2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷2

这是一份2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷2，共55页。试卷主要包含了计算，脱式计算，在横线里填上适当的面积单位，在横线里填“＞”“＜”或“＝”等内容，欢迎下载使用。
1．（10分）计算。
2．（7分）列竖式计算。（带*的要验算）
260÷34＝
504÷35＝
*730÷80＝
3．（12分）脱式计算。
60.45﹣37.6+29.75
37×[（275÷（32+23）]
二．填空题（共12小题，满分26分）
4．（3分）在横线里填上适当的面积单位。
（1）小明家的面积约134 ；
（2）光明小学的占地面积约是5 ；
（3）香港特别行政区的面积约1100 。
5．（2分）□59÷45，如果商是两位数，那么□里最小填 ；如果商是一位数，那么□里最大填 。
6．（3分）在横线里填“＞”“＜”或“＝”。
10升 1000毫升
228÷38 868÷62
1350÷90 135÷9
7．（2分）书架分为上、下两层，共有图书173本，下层图书比上层多13本，这个书架上层有 本图书，下层有 本图书。
8．（3分）219÷27可以利用四舍五入的方法，把27看作 来试商，试出来的商可能会偏 ，可以把商调 。
9．（2分）10÷22＝ ，商的小数点后面第100位上的数字是 。
10．（1分）从明明家到附近一条笔直的公路画了三条线段，量得这三条线段的长度分别是135米、120米和178米，其中有一条线段与该公路垂直，明明家到该公路的距离是 米。
11．（2分）复式统计表有利于对收集的多个同类数据进行观察、 和 。
12．（2分）今年的暑假从7月7日正式开始，9月1日正式开学。假期一共是（ ）天；已知7月7日是周一，那9月1日是周（ ）。
13．（2分）一个长方形菜园长是10米，宽是6米。如果把这个菜园用篱笆围起来，所围的面积是 平方米，需要篱笆 米。
14．（2分）“4576÷□4”，要使它的商是三位数，□里最大能填 ；要使它的商是两位数，□里最小能填 。
15．（2分）如图，用棱长为1厘米的小正方体去量一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，底下一层能铺 个小正方体，如果将宽增加1厘米变成更大一点的长方体，一共要增加 个小正方体。
三．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
16．（2分）如图，右边的书大约有多少本？（ ）
A．30本B．40本C．50本
17．（2分）玩转盘游戏，转到红色区域笑笑得1分，转到黄色区域淘气得1分，转到绿色区域对方得1分，选（ ）转盘最公平。
A．B．
C．D．
18．（2分）观察如图的物体，从右面看到的形状是的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
19．（2分）妙想买了一箱不超过10千克的苹果，但是发票不小心沾上了污渍，部分信息如表，这箱苹果的总价可能是（ ）元。
A．85.26B．104.86C．97.6D．94.08
20．（2分）下面说法正确的有（ ）个。
①六（1）班同学的平均身高是153厘米，六（2）班同学的平均身高是154厘米，六（1）班小军的身高不可能比六（2）班的小强高。
②3时30分，钟面上时针和分针所夹的角是直角。
③研究“怎样滚得远”时，选择一个角度多做几次，再求平均数，得到的结论更可靠。
④把一张正方形的纸片对折两次，折痕一定互相垂直。
A．1B．2C．3D．4
21．（2分）□68÷67的商是两位数，□里可以填的数有（ ）个。
A．3B．4C．5
四．操作题（共2小题，满分8分）
22．（5分）如图是新兴街区的平面示意图。
（1）用量角器量出∠1＝ °。
（2）“兴农路”经过少年宫，并且与和平路平行。在图中用一条直线表示出“兴农路”。
（3）胜利小区需要铺设天然气管道，主管道在和平路上，怎样铺设最节省管道材料？把它画出来，并标注必要的符号。
23．（3分）如图中 是大象看到的。 （填序号）
五．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）
24．（5分）乡村振兴、道路先行，一个修路队5.5小时能修路214.5米，照这样计算，这个修路队在光明村7小时可以修路多少米？
25．（5分）看图列式计算。
26．（5分）这瓶药够爷爷吃多少天？
27．（5分）电影院放映厅有一等座45个，售价为每人50元，二等座80个，售价为每人35元。今天场票房收入为3550元，这场观众最多有多少人？
28．（5分）小军调查自己班的同学喜欢吃的水果情况如下。
（1）把调查结果填在下表中。
（2）喜欢吃 的人数最多，喜欢吃 的人数最少
六．应用题（共2小题，满分10分，每小题5分）
29．（5分）贝贝、西西和东东三人代表班上参加学校的跳绳比赛，平均每人跳195个，其中贝贝跳了203个，西西跳了196个，东东跳了多少个？
30．（5分）中国古代六种基本技能俗称“六艺”，分别是：礼、乐、射、御、书、数。将写有这六个字的正方体展开图（如图）还原后， 字和“礼”字相对。
2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．计算题（共3小题，满分29分）
1．（10分）计算。
【考点】两位数除两、三位数；一位数乘两位数；一位数除两位数．
【专题】运算能力．
【答案】64，9，64，14，1800，30，6，6，100。
【分析】根据整数乘除法口算的方法直接得出算式的结果。
【解答】解：
【点评】本题考查了整数乘除法口算的方法，计算时要细心，注意结果末尾0的个数。
2．（7分）列竖式计算。（带*的要验算）
260÷34＝
504÷35＝
*730÷80＝
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】7……22；14……14；9……10。
【分析】根据整数除法的计算方法进行计算，注意根据除法各部分名称之间的关系进行验算。
【解答】解：260÷34＝7……22
504÷35＝14……14
730÷80＝9……10
【点评】考查了整数除法的笔算，根据其计算方法进行计算，注意验算。
3．（12分）脱式计算。
60.45﹣37.6+29.75
37×[（275÷（32+23）]
【考点】带括号的表外除加、除减．
【专题】运算能力．
【答案】52.6；185。
【分析】（1）按照加法交换律计算；
（2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法。
【解答】解：（1）60.45﹣37.6+29.75
＝60.45+29.75﹣37.6
＝90.2﹣37.6
＝52.6
（2）37×[（275÷（32+23）]
＝37×[275÷55]
＝37×5
＝185
【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
二．填空题（共12小题，满分26分）
4．（3分）在横线里填上适当的面积单位。
（1）小明家的面积约134 平方米 ；
（2）光明小学的占地面积约是5 公顷 ；
（3）香港特别行政区的面积约1100 平方千米 。
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【专题】综合填空题；长度、面积、体积单位；应用意识．
【答案】平方米，公顷，平方千米。
【分析】根据生活经验，对面积单位和数据大小的认识，可知计量小明家的住房面积用“平方米”作单位；计量光明小学的占地面积用“公顷”作单位；计量香港特别行政区的面积用“平方千米”作单位。
【解答】解：（1）小明家的面积约134平方米；
（2）光明小学的占地面积约是5公顷；
（3）香港特别行政区的面积约1100平方千米。
故答案为：平方米，公顷，平方千米。
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。
5．（2分）□59÷45，如果商是两位数，那么□里最小填 4 ；如果商是一位数，那么□里最大填 3 。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】4；3。
【分析】□59÷45，如果商是两位数，被除数前两位数大于或等于除数；如果商是一位数，被除数前两位数小于除数；然后再进一步解答。
【解答】解：□59÷45，如果商是两位数，□5≥45，那么□里可以填4、5、6、7、8、9，最小，4；
如果商是一位数，□5＜45，那么□里可以填1、2、3，最大填3。
故答案为：4；3。
【点评】三位数除以两位数，被除数前两位数大于或等于除数，所得的商是两位数；否则商是一位数。
6．（3分）在横线里填“＞”“＜”或“＝”。
10升 ＞ 1000毫升
228÷38 ＜ 868÷62
1350÷90 ＝ 135÷9
【考点】体积、容积进率及单位换算；一位数除多位数；两位数除两、三位数；两位数除多位数．
【专题】长度、面积、体积单位；数据分析观念．
【答案】＞，＜，＝。
【分析】单位不同先统一单位，算式先计算，再比较数据大小。
【解答】解：10升＞1000毫升
228÷38＜868÷62
1350÷90＝135÷9
故答案为：＞，＜，＝。
【点评】本题考查了学生的计算能力、单位换算的方法及整数大小比较的方法。
7．（2分）书架分为上、下两层，共有图书173本，下层图书比上层多13本，这个书架上层有 80 本图书，下层有 93 本图书。
【考点】和差问题．
【专题】运算能力．
【答案】80，93。
【分析】用上、下两层共有图书的本数减13本，再除以2，即可得上层的本数，再求下层本数即可。
【解答】解：（173﹣13）÷2
＝160÷2
＝80（本）
80+13＝93（本）
答：这个书架上层有80本图书，下层有93本图书。
故答案为：80，93。
【点评】本题主要考查了和差问题，用到较小数＝（和﹣差）÷2。
8．（3分）219÷27可以利用四舍五入的方法，把27看作 30 来试商，试出来的商可能会偏 小 ，可以把商调 大 。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】计算题；应用意识．
【答案】30，小，大。
【分析】在进行三位数除以两位数的计算时，可以用“四舍五入法”进行试商，用“四舍法”试商时，得到的商容易偏大，这时可以把商调小，每次调小1；用“五入法”试商时，得到的商容易偏小，这时要把商调大，每次调大1，据此解答即可。
【解答】解：219÷27可以利用四舍五入的方法，把27看作30来试商，试出来的商可能会偏小，可以把商调大。
故答案为：30，小，大。
【点评】本题考查了三位数除以两位数的计算法则，熟练掌握三位数除以两位数的计算方法是解题的关键。
9．（2分）10÷22＝ 0.4⋅5⋅ ，商的小数点后面第100位上的数字是 5 。
【考点】简单周期现象中的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】10÷22=0.4⋅5⋅，每2个数字一循环，小数点后面单数个是4，双数个是5。据此解答。
【解答】解：10÷22=0.4⋅5⋅，商的小数点后面第100位上的数字是5。
故答案为：0.4⋅5⋅，5。
【点评】先找到规律，再根据规律求解。
10．（1分）从明明家到附近一条笔直的公路画了三条线段，量得这三条线段的长度分别是135米、120米和178米，其中有一条线段与该公路垂直，明明家到该公路的距离是 120 米。
【考点】两点间线段最短与两点间的距离．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】120。
【分析】把明明的家看作一个点，从家到附近一条笔直的公路看作一条直线，点到直线间的距离，垂线段最短。由题意可知，这三条线段的长度分别是135米、120米和178米，120米最短，也就是明明家到该公路的距离。
【解答】解：由分析可知，明明家到该公路的距离是120米。
故答案为：120。
【点评】本题考查的是垂线段的应用。
11．（2分）复式统计表有利于对收集的多个同类数据进行观察、 分析 和 比较 。
【考点】简单的统计表．
【专题】数据分析观念．
【答案】分析、比较。
【分析】根据复式统计表的特点可知，复式统计表有利于对收集的多个同类数据进行观察、分析和比较。据此解答即可。
【解答】解：复式统计表有利于对收集的多个同类数据进行观察、分析和比较。
故答案为：分析、比较。
【点评】本题考查了复式统计表的特点，结合题意分析解答即可。
12．（2分）今年的暑假从7月7日正式开始，9月1日正式开学。假期一共是（ 56 ）天；已知7月7日是周一，那9月1日是周（ 一 ）。
【考点】日期和时间的推算．
【专题】应用意识．
【答案】56；一。
【分析】1，3，5，7，8，10，12月是大月，有31天。4，6，9，11月是小月，有30天。由题意得，今年的暑假从7月7日正式开始，9月1日正式开学。7月和8月都是大月，有31天。可以先用31减去7再加上1算出7月的假期有多少天，然后再加上8月的31天算出假期一共是多少天；
由第一个空已知假期的总天数，用总共的天数除以7，如果没有余数，则9月1日从周一开始循环，9月1日就是周一；如果有余数，余数是2，就是从周一开始往后数2天，9月1日就是星期二；以此类推。
【解答】解：7月和8月有31天。
31﹣7+1＝25（天）
25+31＝56（天）
56÷7＝8（周），7月7日是周一，所以9月1日是周一。
今年的暑假从7月7日正式开始，9月1日正式开学。假期一共是56天；已知7月7日是周一，那9月1日是周一。
故答案为：56；一。
【点评】本题考查时间的计算。注意计算的准确性。
13．（2分）一个长方形菜园长是10米，宽是6米。如果把这个菜园用篱笆围起来，所围的面积是 60 平方米，需要篱笆 32 米。
【考点】长方形的周长；长方形、正方形的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观；运算能力．
【答案】60；32。
【分析】（1）根据长方形的面积公式S＝ab，代入数据列式解答即可；
（2）根据长方形的周长公式C＝（a+b）×2，代入数据列式解答即可。
【解答】解：（1）10×6＝60（平方米）
（2）（10+6）×2
＝16×2
＝32（米）
答：所围的面积是60平方米，需要篱笆32米。
故答案为：60；32。
【点评】本题主要是利用长方形的面积公式与周长公式解决生活中的实际问题。
14．（2分）“4576÷□4”，要使它的商是三位数，□里最大能填 4 ；要使它的商是两位数，□里最小能填 5 。
【考点】两位数除多位数．
【专题】运算能力．
【答案】4；5。
【分析】四位数除以两位数，被除数的前两位大于或者等于除数，商就是三位数；被除数的前两位小于除数，商就是两位数。据此解答即可。
【解答】解：4576÷□4”，要使它的商是三位数，□里最大能填4；要使它的商是两位数，□里最小能填5。
故答案为：4；5。
【点评】本题考查两位数除多位数的计算。注意计算的准确性。
15．（2分）如图，用棱长为1厘米的小正方体去量一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，底下一层能铺 20 个小正方体，如果将宽增加1厘米变成更大一点的长方体，一共要增加 15 个小正方体。
【考点】简单的立方体切拼问题．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】20；15。
【分析】底下一层需要小正方体的个数＝长上面小正方体的数量×宽上面小正方体的数量，增加部分小正方体的数量＝增加部分长方体的体积÷每个小正方体的体积，据此解答。
【解答】解：（5÷1）×（4÷1）
＝5×4
＝20（个）
即底下一层能铺20个小正方体。
（5×1×3）÷（1×1×1）
＝15÷1
＝15（个）
即一共要增加15个小正方体。
故答案为：20；15。
【点评】熟记长方体、正方体的体积计算公式是解答题目的关键。
三．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
16．（2分）如图，右边的书大约有多少本？（ ）
A．30本B．40本C．50本
【考点】数的估算．
【专题】简单应用题和一般复合应用题；应用意识．
【答案】B
【分析】左边一摞有20本，右边的高度有2个左边的高度，即右边的书有2个20本，根据乘法的意义，用20乘2解答。
【解答】解：20×2＝40（本）
答：如图所示的书大约有40本。
故选：B。
【点评】本题考查了看图能力，关键是能看出右边的书有2个20本。
17．（2分）玩转盘游戏，转到红色区域笑笑得1分，转到黄色区域淘气得1分，转到绿色区域对方得1分，选（ ）转盘最公平。
A．B．
C．D．
【考点】游戏规则的公平性．
【专题】可能性；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据题意，要想使游戏规则公平，指针停在红色区域和黄色区域的可能性应该一样，看各转盘的红色区域和黄色区域占整体的多少，再进行比较即可得出答案
【解答】解：第一个转盘，红色占整个圆的14，黄色和绿色占的一样多，所以停在红色和黄色的可能性不相等，游戏规则不公平；
第二个转盘，红色占整个圆的12，黄色和绿色各占14，所以停在红色和黄色的可能性不相等，游戏规则不公平；
第三个转盘，绿色占整个圆的12，黄色和红色各占14，所以停在红色和黄色的可能性相等，游戏规则公平；
第四个转盘，黄色占整个圆的12，绿色和红色各占14，所以停在红色和黄色的可能性不相等，游戏规则不公平。
故选：C。
【点评】此题考查了游戏的公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的可能性=mn，解决本题的关键是得到相应的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平。注意转盘应均等分。
18．（2分）观察如图的物体，从右面看到的形状是的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】C
【分析】根据观察，可知①③④的右面图形为。
【解答】解：观察如图的物体，从右面看到的形状是的有①③④。
故选：C。
【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何体，关键是培养学生的观察能力。
19．（2分）妙想买了一箱不超过10千克的苹果，但是发票不小心沾上了污渍，部分信息如表，这箱苹果的总价可能是（ ）元。
A．85.26B．104.86C．97.6D．94.08
【考点】整数、小数复合应用题．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】苹果的质量最多为9.7千克，9.8乘■.7的积末位上的数是6，据此作答。
【解答】解：A．9.8×9.7＝95.06（元），85.26＜95.06，
9.8×8.7＝85.26（元），符合题意。
B．9.8×9.7＝95.06（元），104.86＞95.06，不符合题意。
C．9.8×9.7＝95.06（元），97.6＞95.06，不符合题意。
D．94.08的最末位上的数不是6，不符合题意。
故选：A。
【点评】本题考查小数乘小数的计算及应用，解答量一定要熟练掌握小数乘小数的计算法则。
20．（2分）下面说法正确的有（ ）个。
①六（1）班同学的平均身高是153厘米，六（2）班同学的平均身高是154厘米，六（1）班小军的身高不可能比六（2）班的小强高。
②3时30分，钟面上时针和分针所夹的角是直角。
③研究“怎样滚得远”时，选择一个角度多做几次，再求平均数，得到的结论更可靠。
④把一张正方形的纸片对折两次，折痕一定互相垂直。
A．1B．2C．3D．4
【考点】平均数的含义及求平均数的方法；角的分类（锐角直角钝角）；简单图形的折叠问题．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】对这四句话逐一分析即可解答。
【解答】解：①六（1）班同学的平均身高是153厘米，六（2）班同学的平均身高是154厘米，六（1）班小军的身高可能比六（2）班的小强高，原题说法错误；
②3时30分，钟面上时针和分针所夹的角是锐角，原题说法错误；
③研究“怎样滚得远”时，选择一个角度多做几次，再求平均数，得到的结论更可靠，原题说法正确；
④把一张正方形的纸片对折两次，折痕互相垂直或平行，原题说法错误；
所以说法正确的有1个。
故选：A。
【点评】本题考查的知识点较多，平时注意基础知识的积累。
21．（2分）□68÷67的商是两位数，□里可以填的数有（ ）个。
A．3B．4C．5
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】根据三位数除以两位数商的位数的特点可知，被除数前两位大于等于除数时商是两位数，被除数前两位小于除数时商是一位数。
【解答】解：□68÷67的商是两位数，□6要大于等于67，所以□里可以填的数有7、8、9，一共3个。
故选：A。
【点评】首先要分析被除数前两位与除数的大小关系，熟练除数是两位数的运算法则是解题关键。
四．操作题（共2小题，满分8分）
22．（5分）如图是新兴街区的平面示意图。
（1）用量角器量出∠1＝ 60 °。
（2）“兴农路”经过少年宫，并且与和平路平行。在图中用一条直线表示出“兴农路”。
（3）胜利小区需要铺设天然气管道，主管道在和平路上，怎样铺设最节省管道材料？把它画出来，并标注必要的符号。
【考点】角的度量；过直线外一点作已知直线的平行线；过直线上或直线外一点作直线的垂线．
【专题】几何直观．
【答案】（1）60；（2）（3）。
【分析】（1）根据角的度量方法，角的度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈。据此用量角器量出∠1的度数。
（2）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法，“兴农路”经过少年宫，并且与和平路平行。在图中用一条直线表示出“兴农路”即可。
（3）过直线外一点和已知直线的所有连线中，垂线段最短，即连接管道最节省材料，用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和泸州小区点重合，过胜利小区点沿直角边向已知直线画直线即可。
【解答】解：（1）用量角器量出∠1＝60°。
（2）“兴农路”经过少年宫，并且与和平路平行。在图中用一条直线表示出“兴农路”。如图：
（3）胜利小区需要铺设天然气管道，主管道在和平路上，过胜利小区点沿直角边向已知和平路所在的直线画垂线铺设最节省管道材料，把它画出来，并标注必要的符号。如图：
故答案为：60。
【点评】本题考查了角度的测量，垂直于同一条直线的两直线平行的应用以及过直线外一点作已知直线的垂线段的应用。
23．（3分）如图中 ② 是大象看到的。 （填序号）
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】②。
【分析】大象看到的暖水瓶在左边，正方体挡住了杯子的一部分。
【解答】解：图中②是大象看到的。
故答案为：②。
【点评】本题考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力和空间想象能力。
五．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）
24．（5分）乡村振兴、道路先行，一个修路队5.5小时能修路214.5米，照这样计算，这个修路队在光明村7小时可以修路多少米？
【考点】简单的归一应用题．
【专题】归一、归总应用题；应用意识．
【答案】273米。
【分析】根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，求出工作效率，再根据“工作量＝工作效率×工作时间”，即可解答。
【解答】解：214.5÷5.5＝39（米）
39×7＝273 （米）
答：7小时可修路273米。
【点评】本题考查的是归一应用题，求出单一量是解答关键。
25．（5分）看图列式计算。
【考点】表外乘除混合．
【专题】简单应用题和一般复合应用题；应用意识．
【答案】56件。
【分析】由图可知，把98件物品平均分成7份，求其中的4份是多少件；据此用一共的件数除以平均分的份数，求出一份的件数，再乘取的份数，即可求出4份的件数。
【解答】解：98÷7×4
＝14×4
＝56（件）
答：4份是56件。
【点评】本题考查整数乘除法的应用，明确数量间的关系是解题的关键。
26．（5分）这瓶药够爷爷吃多少天？
【考点】整数四则混合运算应用题；整数、小数复合应用题．
【专题】应用意识．
【答案】32天。
【分析】先用2乘2，求出每天吃多少片；再用128除以每天吃的片数，即可求出这瓶药能够吃多少天。
【解答】解：128÷（2×2）
＝128÷4
＝32（天）
答：这瓶药够爷爷吃32天。
【点评】本题考查了利用整数乘除混合运算解决问题，需准确分析题意。
27．（5分）电影院放映厅有一等座45个，售价为每人50元，二等座80个，售价为每人35元。今天场票房收入为3550元，这场观众最多有多少人？
【考点】整数四则混合运算应用题；整数、小数复合应用题．
【专题】应用意识．
【答案】95人。
【分析】要求这场观众最多有多少人，首先让二等座票全部售完；先用80乘35，求出全部售完二等座的收入；再用3550元减去全部售完二等座的收入，求出一等座的收入；然后用一等座的收入除以50，求出售出的一等座票数；最后用一等座票数加上80，即可求出这场观众最多有多少人。
【解答】解：（3550﹣80×35）÷50+80
＝750÷50+80
＝15+80
＝95（人）
答：这场观众最多有95人。
【点评】解答本题的关键是明确要使观众人数最多，二等座先坐满。
28．（5分）小军调查自己班的同学喜欢吃的水果情况如下。
（1）把调查结果填在下表中。
（2）喜欢吃 梨 的人数最多，喜欢吃 菠萝 的人数最少
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】统计数据的计算与应用；数据分析观念．
【答案】（1）
（2）梨，菠萝。
【分析】（1）依据一个“正”字代表“5”，算出喜欢吃各种水果的人数；
（2）比较喜欢吃各种水果的人数即可解答。
【解答】解：（1）
（2）喜欢吃梨的人数最多，喜欢吃菠萝的人数最少
故答案为：梨，菠萝。
【点评】正确从统计表中读取数据并应用是解题关键。
六．应用题（共2小题，满分10分，每小题5分）
29．（5分）贝贝、西西和东东三人代表班上参加学校的跳绳比赛，平均每人跳195个，其中贝贝跳了203个，西西跳了196个，东东跳了多少个？
【考点】平均数问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】186个。
【分析】用平均数乘人数再依次减去贝贝、西西跳的个数即可。
【解答】解：195×3﹣203﹣196
＝585﹣203﹣196
＝382﹣196
＝186（个）
答：东东跳了186个。
【点评】本题主要考查学生对平均数的计算方法掌握情况，平均数＝总数量÷总份数。
30．（5分）中国古代六种基本技能俗称“六艺”，分别是：礼、乐、射、御、书、数。将写有这六个字的正方体展开图（如图）还原后， 射 字和“礼”字相对。
【考点】正方体的展开图．
【专题】几何直观．
【答案】射。
【分析】根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“3﹣3”型，折成正方体后，“射”字和“礼”字相对。据此结合题意分析解答即可。
【解答】解：属于正方体展开图的“3﹣3”型，折成正方体后，“书”字和“御”字相对，“数”字和“乐”字相对，“射”字和“礼”字相对。
故答案为：射。
【点评】本题考查了正方体展开图知识，结合题意分析解答即可。
考点卡片
1．一位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘一位数（不进位）：
计算两位数乘一位数我们可以把两位数分成几十和几，先分别乘以一位数，再把两次乘得的数合起来就是所求的积。
2、两位数乘一位数（进一位）：
①归纳：用一位数乘被乘数个位上的数，积满几十，就向十位进几；用一位数乘被乘数十位上的数，积满几百，就向百位进几。
②注意：为了防止忘记，进位数可写小一些记在横线上。
3、两位数乘一位数（连续进位）：
①用一位数乘两位数上个位上的数，积满几十向十位进几；
②用一位数乘两位数上十位上的数，积满几百向百位进几；
③不要漏加进位数字。
【方法总结】
1、两位数乘一位数的口算方法：把两位数分成整十数和一位数，用整十数和一位数分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加。
2、整百整十数乘一位数的口算方法：
（1）先用整百数乘一位数，再用整十数乘一位数，最后把两次乘得的积相加。
（2）先用整百整十数的前两位与一位数相乘，再在乘积的末尾添上一个0。
3、一个数与10相乘的口算方法：
一位数与10相乘，就是把这个数的末尾添上一个0。
4、两位数乘整十数的口算方法：
先用这个两位数与整十数十位上的数相乘，然后在积的末尾添上一个0。
小技巧：口算乘法：整十、整百的数相乘，只需把0前面的数字相乘，再看两个因数一共有几个0，就在结果后面添上几个0。
如：30×500＝15000 可以这样想，3×5＝15，两个因数一共有3个0，在所得结果15后面添上3个0就得到30×500＝15000。
【常考题型】
计算38×4时，用第一个因数十位上的3乘第二个因数4，得（ ）。
答案：120
口算题。
26×6＝19×7＝53×2＝
答案：156；133；106
2．一位数除两位数
【知识点归纳】
一位数除两位数（被除数各个数位商的数都能被整除）的笔算方法：先用被除数十位上的数除以一位数，商写在十位上；再用被除数个位上的数除以一位数，商写在个位上。
【方法总结】
笔算除法时，从高位除起，除到被除数的哪一位就把商写在那一位的上面。
2、笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
（1）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
（2）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。
（3）除法的验算方法：
没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；
有余数的除法的验算方法：商×除数+余数＝被除数。
【常考题型】
1、聪聪今年5岁，爷爷今年60岁，爷爷的年龄是聪聪的几倍？
答案：60÷5＝12
2、一根电线长81米，每3米剪一段，能剪成多少段？
答案：81÷3＝27（段）
3、饮料4元一瓶，妈妈有48元，可以买多少瓶饮料？
答案：48÷4＝12（瓶）
3．一位数除多位数
【知识点归纳】
一位数除多位数
（1）相同数位对齐，从最高位除起，除到哪一位就把商写在那一位的上面。如果被除数最高位比除数小就要看被除数的前两位，除到哪一位就把商写在那一位的上面。每次除得的余数必须比除数小。
（2）0除以任何不是0的数都得零。
（3）除到哪一位不够除就添0占位。
（4）看清运算顺序，算式里只有乘除法，按从左到右的顺序进行计算，要是有括号要先算括号里的。
【方法总结】
笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
（1）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
（2）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。
（3）除法的验算方法：
没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；
有余数的除法的验算方法：商×除数+余数＝被除数。
【常考题型】
1、用竖式计算。
答案：284；94；37；87……1
2、要使□36÷5的商是三位数，□内可以填的数是（ ）；要使□36÷5的商是两位数，□内可以填的数是（ ）。
答案：5、6、7、8、9；1、2、3、4。
4．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
5．两位数除多位数
【知识点归纳】
1、除数是两位数的除法的笔算法则：
（1）从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；
（2）如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；
（3）余下的数必须比除数小。
2、除数是两位数的除法，一般把除数用“四舍五入法”看作和它接近的整十数来试商；试商大了要调小，试商小了要调大。（四舍商大舍去1，五入商小加上1）
3、同头无除商八九（例：239÷26），除数折半商四五（例：330÷68）。
4、在有余数的除法算式中，被除数＝商х除数+余数
5、三位数除以两位数，被除数的前两位数比除数小，商是一位数；被除数的前两位数比除数大，商是两位数。
【方法总结】
1、根据被除数和除数之间的关系——想乘法算除法
如80÷20＝（ ）就可以想（ ）个20是80，2×30＝60。所以80÷20＝40
2、把“几十”看作几个“十”——转化成表内除法计算
80是8个十，20是2个十
80÷20＝8个十÷2个十
因为8÷2＝4，所以80÷20＝4
3、估算——算式中不是整十的数用“四舍五入”法估算成整十数
如131÷31≈（ ）将131看成120，将31看成30，120÷30＝4。131÷31≈4
估算的结果不是准确值，要用“≈”连接。
【常考题型】
1、下面的算式中，（ ）的商不是一位数。
A.721÷72 B.439÷44 C.325÷33 D.272÷30
答案：A
2、被除数除以10，除数（ ），商才能不变。
A.乘10 B.除以10 C.不变 D.乘100
答案：B
3、口36÷73，如果商是两位数，口里最小填（ ）。
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：B
6．表外乘除混合
【知识点归纳】
1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。
2、加减乘除混合运算规则：
（1）同级运算时，从左到右依次计算。
（2）两级运算时，先乘除后加减。
（3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
解决两步计算的实际问题
1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。
2、可以画图帮助分析。
3、可以分布计算，也可以列综合算式。
【常考题型】
口算题。
答案：45；27；21；48
李大爷有高血压需长期吃药，医生嘱咐他每天吃6片。李大爷有事要外出8天，药瓶已有24片药，应再放多少片药就够了？
答案：6×8﹣24＝24（片）
体育老师买了4桶羽毛球共花了240元，每桶12个，求每个羽毛球平均多少钱？
答案：240÷4÷12＝5（元）
7．带括号的表外除加、除减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、四则混算的计算法则：先算乘除法，后算加减法，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。
2、在只有加减，或只有乘除的同级混算中，如果没有括号，就按照从左到右的顺序依次运算。
3、应用题的综合列式要注意：四则混算中如果想先算加减法，就应把加减法用小括号括起来。
【常考题型】
黑天鹅有45只，白天鹅比黑天鹅少36只。黑天鹅的只数是白天鹅的几倍？
答案：45÷（45﹣36）＝5
旅游团有70人，一辆大巴车可以最多坐46人，一辆客车最多可以坐6人，现在坐满了一辆大巴车，还需要几辆客车？
答案：（70﹣46）÷6＝4（辆）
8．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
9．日期和时间的推算
【命题方向】
常考题型：
例1：小明妈妈晚上10时睡觉，第二天早晨6时起床．小明妈妈睡了（ ）小时．
A、4 B、8 C、9 D、10
分析：把这一段时间分成2段：（1）晚10时到晚上0时，求出一共过了几小时；（2）0时到6时，求出一共过了几小时；把这两段时间加起来就是她睡眠的时间．
解：12时﹣10时＝2小时，
2小时+6小时＝8小时，
答：小明妈妈睡了8小时．
故选：B．
点评：这类时间推算的题目先把这一时间进行合理的分段，再算每一段的时间，进而求出时间的总和．
例2：今天是星期四，那么再过40天是（ ）
A、星期一 B、星期二 C、星期三
分析：用40除以7，求出40天里面有几周，还余几天，再根据余数推算．
解：40÷7＝5（周）…5（天）；
余数是5，从星期四再过5天就是星期二．
故选：B．
点评：解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．
10．根据情景选择合适的计量单位
【知识点归纳】
货币单位：元、角、分．1元＝10角，1角＝10分．
时间单位：年、月、日、时、分、秒．1日＝24小时，1小时＝60分，1分＝60秒，1年＝12月．
长度单位：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米．1千米＝1000米，1米＝10分米＝100厘米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米．
面积单位：平方米、平方分米、平方厘米．1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米．
地积单位：平方千米、公顷、公亩．1平方千米＝100公顷，1公亩＝100平方米，1公顷＝100公亩＝10000平方米．
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米．1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米．
容积单位：升、毫升．1升＝1000毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米．
质量单位：吨、千克（公斤）、克．1吨＝1000千克，1千克＝1000克．
一般的，货币、长度相邻两个单位进率是10，体积、容积、质量相邻两个单位进率是1000，面积、地积相邻两个单位是100，时间中时分秒相邻两个单位进率是60．
根据情景选择合适的计量单位，根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可做出选择．
【命题方向】
常考题型：
例：一台电脑显示器的占地面积是9C ，占据的空间是27B ．
A．平方厘米 B．立方分米 C．平方分米 D．立方厘米．
分析：根据生活经验、对面积单位、体积单位和数据的大小，可知计量一台电脑显示器的占地面积应用“平方分米”做单位；计量占据的空间应用“立方分米”做单位．
解：一台电脑显示器的占地面积是9平方分米，
占据的空间是27立方分米．
故答案为：C、B．
点评：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
11．简单周期现象中的规律
【命题方向】
常考题型：
例：体育课上同学们站成一排，老师让他们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个报的数是2，这一排同学有（ ）人．
A、26 B、27 C、28
分析：把这5个数看成一组，最后一个报的数是2，这一排的人数就是除以5，余数是2的数．
解：26÷5＝5…1；
27÷5＝5…2；
28÷5＝5…3；
这一排可能的人数是27．
故选：B．
点评：先找到规律，再根据规律求解．
12．整数四则混合运算应用题
【知识点归纳】
1、应用题是用语言或文字叙述有关事实，反映某种数量关系，并求解未知数量的题目。每个应用题都包括已知条件和所求问题。
以往，中国的应用题通常要求叙述满足三个要求：无矛盾性，即条件之间、条件与问题之间不能相互矛盾；完备性，即条件必须充分，足以保证从条件求出未知量的数值；独立性，即已知的几个条件不能相互推出。
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。应用题的解题技巧就是根据题目中的等量关系列出对应的式子从而求出未知的量
2、运算顺序
（1）在没有括号的算式里，只有加减法或者只有乘除法，要按照从左到右的顺序依次计算。
（2）在没有括号的算式里，既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。
（3）在含有小括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外的。
（4）在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
【命题方向】
常考题型：
1.新学期学校需购进一批桌椅，椅子28元，桌子的价格比椅子的4倍多6元，买45套这样的桌椅一共需要多少钱？
解：（28×4+6+28）×45
＝146×45
＝6570（元）
答：买45套这样的桌椅一共需要6570元。
2.超市运来39箱苹果，已经卖出25箱，每箱40元。
（1）已经卖了多少元？
（2）剩下的按每箱35元售出，还可卖多少元？
解：（1）40×25＝1000（元）
答：已经卖了1000元。
（2）（39﹣25）×35
＝14×35
＝490（元）
答：剩下的按每箱35元售出，还可卖490元。
13．整数、小数复合应用题
【知识点归纳】
1．有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题．
2．含有三个已知条件的两步计算的应用题．
3．运算按照整数和小数的运算法则进行运算即可．
【命题方向】
常考题型：
例1：三年级3个班平均每班有学生40人．其中一班有38人，二班有40人，三班有（ ）人．
A、38 B、40 C、42
分析：先根据“3个班平均每班有学生40人”求出三年级的总人数是多少，然后用总人数减去一班和二班的人数即是三班的人数是多少．
解：40×3﹣（38+40）
＝120﹣78，
＝42（人）；
答：三班有42人．
故选：C．
点评：先根据3个班的平均数求出总人数是完成本题的关键．
例2：买10千克大米用25.5元，买4.5千克大米用（ ）元．
A、11.475 B、11.48 C、11.4 D、11.47
分析：知道买10千克大米用25.5元，可求买1千克大米用多少钱，进而可求买4.5千克大米用多少钱，计算后选出即可．
解：25.5÷10×4.5
＝2.55×4.5
＝11.475
≈11.48（元）．
故选：B．
点评：此题考查整数、小数复合应用题，先求出每千克大米的钱数，再求4.5千克大米的钱数．
14．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
15．两点间线段最短与两点间的距离
【知识点归纳】
1．两点之间，线段最短：在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小．
2．应用：当两点在直线两侧时，直接连接两点即可，而不必找对称点；当两点在直线同侧时，需要作出其中一个点关于直线的对称点．
【命题方向】
常考题型：
例1：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 最短 ，它的长度叫做这点到直线的 距离 ．
分析：根据垂直的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短；进行解答即可．
解：由垂直的性质得：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离．
故答案为：最短，距离．
点评：此题考查了垂直的性质，是基础题型．
例2：如图中过A点最短的一条线段是（ ）
A、AB B、AC C、AD D、AE
分析：根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可．
解：图中过A点到直线BE的所有线段中，最短的一条是AD；
故选：C．
点评：解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短．
16．角的分类（锐角直角钝角）
【知识点归纳】
根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°
（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。
【命题方向】
常考题型：
1.钟面上9时整，时针和分针成______角；钟面上6时整，时针和分针成_______角．
解：由分析可知，钟面上9时整时针和分针所成的角是：3×30°＝90°，是一个直角；
6时整，时针指着6，分针指着12，两针成一直线，时针和分针成平角；
故答案为：直，平。
2.2022年北京冬奥会将于2022年2月4日晚上8时开幕，此时时针和分针所形成的角是______角。
答案：钝
3、1平角＝______直角 1周角＝______直角．
答案：2；4
17．过直线外一点作已知直线的平行线
【知识点归纳】
1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc．
2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（ ）
A、1条 B、2条 C、无数条
分析：根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条．
解：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行线的性质．
例2：过A点画出已知直线的平行线．
分析：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可．
解：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线．
点评：本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力．
18．过直线上或直线外一点作直线的垂线
【知识点归纳】
1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点．
2、分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点．
3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1 条．
分析：直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．
解：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条．
故答案为：1．
点评：本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．
例2：过A点画已知直线的垂线．
分析：用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．
解：根据分析画图如下：
点评：本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力．
19．正方体的展开图
【知识点归纳】
正方体展开图形如下情况：
【命题方向】
常考题型：
例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（ ）相对．
A、4 B、5 C、6 D、3
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的．
故选：B．
点评：此题考查了正方体的展开图．
例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（ ）
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图．
只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况；
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
20．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
21．简单的立方体切拼问题
【知识点归纳】
1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少．
2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加．
3．两种方式的体积都没有发生变化．
【命题方向】
常考题型：
例1：把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了（ ）平方分米．
A、4 B、8 C、16
分析：两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积正好减少了2个2×2的小正方体的面，由此计算出减少的表面积即可选择．
解：2×2×2＝8（平方分米），
答：这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了8平方分米．
故选：B．
点评：两个正方体拼成一个长方体，表面积减少2个正方体的面．
例2：有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体表面积和原来的表面积相比较，（ ）
A、大了 B、小了 C、不变 D、无法确定
分析：根据观察可得：挖去小正方体后，减少三个面，同时又增加三个面，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的．
解：由图可知，挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的，
因此，剩下图形的表面积与原来小正方体的表面积大小不变．
故选：C．
点评：本题主要考查正方体的截面．挖去的正方体中相对的面的面积都相等．
22．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
23．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
24．长方形的周长
【知识点归】
周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示．
计算方法：
①周长＝长+宽+长+宽
②周长＝长×2+宽×2
③周长＝（长+宽）×2．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一根长38厘米的铁丝围长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，可以有（ ）种围法．
A、7 B、8 C、9 D、10
分析：要求有几种围法，应依据长方形的周长公式，求出长和宽的和，再据条件“长和宽都是整数”进行推算即可．
解：长方形的周长＝（长+宽）×2
所以长与宽之和是：38÷2＝19（厘米）
由此可知：1+18＝19、2+17＝19、3+16＝19、4+15＝19、5+14＝19
6+13＝19、7+12＝19、8+11＝19、9+10＝19．
一共有9种方法．
故选：C．
点评：此题主要考查长方形的周长公式及整数的加减问题，依据题目条件，可以推算出结果．
例2：一个周长为20米的长方形，如果把它的长和宽都增加5米，那么它的周长增加（ ）
A、10米 B、20米 C、30米 D、40米
分析：抓住“长和宽都增加5米”，那么周长就增加了2个（5+5）的长度．由此计算得出即可选择正确答案．
解：（5+5）×2
＝10×2
＝20（米）；
答：那么它的周长增加20米．
故选：B．
点评：此题考查了长方形的周长公式的灵活应用．
【解题思路点拨】
（1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得．
（2）周长概念和公式要理解牢记．
25．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
26．简单图形的折叠问题
【知识点归纳】
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．
【命题方向】
常考题型：
例1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（ ）
A、13 B、18 C、19
分析：把原来这根绳子的长度看作单位“1”，把主根绳子对折一次，就是把这根绳子平均分成2段，每段是绳子是全长的12，对折两次，就是把绳子全长的12再对折，每段绳子是全长的12的12，即14，对折三次，就是把绳子全长的14再对折，每段绳子是全长的14的12，即18．
解：1×12×12×12=18；
故选：B
点评：本题是考查简单图形的折叠问题、分数的意义．
例2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1和∠2相等，那么∠1＝（ ）
A、90° B、45° C、60°
分析：如图，把这张长方形纸对折，∠1和∠2相等，也就是把以长方形边上的折痕为顶点的平角（180°）平均分成3份，每份是180°÷3＝60°，即∠1＝60°．
解：如图，
因为2∠2+∠1＝180°，∠1＝∠2
所以∠1＝180°÷3＝60°．
故选：C．
点评：本题是考查简单图形的折叠问题．关键明白2∠2+∠1＝180°．
27．简单的统计表
【知识点归纳】
1．统计表定义：
是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格．是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
统计调查所得来的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．
2．统计表构成及格式：
一般由表头、行标题、列标题和数字资料四个主要部分组成，必要时可以在统计表的下方加上表外附加．
（1）表头应放在表的上方，它所说明的是统计表的主要内容．
（2）行标题和列标题通常安排在统计表的第一列和第一行，它所表示的主要是所研究问题的类别名称和指标名称，通常也被称为“类”．
（3）表外附加通常放在统计表的下方，主要包括资料来源、指标的注释、必要的说明等内容．
统计表分类：
统计表形式繁简不一，通常是按项目的多少，分为单式统计表与复式统计表两种．只对某一个项目数据进行统计的表格，称为单式统计表，也称之为简单统计表．统计项目在2个或2个以上的统计表格，称之为复式统计表．
1．按作用不同：统计调查表、汇总表、分析表．
2．按分组情况不同：简单表、简单分组表、复合分组表．
（1）简单表：即不经任何分组，仅按时间或单位进行简单排列的表．
（2）简单分组表：即仅按一个标志进行分组的表．
（3）复合分组表：即按两个或两个以上标志进行层叠分组的表．
【命题方向】
常考题型：
例1：六一儿童节，学校进行歌咏比赛，7位评委给张华的打分如下：
去掉一个最高分，一个最低分，张华的平均分是 91 分．
分析：根据平均数的应用和求平均数的方法解答即可．
解：去掉一个最高分97分，最低分85分；
其他五位评委打的平均分是：
（92+90+95+88+90）÷5
＝455÷5
＝91（分）；
答：张华的平均分是91分；
故答案为：91．
点评：此题属于简单的统计和求平均数问题，根据求平均数的方法，总数÷份数＝平均数，列式计算即可．
28．平均数的含义及求平均数的方法
【知识点归纳】
1．平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
2．平均数的求解方法：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才得求出．
【命题方向】
常考题型：
例1：参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）
A、82分 B、86分 C、87分 D、88分
分析：根据题意，可找出数量间的相等关系：女生的平均成绩×1+男生的平均成绩×3＝全班平均成绩×4，设女生的平均成绩是x，列并解方程即可．
解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，由题意得，
x×1+3×80＝82×（1+3），
x+240＝328，
x＝328﹣240，
x＝88；
或：[82×（1+3）﹣80×3]÷1，
＝（328﹣240）÷1，
＝88（分）；
答：女生的平均成绩是88分．
故选：D．
点评：解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩．
29．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
30．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
31．游戏规则的公平性
【知识点归纳】
游戏规则的公平性体现在参与游戏的任何一方的获胜可能性大小一致．
【命题方向】
经典题型：
例1：小华用下面的转盘设计了一个游戏：指到红色、甲胜；指到黄色，乙胜，这个游戏公平吗？为什么？
【分析】看转盘的红色区域和黄色区域占整体的多少，再进行比较即可得出答案．
解：指针指向红色的可能性是46，
指针指向黄色的可能性是26，
所以甲胜的可能性大，
这个游戏不公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的可能性=nm，解决本题的关键是得到相应的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平．注意转盘应均等分．
32．和差问题
【知识点归纳】
公式：
（和+差）÷2＝大数
（和﹣差）÷2＝小数．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲、乙两数的平均数是18.4，甲比乙多4，则甲是（ ）
A、20.4 B、22.4 C、16.4
分析：根据题意，甲、乙两数的平均数是18.4，那么它们的和是18.4×2＝36.8，又甲比乙多4，也就是它们的差是4，然后再根据和差公式进一步解答．
解：18.4×2＝36.8；
（36.8+4）÷2＝20.4．
答：甲是20.4．
故选：A．
点评：根据题意，求出两个数的和与差，由和差公式进一步解答．
33．平均数问题
【知识点归纳】
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数…”
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数．
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在抗震救灾的日子里，解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时，后3天平均每天在一线工作15小时，这一周，张叔叔平均每天在一线工作多少小时？
分析：根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了几小时，用总的小时数除以总天数，就是要求的答案．
解：（74+15×3）÷（4+3），
＝（74+45）÷7，
＝119÷7，
＝17（小时）；
答：这一周，张叔叔平均每天在一线工作17小时．
点评：此题是典型的解答平均数应用题，关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．
例2：甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元．现把甲种糖果4千克，乙种糖果3千克，丙种糖果5千克混合在一起，问买2千克这种混合糖果需多少元？
分析：用三种糖混合糖的总钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价，再用平均价乘2千克就是要求的答案．
解：甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5），
＝126÷12，
＝10.5（元），
买2千克混合糖果的价钱是：
10.5×2＝21（元），
答：买2千克这种混合糖果需21元．
点评：解答此题的关键是根据平均数的意义，先求出甲、乙、丙三种糖混合后的平均价，那2千克混合糖的价钱即可求出．

16×4＝
450÷50
2×32＝
70÷5＝
3×600＝
270÷9＝
180÷30＝
360÷60＝
25×4＝
每千克/元
质量/千克
9.8
■.7
水果
人数
正正
正正
正正
正
水果
人数
题号
16
17
18
19
20
21
答案
B
C
C
A
A
A
16×4＝
450÷50
2×32＝
70÷5＝
3×600＝
270÷9＝
180÷30＝
360÷60＝
25×4＝
16×4＝64
450÷50＝9
2×32＝64
70÷5＝14
3×600＝1800
270÷9＝30
180÷30＝6
360÷60＝6
25×4＝100
每千克/元
质量/千克
9.8
■.7
水果
人数
正正
正正
正正
正
水果
人数
水果




人数
10
12
14
11
水果




人数
10
12
14
11
568÷2＝
376÷4＝
185÷5＝
697÷8＝
18÷2×5＝
45÷5×3＝
9÷3×7＝
2×3×8＝
评委
1
2
3
4
5
6
7
打分
92
90
95
88
85
97
90
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元