11.3 一元一次不等式组（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488011.3 一元一次不等式组一、一元一次不等式组的定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组（System of Linear Inequalities in One Variable）。例如：\(\begin{cases}2x - 1 > 3 \\ 3x - 5 < 4\end{cases}\) 就是一个一元一次不等式组。这里需要注意，一个一元一次不等式组的几个不等式必须符合三个条件：“几个” 可以是两个、三个…… 也就是组成不等式组的不等式数量至少为两个。每个不等式都要是一元一次不等式，即不等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1。所有不等式必须都含有同一个未知数 。二、一元一次不等式组的解集不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。比如不等式组 \(\begin{cases}x > 2 \\ x > 3\end{cases}\)，两个不等式解集的公共部分是 \(x > 3\)，所以这个不等式组的解集就是 \(x > 3\) ；而对于不等式组 \(\begin{cases}x < 1 \\ x > 2\end{cases}\)，两个不等式的解集没有公共部分，此时就说这个不等式组无解 。在确定不等式组的解集时，通常利用数轴来辅助。在数轴上表示不等式组的解集时，要把每个不等式的解集都准确表示出来，不能只画出公共部分。公共部分指的是在数轴上被所有不等式解集区域都覆盖住的部分，如果不存在这样的公共区域，那这个不等式组就是无解的，或者说解集是空集。三、解一元一次不等式组的步骤分别求解各个不等式：解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程类似，一般有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤。但特别要注意，当在去分母和系数化为 1 这两步中，如果不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向必须要改变。例如，解不等式 \(\frac{2x - 1}{3} > 2\)，去分母得 \(2x - 1 > 6\)（两边同时乘以 3，不等号方向不变），移项得 \(2x > 6 + 1\)，即 \(2x > 7\)，系数化为 1 得 \(x > \frac{7}{2}\) 。在数轴上表示各个不等式的解集：大于号向右画，小于号向左画。如果不等式含有等号，那么在数轴上表示这个解集时，用实心圆点；如果不含等号，则用空心圆圈。比如，不等式 \(x \geq 3\) 在数轴上表示为从 3 这个点开始向右的射线，3 这个点用实心圆点；不等式 \(x < -1\) 在数轴上表示为从 -1 这个点开始向左的射线， -1 这个点用空心圆圈 。找出不等式组的解集：通过观察数轴，找出各个不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。也可以利用口诀来确定解集：同大取大：若不等式组为 \(\begin{cases}x > a \\ x > b\end{cases}\)（\(a < b\)），那么不等式组的解集为 \(x > b\) 。例如 \(\begin{cases}x > 2 \\ x > 5\end{cases}\)，其解集就是 \(x > 5\) 。同小取小：若不等式组为 \(\begin{cases}x < a \\ x < b\end{cases}\)（\(a < b\)），那么不等式组的解集为 \(x < a\) 。例如 \(\begin{cases}x < -3 \\ x < -1\end{cases}\)，其解集就是 \(x < -3\) 。大小小大中间找：若不等式组为 \(\begin{cases}x > a \\ x < b\end{cases}\)（\(a < b\)），那么不等式组的解集为 \(a < x < b\) 。例如 \(\begin{cases}x > -2 \\ x < 4\end{cases}\)，其解集就是 \(-2 < x < 4\) 。大大小小无处找：若不等式组为 \(\begin{cases}x < a \\ x > b\end{cases}\)（\(a < b\)），那么这个不等式组无解。例如 \(\begin{cases}x < 1 \\ x > 3\end{cases}\)，就没有公共的解。四、典型例题解析（一）解简单的一元一次不等式组例题 1：解不等式组 \(\begin{cases}3x - 2 > 4 \\ 2x + 1 < 9\end{cases}\)解答步骤：解不等式 \(3x - 2 > 4\)：移项得 \(3x > 4 + 2\)，即 \(3x > 6\)。系数化为 1 得 \(x > 2\)。解不等式 \(2x + 1 < 9\)：移项得 \(2x < 9 - 1\)，即 \(2x < 8\)。系数化为 1 得 \(x < 4\)。在数轴上表示两个不等式的解集：对于 \(x > 2\)，在数轴上从 2 这个点开始向右画射线，2 这个点用空心圆圈。对于 \(x < 4\)，在数轴上从 4 这个点开始向左画射线，4 这个点用空心圆圈。找出公共部分：通过数轴可以直观看到，两个解集的公共部分是 \(2 < x < 4\)。所以这个不等式组的解集为 \(2 < x < 4\) 。（二）求不等式组的整数解例题 2：解不等式组 \(\begin{cases}x - 1 \geq 0 \\ 3 - 2x > -1\end{cases}\) ，并求出它的整数解。解答步骤：解不等式 \(x - 1 \geq 0\)：移项得 \(x \geq 1\)。解不等式 \(3 - 2x > -1\)：移项得 \(-2x > -1 - 3\)，即 \(-2x > -4\)。系数化为 1，因为两边同时除以 -2，不等号方向改变，得 \(x < 2\)。在数轴上表示两个不等式的解集：\(x \geq 1\) 在数轴上从 1 这个点开始向右画射线，1 这个点用实心圆点。\(x < 2\) 在数轴上从 2 这个点开始向左画射线，2 这个点用空心圆圈。找出公共部分：两个解集的公共部分是 \(1 \leq x < 2\)。所以这个不等式组的解集为 \(1 \leq x < 2\)。求整数解：在 \(1 \leq x < 2\) 这个范围内的整数只有 \(x = 1\) 。所以该不等式组的整数解为 \(x = 1\) 。（三）根据不等式组的解集求参数的值或范围例题 3：已知不等式组 \(\begin{cases}x < 2m + 1 \\ x > m - 2\end{cases}\) 无解，求 \(m\) 的取值范围。解答步骤：因为不等式组 \(\begin{cases}x < 2m + 1 \\ x > m - 2\end{cases}\) 无解，根据 “大大小小无处找” 的原则可知：\(2m + 1 \leq m - 2\) 。解关于 \(m\) 的不等式：移项得 \(2m - m \leq -2 - 1\) 。即 \(m \leq -3\) 。所以 \(m\) 的取值范围是 \(m \leq -3\) 。五、一元一次不等式组的应用在实际生活中，有很多问题可以通过建立一元一次不等式组来解决。比如资源分配、方案选择等问题。（一）方案选择问题例题 4：某学校计划组织师生去某景点旅游，已知该景点的门票价格为成人票每张 80 元，学生票每张 40 元。学校准备用不超过 3200 元的资金购买门票，且学生人数不少于老师人数的 3 倍。若老师有 \(x\) 人，学生有 \(y\) 人，求 \(x\) 和 \(y\) 的取值范围。解答步骤：分析不等关系：资金限制：购买门票的总费用不超过 3200 元，即 \(80x + 40y \leq 3200\) ，化简得 \(2x + y \leq 80\) 。人数关系：学生人数不少于老师人数的 3 倍，即 \(y \geq 3x\) 。同时 \(x\)，\(y\) 都应为正整数，因为人数不能为负数或小数。列出不等式组：\(\begin{cases}2x + y \leq 80 \\ y \geq 3x \\ x > 0 \\ y > 0\end{cases}\)求解不等式组：由 \(y \geq 3x\) ，将其代入 \(2x + y \leq 80\) 中，得到 \(2x + 3x \leq 80\) ，即 \(5x \leq 80\) ，解得 \(x \leq 16\) 。又因为 \(x > 0\) ，所以 \(0 < x \leq 16\) 。因为 \(y \geq 3x\) ，当 \(x = 1\) 时，\(y \geq 3\) ；当 \(x = 2\) 时，\(y \geq 6\) ；……；当 \(x = 16\) 时，\(y \geq 48\) 。同时 \(y \leq 80 - 2x\) ，当 \(x = 1\) 时，\(y \leq 78\) ；当 \(x = 2\) 时，\(y \leq 76\) ；……；当 \(x = 16\) 时，\(y \leq 48\) 。综合起来，\(x\) 的取值范围是 \(0 < x \leq 16\) 且 \(x\) 为整数，\(y\) 的取值范围是 \(3x \leq y \leq 80 - 2x\) 且 \(y\) 为整数 。（二）资源分配问题例题 5：某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要 A 原料 3 千克，B 原料 2 千克；生产一件乙产品需要 A 原料 1 千克，B 原料 3 千克。现工厂有 A 原料 10 千克，B 原料 12 千克，设生产甲产品 \(x\) 件，生产乙产品 \(y\) 件，求 \(x\) 和 \(y\) 的取值范围，使得原料能够合理利用且产品数量为正整数。解答步骤：分析不等关系：A 原料限制：生产甲、乙产品使用的 A 原料总量不超过 10 千克，即 \(3x + y \leq 10\) 。B 原料限制：生产甲、乙产品使用的 B 原料总量不超过 12 千克，即 \(2x + 3y \leq 12\) 。产品数量要求：\(x\)，\(y\) 都应为正整数。列出不等式组：\(\begin{cases}3x + y \leq 10 \\ 2x + 3y \leq 12 \\ x > 0 \\ y > 0\end{cases}\)求解不等式组：由 \(3x + y \leq 10\) 得 \(y \leq 10 - 3x\) 。将 \(y \leq 10 - 3x\) 代入 \(2x + 3y \leq 12\) 中，得到 \(2x + 3(10 - 3x) \leq 12\) 。去括号得 \(2x + 30 - 9x \leq 12\) 。移项合并得 \(-7x \leq 12 - 30\) ，即 \(-7x \leq -18\) 。系数化为 1 得 \(x \geq \frac{18}{7} \approx 2.57\) ，因为 \(x\) 为正整数，所以 \(x \geq 3\) 。又因为 \(y \leq 10 - 3x\) ，当 \(x = 3\) 时，\(y \leq 10 - 3×3 = 1\) ；当 \(x = 4\) 时，\(y \leq 10 - 3×4 = -2\)（舍去）。再由 \(2x + 3y \leq 12\) 得 \(y \leq \frac{12 - 2x}{3}\) 。当 \(x = 3\) 时，\(y \leq \frac{12 - 2×3}{3} = 2\) 。所以 \(x\) 的取值范围是 \(3 \leq x \leq 3\)（即 \(x = 3\) ），\(y\) 的取值范围是 \(1 \leq y \leq 2\) 且 \(y\) 为整数 。通过以上对一元一次不等式组的学习，我们可以看到它在数学和实际生活中都有着广泛的应用，能够帮助我们解决很多需要确定取值范围或进行方案选择的问题 。画数轴、定边界点、定方向.1. 二元一次方程组的概念.含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是１，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组2. 在数轴上表示一元一次不等式解集的方法是什么? 一个长方形足球场的宽为 70 m，如果它的周长大于 350 m，面积小于 7630 m²，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛 (注：用于国际足球比赛的足球场的长在 100 至 110 m之间，宽在 64 至 75 m之间).分析：足球场周长＞350 m 足球场面积＜7630 m² 填一填：(1) 如果设足球场的长为 x m，那么它的周长就是 m，面积为 m². 根据已知条件我们知道 x 的取值范围要使 和 这两个不等式同时成立.2(x＋70)70x2(x＋70)＞35070x＜7 630(3) 参考二元一次方程组的概念给出一元一次不等式组的概念.两个等量关系方程组两个不等关系不等式组同时满足判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：判一判解：(1) 不是； (2) 是；(3) 不是；(4) 是. 问题：分别解不等式 2(x＋70)＞350 和 70x＜7 630，并把它们的解集在同一个数轴上面表示出来.2(x＋70)＞350，解得 x＞105.70x＜7 630，解得 x＜109.公共部分问题1：上面两个不等式是否有公共部分? 怎么表示公共部分的范围呢?有，105＜x＜109问题2：什么叫一元一次不等式组的解集?求下列不等式组的解集：你能发现什么规律?合作探究求下列不等式组的解集：你能发现什么规律?解：原不等式组的解集为： x＞5.解：原不等式组的解集为： x＞2.同大取大求下列不等式组的解集：你能发现什么规律?解：原不等式组的解集为： 3＜x＜5.解：原不等式组的解集为： -1＜x＜2.大小小大中间找求下列不等式组的解集：你能发现什么规律?解：原不等式组的解集为： x＜3.解：原不等式组的解集为： x＜-1.同小取小求下列不等式组的解集：你能发现什么规律?解：原不等式组的解集没有公共部分，无解.解：原不等式组无解.大大小小无处找 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找x＞bx＜aa＜x＜b无解归纳总结求解方法：先求出每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后利用数轴确定解集.x＞-3-5＜x≤-3x＜-3无解 1.求下列不等式组的解集：练一练例1 解下列不等式组：2x－1＞x＋1，①x＋8＜4x－1；②（1）解不等式②，得x＞3.不等式①和②的解集在数轴上表示如下：从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集为 x＞3.（2） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.从图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解.例1 解下列不等式组：2. 解不等式组：把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图. 由图可知，不等式①②的解集的公共部分就是 x＜-3，所以这个不等式组的解集是 x＜-3.练一练则 (a＋1)(b－1) 的值为多少?问题1：由①得 ，由②得， . x＞3＋2b问题2：方程组的解集应表示为 .  因为不等式组的解集为 －1＜x＜l，所以 (a＋1)(b－1)＝2×(－3)＝－6. 例3 x 取哪些整数值时，不等式 5x + 2＞3(x - 1) 与 都成立？分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是 x 可取的整数值.解：由题，解不等式组故 x 可取的整数值有 -2，-1，0，1，2，3，4.练一练3. 若关于 x 的一元一次不等式组无解，则 a 的取值范围是( )AA. a≥l B. a＜－1C. a≤1 D. a≤－1解析：解第②个不等式得 x＞a，解第 ① 个不等式得 x＜1. 因为不等式组无解，所以 a≥l， 故选 A.1. 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是( )C  D  返回 AA. B. C. D. 返回 B      返回 D  返回 （1）解不等式①，得______________；（2）解不等式②，得______；  （3）把不等式①和②的解集在数轴（如图）上表示出来；【解】解集在数轴上表示如图.（4）原不等式组的解集为____________.  返回   返回    返回 D  返回 B  返回   返回一元一次不等式组一元一次不等式组的解集↓数轴公共部分阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086