11.2.2一元一次不等式的应用（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488011.2.2 一元一次不等式的应用学习目标能从实际问题中抽象出不等关系，列出一元一次不等式解决实际问题。掌握列一元一次不等式解决实际问题的步骤，提高分析问题和解决问题的能力。学会根据实际问题的意义检验不等式的解，确保解的合理性。体会一元一次不等式在解决优化决策、范围限定等实际问题中的应用价值，增强应用数学的意识。情境引入实际问题某学校计划购买一批篮球和足球，已知购买 2 个篮球和 3 个足球共需花费 380 元；购买 4 个篮球和 5 个足球共需花费 680 元。若学校准备用不超过 2000 元的资金购买篮球和足球共 20 个，且篮球数量不少于足球数量的一半，问最多能购买多少个篮球？这类问题需要通过列不等式来确定数量的范围或最大值、最小值，这就是一元一次不等式在实际生活中的典型应用。如何将实际问题转化为数学不等式并求解呢？思考回顾列一元一次方程解决实际问题的步骤是：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答。列一元一次不等式解决实际问题的步骤是否类似？关键区别是什么？列一元一次不等式解决实际问题的步骤列一元一次不等式解决实际问题的步骤与列一元一次方程类似，但核心是找到不等关系而非等量关系。具体步骤如下：步骤 1：审题仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知条件、未知量以及需要解决的问题。重点关注题目中表示不等关系的关键词，如 “不超过”“至少”“最多”“不少于”“大于”“小于” 等。步骤 2：设未知数根据问题设出适当的未知数，通常设所求的量为未知数，用字母（如 x）表示。设未知数时要注明单位。步骤 3：找不等关系分析题目中的数量关系，找出其中的不等关系。这是解决问题的关键步骤，需要结合生活实际和题目要求，将文字描述转化为数学中的不等关系。步骤 4：列不等式根据找到的不等关系，列出一元一次不等式。列不等式时要注意数量单位的统一，确保式子的正确性。步骤 5：解不等式按照一元一次不等式的解法步骤求解不等式，得到未知数的取值范围（解集）。步骤 6：检验结合实际问题的意义，检验不等式的解集是否合理。例如，人数、物品个数等应为正整数，需对解集进行适当调整。步骤 7：作答根据检验结果，用简洁明了的语言回答问题，写出符合实际意义的答案。典型例题解析类型 1：购物与费用问题例题 1某商店准备购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 3 件和 B 商品 2 件，共需 120 元；购进 A 商品 5 件和 B 商品 4 件，共需 220 元。（1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过 1000 元购进这两种商品共 50 件，问最多能购进 A 商品多少件？解答步骤：（1）求进价：设 A 商品每件进价 x 元，B 商品每件进价 y 元。根据等量关系列方程组：\(\begin{cases}3x + 2y = 120 \\ 5x + 4y = 220\end{cases}\)解得：\(\begin{cases}x = 20 \\ y = 30\end{cases}\)答：A 商品每件进价 20 元，B 商品每件进价 30 元。（2）求购进数量：设购进 A 商品 m 件，则购进 B 商品 (50 - m) 件。不等关系：总费用不超过 1000 元→20m + 30 (50 - m)≤1000。解不等式：20m + 1500 - 30m≤1000→-10m≤-500→m≥50。结合实际：m≤50（共购进 50 件），故 m = 50。答：最多能购进 A 商品 50 件。类型 2：行程与时间问题例题 2小明家距离学校 2.5 千米，他每天步行上学，步行速度为每小时 5 千米。某天早晨，小明起床较晚，他想在 7:30 之前赶到学校，最迟需要在什么时间从家出发？解答步骤：设小明最迟需要在 7 点 x 分从家出发。步行时间 = 路程 ÷ 速度 = 2.5÷5 = 0.5 小时 = 30 分钟。不等关系：出发时间 + 步行时间≤7:30。转化为不等式：x + 30≤30→x≤0。即最迟需在 7:00 从家出发。答：最迟需要在 7:00 从家出发。类型 3：工程与效率问题例题 3某工程队计划在 10 天内完成一项工程，前 3 天完成了工程的 20%。为了按时完成任务，剩下的工程每天至少需要完成总工程的百分之几？解答步骤：设剩下的工程每天需要完成总工程的 x%。总工程视为 100%，已完成 20%，剩余 80%。剩余时间：10 - 3 = 7 天。不等关系：7 天完成的工作量≥剩余工作量→7x≥80。解不等式：x≥80/7≈11.43。答：剩下的工程每天至少需要完成总工程的 11.5%（保留一位小数）。类型 4：方案选择问题例题 4某通讯公司推出两种手机套餐：套餐 A：月租费 50 元，通话每分钟 0.2 元。套餐 B：月租费 10 元，通话每分钟 0.3 元。若每月通话时间为 x 分钟，选择哪种套餐更省钱？解答步骤：套餐 A 费用：50 + 0.2x；套餐 B 费用：10 + 0.3x。（1）当 A 费用＜B 费用时：50 + 0.2x＜10 + 0.3x→x＞400。（2）当 A 费用 = B 费用时：x = 400。（3）当 A 费用＞B 费用时：x＜400。结论：每月通话时间超过 400 分钟时，选套餐 A；等于 400 分钟时，两者均可；少于 400 分钟时，选套餐 B。常见不等关系关键词及对应不等号关键词不等号示例不超过、至多≤费用不超过 100 元→费用≤100至少、不少于≥至少 5 人→人数≥5大于、超过＞速度超过 60km/h→速度＞60小于、不足＜重量不足 2kg→重量＜2最多≤最多 3 个→数量≤3不低于≥成绩不低于 90 分→成绩≥90解题技巧与注意事项技巧关键词转化：准确将题目中的关键词转化为对应的不等号，这是列不等式的基础（如 “不超过” 转化为 “≤”）。单位统一：在涉及行程、费用等问题时，确保各数量的单位统一（如时间单位统一为小时或分钟）。结果取整：当问题涉及人数、物品个数等整数概念时，需对不等式的解集进行取整处理，通常采用 “进一法” 或 “去尾法”，具体根据实际情况确定。方案比较：对于方案选择问题，通过列不等式找到不同方案的优劣分界点，再根据具体数值选择最优方案。注意事项不等关系遗漏：忽略题目中隐含的不等关系，如 “非负数”“正整数” 等条件。符号错误：列不等式时不等号方向错误，如将 “不少于” 写成 “＜”。检验缺失：解出不等式后未结合实际问题检验，导致答案不符合实际意义（如人数为负数）。计算错误：解不等式过程中出现计算错误，尤其是移项和系数化为 1 时的符号问题。课堂练习练习 1某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产 50 个，12 天完成。实际每天生产的零件数超过原计划，结果提前 2 天完成任务。实际每天至少生产多少个零件？练习 2某班组织学生参加社会实践活动，需租用客车。若租用 45 座客车，则有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车刚好坐满。已知 45 座客车的租金为每辆 220 元，60 座客车的租金为每辆 300 元。（1）求参加社会实践活动的学生人数和原计划租用 45 座客车的数量。（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，怎样租用更省钱？练习 3某商店准备购进甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙商品每件进价 35 元，售价 45 元。若该商店准备用不超过 1000 元购进这两种商品，且甲商品的数量不少于乙商品数量的 4 倍，问最多能购进乙商品多少件？练习 4某单位计划在 “五一” 期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为 10~25 人。甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 200 元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。该单位选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？课堂小结列一元一次不等式解决实际问题的步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式→解不等式→检验→作答。关键是准确找出不等关系，将关键词转化为对应的不等号。解出不等式后需结合实际问题检验解集的合理性，尤其是涉及整数的问题需适当取整。常见应用类型包括购物费用、行程时间、工程效率、方案选择等，需根据不同类型的特点分析数量关系。课后作业课本 Pxx 页习题 11.2 第 x、x 题。某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买一批篮球和排球。若购买 2 个篮球和 3 个排球共需花费 210 元；购买 4 个篮球和 5 个排球共需花费 370 元。（1）求篮球和排球的单价分别是多少元？（2）若学校准备用不超过 1000 元购买篮球和排球共 20 个，且排球数量不少于篮球数量的一半，问最多能购买多少个篮球？某工人计划在 15 天内加工 408 个零件，最初 3 天每天加工 24 个。问以后每天至少加工多少个零件才能在规定时间内完成任务？某商店销售 A、B 两种商品，A 商品每件售价 50 元，利润率为 20%；B 商品每件售价 60 元，利润率为 25%。若该商店准备用不超过 2000 元购进这两种商品，且 A 商品的数量不超过 B 商品数量的 3 倍，问最多能购进 A 商品多少件？思考：在实际问题中，如何区分需要列方程解决的问题和需要列不等式解决的问题？例1 某商品的进价是 120 元，标价为 180 元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品?分析：本题涉及的数量关系是什么?售价(标价×折扣）－进价≥进价×利润率解：设最多可以打 x 折出售此商品，由题意得180×0.1x－120≥120×20%，解得 x≥8.答：最多可以打 8 折出售此商品.1. 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果售卖这些童装要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？解：设每套童装的售价是 x 元.则 40x－90×40－40x · 10％≥900.解得 x≥125.答：每套童装的售价至少是 125 元.分析：本题涉及的数量关系是： 纯利润 = 销售额－成本－税费≥900 元.练一练例2 七年级举办古诗词知识竞赛，共有 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答都扣 5 分. 如果规定初赛成绩超过 90 分晋级决赛，那么初赛至少要答对多少道题才能成功晋级？分析：本问题中涉及的数量关系是：答对的得分－答错或不答的扣分＞90解：设初赛答对了 x 道题.根据“初赛成绩超过 90 分”晋级决赛，列得不等式10x－100＋5x＞90.15x＞190.去括号，得移项，合并同类项，得系数化为 1，得答：初赛至少要答对 13 道题才能成功晋级.10x－5(20－x)＞90. 由 x 为正整数，可得 x 至少为 13.分析：本问题中涉及的数量关系是：万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量（折算为标准煤），其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标.例 3 某市去年万元地区生产总值能耗为 0.320 t 标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为 x t 标准煤.根据题意，列得不等式0.320－x≥0.320×5%.－x≥－0.304.去分母，得移项，合并同类项，得系数化为 1，得答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为 0.304 t 标准煤.x≤0.304.2. 某次知识竞赛中共有 25 道题，对于每一道题，答对了得 4 分，答错了或者不答扣 2 分，小明同学得分要超过 80 分，他至少要答对几道题?练一练解：设小明答对 x 道题，则他答错或不答的题数为 (25－x) 道.由题意得 4x－2(25－x)＞80，  不能，因为 x 应为整数而且不能超过 25，所以小明至少要答对 22 道题.归纳总结利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？你会列一元一次不等式解决实际问题吗？例4 某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 某文具用品商店给出两种优惠方案：甲：买一个笔记本，赠送一张证书；乙：一次购买证书200 张以上，超过 200 张的证书按原价打八折，笔记本不打折. 学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过 200 张)， 请你判断哪种方案更合算，并说明理由.问题1：题中有什么未知量? 怎么设未知数?购买证书的数量，设购买证书 m (m＞200) 张.选择方案甲所需费用 y甲为 80×6＋0.4×(m－80)＝(0.4m＋448) (元)；问题 2：怎么用含未知数的代数式表示甲、乙两个方案的费用?选择方案乙所需费用y乙为80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200)＝(0.32m＋496) (元).问题3：怎么比较两个方案费用的大小?① 当 y甲＝y乙 时，即 0.4m＋448＝0.32m＋496.移项，得 0.4m－0.32m＝496－448.合并同类项，0.08m＝48.解得m＝600.② 当 y甲＞y乙 时，0.4m＋448＞0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＞496－448.合并同类项：0.08m＞48.解得 m＞600.③当 y甲＜y乙 时，0.4m＋448＜0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＜496－448.合并同类项：0.08m＜48.解得 m＜600.综上，当购买证书 600 张时，甲、乙两种方案费用一样；当购买证书的数量大于 600 张时，方案乙更合算；当购买证书的数量大于 200 张且小于 600 张时，方案甲更合算.例5 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？ x x x 100+0.9(x-100)50+0.95(x-50)50+0.95(x-50)分析：(1) 当 0＜x≤50 时，在两家超市购物花费_____，因为__________________.(2) 当 50＜x≤100 时，在____超市购物花费少，因为__________________________.一样都不享受优惠乙乙超市有优惠，甲超市没有解： x x x 100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)50＋0.95(x－50) x x x 100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)50＋0.95(x－50)（3）当累计购物超过100元，即 x＞100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠.①若到甲超市购物花费较少，则 ，解得 ________. 即________时，到甲超市购物花费较少.100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)x＞150x＞150③若到两超市购物花费相同，则________________________________，解得 ________. 即________时，到甲、乙两超市购物花费相同. x x x 100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)50＋0.95(x－50)②若到乙超市购物花费较少，则_________________________________，解得 ________. 即______________时，到乙超市购物花费较少.100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50) x＜150100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)x＝150100＜x＜150x＝150 答：综上所述，当累计购物花费不超过 50 元或等于 150 元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少.3. 为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A，B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表. 经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元.(1) 该企业有多少种购买方案?分析：本问题中涉及的数量关系是：购买A型设备的资金+购买B型设备的资金≤105 练一练解：设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备 (10－x) 台.由题意，得 12x＋10(10－x)≤105，解这个不等式，得 x≤2.5.因为 x 为设备的台数，所以 x 为非负整数，即0≤x≤2.5 且 x 为整数，那么 x 的值可以为 0，1，2.当x=0时，10-x=10-0=10，即购买A型 0 台，B型10 台.当x=1时，10-x=10-1=9，即购买A型 1 台，B型 9 台.当x=2时，10-x=10-2=8，即购买A型 2 台，B型 8 台.所以该企业有 3 种购买方案.(2) 若该企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节省资金，应该选择哪种购买方案?解：由题意得 240x＋200(10－x)≥2040， 解得 x≥1.结合(1) 中 x≤2.5且 x 为整数，可得 x 的值为 1 或 2.分别计算两种情况下的购买资金：当 x＝1 时，购买A 型 1 台，B 型 9 台，购买资金为12×1＋10×9＝12＋90＝102 (万元).当 x＝2 时，购买 A 型 2 台，B 型 8 台，购买资金为12×2＋10×8＝24＋80＝104 (万元).因为 102