=3，
∴S=12BC · AD=12×23×3=33，
∴a=23，P=63，r=1，S=33．
18．见解析
【分析】首先连接OC，根据垂径定理的知识，易证得Rt△OCG≌Rt△OCF，设OG=a，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形OFCG的面积与△ABC的面积，继而求得答案．
【详解】连OA、OB、OC，如图(2)所示，

图(2)
则OA=OB=OC，又AB=BC=CA．
∴ △OAB≌△OBC≌△OCA，
又OD⊥BC于F，OE⊥AC于G，由垂径定理得AG= 12 AC，FC= 12 BC，
∴ AG=CF．
∴ Rt△AOG≌Rt△COF
∴ S四边形OFCG=S△OCG+S△OCF=S△OCG+S△AOG=S△AOC=13S△ABC．
即阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的13倍．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)AE的长为5−12
【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE=∠AED=108°，从而利用平角定义可得∠FAE=∠AEF=72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F=36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM=∠MAE=36°，从而可得∠F=∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设AE=x，利用（1）的结论可得：∠F=∠FAM=36°，从而可得FM=AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE=∠AEF=72°，从而可得FA=FE=1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME=∠AEF=72°，从而可得AM=AE，进而可得AM=AE=FM=x，再利用线段的和差关系可得ME=1−x，最后利用（1）的结论可得：AE2=EF⋅EM，从而可得x2=1⋅(1−x)，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=∠AED=108°，
∴∠FAE=180°−∠BAE=72°，∠AEF=180°−∠AED=72°，
∴∠F=180°−∠FAE−∠AEF=36°，
∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM=∠MAE=12∠FAE=36°，
∴∠F=∠MAE，
∵∠AEM=∠AEF，
∴△AEM∽△FEA，
∴ AEEF=EMEA，
∴AE2=EF⋅EM；
（2）解：设AE=x，
由（1）可得：∠F=∠FAM=36°，
∴FM=AM，
由（1）可得：∠FAE=∠AEF=72°，
∴FA=FE=1，
∵∠AME=∠F+∠FAM=72°，
∴∠AME=∠AEF=72°，
∴AM=AE，
∴AM=AE=FM=x，
∴ME=EF−FM=1−x，
由（1）可得：AE2=EF⋅EM，
∴x2=1⋅(1−x)，
解得x=5−12或x=−1−52（舍去），
∴AE=5−12，
∴AE的长为5−12．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的定义，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)12
(3)AF+BC=DF．理由见解析
【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ABD=∠ACD=∠BCD=∠BAD=45°，从而得解；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB=2AD，可求出AB，则答案得出；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，证明△DAF≌△DBN与Rt△CDF≌Rt△CDN(HL)，则AF=BN，DF=CF则结论AF+BC=DF可得出．
【详解】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠ACD=∠BCD=∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠BCD=45°，
∵AE=17，
∴ME=AM=AE⋅sin∠DAB=17×22=1722，
∵DE=13，
∴DM=DE2−ME2=132−(1722)2=722，
∴AD=AM+DM=122，
∴AB=ADsin∠DAB=2AD=122×2=24，
∴AO=12AB=12；
（3）解：AF+BC=DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DAF+∠DBC=180°，
∵∠DBN+∠DBC=180°，
∴∠DBN=∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD=∠DNB=90°，DF=DN，
∴△DAF≌△DBN(AAS)，
∴AF=BN，
∵DF=DN,∠DFC=∠N=90°,CD=CD，
∴Rt△CDF≌Rt△CDN(HL)，
∴CF=CN，
∵∠FCD=45°，
∴DF=CF，
∴CN=BN+BC=AF+BC=DF．
即AF+BC=DF．
【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
21．(1)点E在该反比例函数的图象上，理由见解析
(2)y=−3x+9，3