第11章 不等式与不等式组【章末复习】（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880第 11 章 不等式与不等式组 章末复习知识框架 核心知识回顾一、不等式的基本概念不等式的定义：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示大小关系的式子。关键词转化：“不超过” 对应 “≤”，“至少” 对应 “≥”，“超过” 对应 “＞”，“不足” 对应 “＜”。不等式的解与解集：不等式的解：使不等式成立的未知数的值（单个或多个具体值）。不等式的解集：所有解组成的集合（范围性表示）。数轴表示解集：规则：大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈。示例：\(x＞2\)表示为 2 处空心圆圈向右画线；\(x≤-1\)表示为 - 1 处实心圆点向左画线。二、不等式的性质性质内容注意事项性质 1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变无特殊限制，与等式性质一致性质 2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变仅适用于正数，方向不变性质 3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变核心区别于等式的性质，负数乘除必须变向对比等式性质：等式两边乘除负数后仍为等式，而不等式乘除负数后不等号方向必须改变，这是最易出错的关键点。三、一元一次不等式定义：只含有一个未知数，未知数次数为 1，且两边都是整式的不等式。识别要点：单未知数、次数为 1、整式不等式（如\(\frac{2x-1}{3}＞5\)是一元一次不等式，\(\frac{1}{x}+2＜3\)不是）。解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（重点关注系数化为 1 时的方向问题）。易错点：去分母漏乘常数项；系数为负数时未改变不等号方向。四、一元一次不等式组定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式组成的不等式组。构成条件：同未知数、每个都是一元一次不等式、至少含两个不等式。解集确定方法：数轴法：在数轴上表示各不等式解集，找公共部分。口诀法：同大取大（\(\begin{cases}x＞a \\ x＞b\end{cases}\)→\(x＞b\)，\(a＜b\)）同小取小（\(\begin{cases}x＜a \\ x＜b\end{cases}\)→\(x＜a\)，\(a＜b\)）大小小大中间找（\(\begin{cases}x＞a \\ x＜b\end{cases}\)→\(a＜x＜b\)，\(a＜b\)）大大小小无处找（\(\begin{cases}x＜a \\ x＞b\end{cases}\)→无解，\(a＜b\)）解法步骤：分别解每个不等式→数轴表示解集→找公共部分→写出不等式组解集。整数解问题：先求不等式组解集，再在解集中找出所有整数（注意边界值是否包含）。五、实际应用解题步骤：审题：找不等关系关键词（如 “不超过”“至少”）。设未知数：明确未知量及单位。列不等式（组）：根据不等关系列出数学式子。求解：解不等式（组）得到解集。检验：结合实际意义验证解的合理性（如人数、物品数为正整数）。作答：明确回答问题。常见类型：方案选择问题：通过不等式比较不同方案的优劣分界点。资源分配问题：根据资源限制列出不等式组确定数量范围。范围限定问题：通过不等式组确定未知量的取值范围。典型例题解析类型 1：不等式性质应用例题 1：若\(a＞b\)，则下列不等式一定成立的是（ ）A. \(a-3＜b-3\) B. \(-2a＞-2b\) C. \(2a＞2b\) D. \(a^2＞b^2\)解析：A 选项：根据性质 1，两边减 3 不等号方向不变，应为\(a-3＞b-3\)，错误。B 选项：根据性质 3，乘负数应改变方向，应为\(-2a＜-2b\)，错误。C 选项：根据性质 2，乘正数方向不变，正确。D 选项：反例：\(a=1\)，\(b=-2\)时，\(a＞b\)但\(a^2＜b^2\)，错误。答案：C类型 2：一元一次不等式解法例题 2：解不等式\(\frac{2x-1}{3} - \frac{x+1}{2}≥1\)，并在数轴上表示解集。解答步骤：去分母（乘 6）：\(2(2x-1)-3(x+1)≥6\)。去括号：\(4x-2-3x-3≥6\)。移项：\(4x-3x≥6+2+3\)。合并同类项：\(x≥11\)。数轴表示：11 处画实心圆点，向右画线。解集：\(x≥11\)类型 3：一元一次不等式组解法例题 3：解不等式组\(\begin{cases}3x-2＞4 \\ 2x+1≤9\end{cases}\)，并求其整数解。解答步骤：解不等式①：\(3x＞6\)→\(x＞2\)。解不等式②：\(2x≤8\)→\(x≤4\)。数轴表示解集：2 处空心向右，4 处实心向左。公共部分：\(2＜x≤4\)。整数解：3、4。答案：解集为\(2＜x≤4\)，整数解为 3、4。类型 4：含参数的不等式问题例题 4：已知不等式组\(\begin{cases}x＜m+1 \\ x＞2m-1\end{cases}\)无解，求\(m\)的取值范围。解析：不等式组无解即 “大大小小无处找”，需满足\(m+1≤2m-1\)。解不等式：\(m+1≤2m-1\)→\(1+1≤2m-m\)→\(m≥2\)。答案：\(m≥2\)类型 5：实际应用问题例题 5：某商店准备购进 A、B 两种商品，A 商品每件进价 15 元，售价 20 元；B 商品每件进价 35 元，售价 45 元。若商店用不超过 1000 元购进这两种商品共 30 件，且 A 商品数量不少于 B 商品数量的 2 倍，问如何进货获利最大？解答步骤：设购进 A 商品\(x\)件，则 B 商品\((30-x)\)件。列不等式组：资金限制：\(15x + 35(30-x)≤1000\)→\(15x + 1050 - 35x≤1000\)→\(-20x≤-50\)→\(x≥2.5\)。数量关系：\(x≥2(30-x)\)→\(x≥60-2x\)→\(3x≥60\)→\(x≥20\)。综合得：\(20≤x≤30\)（\(x\)为整数）。利润计算：每件 A 获利 5 元，每件 B 获利 10 元，总利润\(y=5x + 10(30-x)=300-5x\)。优化决策：\(y\)随\(x\)增大而减小，故\(x=20\)时利润最大，此时 B 商品 10 件。答案：购进 A 商品 20 件，B 商品 10 件时获利最大。易错点警示性质应用错误：乘除负数未改变不等号方向（如由\(-2x＞4\)得\(x＞-2\)，正确应为\(x＜-2\)）。混淆 “≥” 与 “＞”、“≤” 与 “＜” 的区别（如将 “至少 5 人” 表示为\(x＞5\)，正确应为\(x≥5\)）。解法步骤错误：去分母漏乘常数项（如解\(\frac{x}{2}+1＞3\)时，漏乘 1 得\(x + 1＞6\)，正确应为\(x + 2＞6\)）。移项未变号（如由\(2x-3＞5\)得\(2x＞5-3\)，正确应为\(2x＞5+3\)）。数轴表示错误：实心圆点与空心圆圈混淆（如\(x≥2\)用空心圆圈表示）。方向画反（如\(x＜3\)向右画线）。实际应用错误：忽略实际意义对解的限制（如人数为负数或小数）。未检验解集是否满足所有不等关系。章末测试题一、选择题下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）A. \(x^2 + 1＞0\) B. \(\frac{1}{x} + 2＜3\) C. \(3x + y＜5\) D. \(2x - 3≥1\)若\(a＜b\)，则下列不等式正确的是（ ）A. \(a-5＞b-5\) B. \(-2a＜-2b\) C. \(\frac{a}{3}＜\frac{b}{3}\) D. \(a+2＞b+2\)不等式组\(\begin{cases}x＞-1 \\ x≤2\end{cases}\)的解集是（ ）A. \(x＞-1\) B. \(x≤2\) C. \(-1＜x≤2\) D. 无解二、填空题不等式\(3x - 5＜7\)的解集是______，在数轴上表示时，边界点是______（填实心或空心）。不等式组\(\begin{cases}2x + 1＞3 \\ 3x - 5≤1\end{cases}\)的整数解是______。若关于\(x\)的不等式\((m-1)x＞m-1\)的解集是\(x＜1\)，则\(m\)的取值范围是______。三、解答题解下列不等式（组），并在数轴上表示解集：（1）\(\frac{2x - 1}{3}＞x - 2\)（2）\(\begin{cases}5x - 3＜4x \\ 4(x + 1)≥x + 7\end{cases}\)当\(k\)为何值时，代数式\(\frac{2k - 1}{3}\)的值不小于代数式\(\frac{k + 1}{2} - 1\)的值？某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件，已知生产一件 A 产品需甲材料 3kg，乙材料 2kg；生产一件 B 产品需甲材料 2kg，乙材料 4kg。现有甲材料 130kg，乙材料 140kg，问最多能生产多少件 A 产品？某中学组织学生参加社会实践活动，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；如果改租同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车刚好坐满。已知 45 座客车的租金为每辆 220 元，60 座客车的租金为每辆 300 元。（1）求参加社会实践活动的学生人数和原计划租用 45 座客车的数量。（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，怎样租用更省钱？答案与解析一、选择题D（解析：A 是二次不等式，B 不是整式不等式，C 含两个未知数）C（解析：A、D 根据性质 1 应不等号方向不变，B 根据性质 3 应改变方向）C（解析：大小小大中间找）二、填空题\(x＜4\)，空心（解析：解不等式得\(3x＜12\)→\(x＜4\)，不含等号用空心）2（解析：解不等式组得\(1＜x≤2\)，整数解为 2）\(m＜1\)（解析：不等号方向改变，说明系数\(m-1＜0\)）三、解答题（详细步骤略）（1）解集\(x＜5\)；（2）解集\(1≤x＜3\)\(k≥-1\)最多生产 20 件 A 产品（1）学生 180 人，原计划租 4 辆；（2）租 4 辆 60 座客车更省钱复习建议强化性质应用：重点练习不等式乘除负数的方向变化，通过对比等式性质加深理解。规范解题步骤：严格按照 “去分母→去括号→移项→合并→系数化为 1” 的步骤解题，避免漏项和符号错误。数轴辅助解题：解不等式（组）时养成画数轴的习惯，直观确定解集。实际问题建模：多练习方案选择和资源分配问题，提高从文字中提取不等关系的能力。错题分类整理：针对性质应用错误、数轴表示错误、参数问题等分类整理错题，定期复习。数学问题的解【不等式（组）的解集】实际问题（包含不等关系） 数学问题 【一元一次不等式（组）】实际问题的答案 一、不等式的有关概念二、不等式的基本性质性质1 如果 a＞b，那么 a＋c b＋c， a－c b－c.＞＞＞＞＜＜不等号一元一次不等式一元一次不等式组不等式的解集不等式组的解集不等式 解一元一次不等式和解一元一次方程类似，有 等步骤.三、解一元一次不等式去分母去括号移项合并同类项系数化为 1四、解一元一次不等式组1. 分别求出不等式组中各个不等式的解集；2. 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.五、用数轴表示一元一次不等式(组)的解集(a＜b) 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找x＞bx＜aa＜x＜b无解六、利用一元一次不等式 (组) 解决实际问题1. 根据题意，适当设出未知数；2. 找出题中数量间的不等关系；3. 用未知数表示不等关系中的数量；4. 列出不等式 (组) 并求出其解集；5. 检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，然后作答.A√√×√√×√考点一 不等式的相关定义与性质B2. 若 a＜b，则 3a 3b，-a + 1 -b + 1， (m2+1)a (m2+1)b. (用“＞”“＜”或“＝”填空)＜＜＞解：（1）x≤6，数轴上表示为（2）y < 2，数轴上表示为考点二 解一元一次不等式3. 不等式 4x - 6≥7x - 12 的非负整数解为 .0，1，2【归纳拓展】解不等式一定要把握好的基础知识：①不等式的性质；②去分母、去括号、移项、合并同类项的法则.熟练掌握并利用这些基础知识解题，保证正确率.【例3】小明上午 8 时 20 分出发去郊游，10 时 20 分时，小亮乘车从同一地点出发，已知小明每小时走 4 千米，那么小亮要在 11 时追上或超过小明，速度至少是多少？【分析】从路程下手找不等关系，即小亮 40 分钟行进的路程≥小明从 8 时 20 分到 11 时行进的路程.0【归纳拓展】不等式的应用情况很多，但解题目的关键在于找准表示不等关系的语句，并能够列出不等式，再利用不等式的性质解不等式，这样问题才能得以解决.【例4】已知不等式组 有解，则 a 的取值范 围为 （ ） A. a＞-2 B. a≥-2 C. a＜2 D. a≥2 C提示：解不等式 x-a≥0，得 x≥a；解不等式-2x＞-4，得 x＜2. 因为不等式组有解，故 a 比 2 小，即 a＜2.考点四 一元一次不等式组的定义与解集【归纳拓展】不等式组的解集确定方法除利用数轴直观确定外，还可以用口诀确定：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找.C【例5】解不等式组：解：①不等式组的解集是 .②不等式组的解集是 x≥9.考点五 解一元一次不等式组提示：不等式组的解集是 1＜x≤4，所以整数 x 的取值为 2，3，4.9【例6】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分 3 件，则剩余 4 件；若前面每人分 4 件，则最后一人得到的玩具不足 3 件，求小朋友的人数与玩具数.解：设小朋友总共有 x 人，由此可得不等式组由此可得 5＜x≤8，因为 x 是整数，所以 x = 6，7，8.答：小朋友有 6 人，玩具有 22 件；或小朋友有 7 人，玩具有 25 件；或小朋友有 8 人，玩具有 28 件.考点六 用一元一次不等式组解决实际问题【归纳拓展】当应用题中出现以下的关键词：大，小，多，少，不小于，不大于，至少，至多等，一般需要通过列不等式(组)来解决问题，而不是列方程(组)来解决.1. 已知点 M (3a - 9，1 - a) 在第三象限，且它的横、纵坐标都是整数，则 a 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 02. 在数轴上，到原点距离小于 3 的点对应的数值 x 的取值范围是_________.B-3＜x＜33. 某个含字母 x 的式子，不论 x 取何值，这个式子的值的 2 倍总是大于它的值的 3 倍. 请写出一个符合条件的式子.-|x| - 1（答案不唯一）考点1 不等式的概念 CA. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回考点2 不等式的性质 A  返回考点3 一元一次不等式及其解法3. [2024佛山期中] 下列不等式中属于一元一次不等式的是( )A  返回 B     返回7. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.  （1）在解题过程中，从第__________步开始出现错误；一（2）请写出正确的解题过程.   返回考点4 一元一次不等式的实际应用 CA. 4.5 B. 4.8 C. 5 D. 6 返回 40  返回10. 官渡饵块、官渡米线、官渡粑粑并称“官渡三宝”，是昆明小吃的重要组成部分，深受当地人和游客的喜爱.已知3份饵块和4份粑粑共48元，2份饵块和6份粑粑共42元.（1）求一份饵块和一份粑粑分别是多少元. （2）某班级参加学校组织的劳动实践活动，准备购买饵块和粑粑共50份，若计划花费不超过440元，则该班级最多可购买多少份饵块？  返回考点5 一元一次不等式组及其解法 CA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 A   返回 BA. B. C. D.   返回 B   返回    返回16. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元.（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1 000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？  （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？   返回思想1 整体思想   返回思想2 转化思想    返回思想3 数形结合思想      返回经过“不等式与不等式组”这一单元的学习，你是否体会到了“一元一次不等式”和“一元一次方程”间的区别和联系？请结合实际例子说说你的体会.阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086