2025-2026学年上学期南京小学数学六年级期末典型卷2

这是一份2025-2026学年上学期南京小学数学六年级期末典型卷2，共60页。试卷主要包含了解方程等内容，欢迎下载使用。
1．（24分）脱式计算，能用简便算法的要用简便算法。
2．（8分）解方程。
x-15x=825
x+4%x＝2.6
4x+3×0.7＝6.5
二．解答题（共13小题，满分24分）
3．（3分） ÷25=()15=12： ＝1.2＝ %。
4．（1分）如果35a=27b，那么a与b的最简整数比是 。
5．（2分）比24km少75%是 km；4.8t是 t的89。
6．（3分）在横线里填在“＞”、“＜”或“＝”。
7．（2分）测量铅笔的长用 作单位，测量大树的高用 作单位。
8．（1分）一个体积为15dm3的铁块沉放到一个长5dm，宽2dm的长方体容器中，水面会上升 dm。
9．（2分）用50粒西瓜种子做发芽实验，结果有5粒种子没有发芽，这种西瓜种子的发芽率是 %；按这个发芽率计算，要栽种4500棵西瓜苗，需要用 粒种子育苗。
10．（2分）一个长方体纸盒的正面和左面截图如图所示，这个纸盒的底面面积是 cm2；这个长方体纸盒的棱长总和是 cm。
11．（2分）如果□÷△＝4，□﹣△＝9，那么□＝ ，△＝ 。
12．（1分）A、B两车走同一段路程，A车用了30分钟，B车用了40分钟，A、B两车的速度比是 。
13．（1分）如图，奇思将如图图①的铁块放入图②的长方体水箱里，铁块完全浸没在水中，结果如图③所示，那么铁块的体积是 cm3。
14．（2分）如图，每个正方形的边长都是a。第4幅图的周长是 ，第n幅图的周长是 。
15．（2分）为了美化校园，某小学在面积36平方米的空地种花，其中一半种各种菊花，红菊花地的面积占菊花地的13。兰兰列式为：36×12×13，其中“36×12”表示 ；琪琪列式为：36×(12×13)，其中“12×13”表示 。
三．选择题（共6小题，满分6分，每小题1分）
16．（1分）学生的出勤率最高可达（ ）
A．100%B．99%C．90%
17．（1分）下面图形中，正方体的展开图是（ ）
A．B．
C．D．
18．（1分）一杯含糖率30%的糖水，喝掉一半后，现在糖水的含糖率（ ）
A．大于30%B．等于30%C．小于30%D．无法确定
19．（1分）把7：4的后项乘5，要使这个比的比值不变，前项要（ ）
A．加35B．加28C．乘4D．加20
20．（1分）一件商品七折出售，原价90元，现价（ ）元。
A．80B．72C．63D．54
21．（1分）下面百分率中，一定不能达到100%的是（ ）
A．命中率B．合格率C．增长率D．出油率
四．解答题（共2小题，满分7分）
22．（3分）数学课上老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。
笑笑小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。
（1）笑笑小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以35×34为例，写一写。
（2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。
23．（4分）如图每个小方格的边长表示1厘米，按要求在方格纸上画图。
（1）画一个周长是14厘米的长方形，长与宽的比是5：2。
（2）画一个面积为4平方厘米的三角形，底和高的比是2：1。
五．解答题（共3小题，满分6分，每小题2分）
24．（2分）补全表格。
二车间一组工人生产情况统计表
2021年12月29日
25．（2分）微信零钱提取现金到银行卡，每人累计享有1000元免费额度，超出额度部分，按提取现金金额的0.1%收取手续费。王阿姨首次从微信零钱中提取现金5000元，需支付手续费多少元？
26．（2分）甲乙两人合作共同生产300个零件，4天完成了任务，已知甲每天比乙每天多生产5个零件，甲乙每天各生产多少个零件？（用方程和算术法两种方法解答）
六．应用题（共4小题，满分25分）
27．（5分）六（1）班参加视频观看的男生有50人，女生比男生少25，那么六（l）班参加视频观看的女生有多少人？
28．（6分）母亲节到了，小红为妈妈精选一份礼物，外面的包装纸展开如右图：
（1）请计算包装纸的面积。
（2）用彩带捆扎，如图，至少需要多长的彩带？（打结处用20厘米）
（3）礼品盒占据多大的空间？
29．（8分）从2022年秋季开始，我国把劳动课正式确定为义务教育课程。其中日常生活劳动包括清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与营养、家用器具使用与维护四个任务群。小美跟妈妈学做面包，如图表示这种面包所用材料的份数。
（1）要做160g这样的面包，需要面粉多少克？
（2）如果这三种材料都有50kg，当奶油用完时，白糖还剩多少千克？面粉需要增加多少千克？
30．（6分）某超市举行店庆促销活动，推出以下三种结算方式：
李阿姨到该超市买了一袋大米，应支付160元。她选择了微信支付，随机减免了20.8元。
（1）此次购物中，求李阿姨实际享受到了几折优惠，可列式为 。
（2）在此次购物中，如果李阿姨选择用支付宝支付，最终会为此次购物花费多少元？
（3）在此次购物中，如果李阿姨选择用现金支付，实际支付多少元？这样支付实际约打几折？
2025-2026学年上学期南京小学数学六年级期末典型卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．计算题（共2小题，满分32分）
1．（24分）脱式计算，能用简便算法的要用简便算法。
【考点】分数的简便计算（运算定律的分数应用）；分数的四则混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】1400；12；58；114；1；32。
【分析】第一道题：先算除法，再算加法；
第二道题：应用加法交换律和结合律计算比较简便；
第三道题：应用乘法分配律计算比较简便；
第四道题：先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法；
第五道题：先把3.2拆分成（0.8×4），再应用乘法交换律和结合律计算比较简便；
第六道题：先把4÷5写成45×1，再应用乘法分配律计算比较简便。
【解答】解：1375+450÷18
＝1375+25
＝1400
2.84+5.6﹣0.84+4.4
＝（2.84﹣0.84）+（5.6+4.4）
＝2+10
＝12
23×58+13×58
＝（23+13）×58
=1×58
=58
[56-(25+13)]×57
=[56-1115]×57
=110×57
=114
1.25×3.2×0.25
＝（1.25×0.8）×（4×0.25）
＝1×1
＝1
4÷5+39×45
=45×1+39×45
=45×(1+39)
=45×40
＝32
【点评】熟练掌握加法、乘法结合律和交换律、乘法分配律以及整数四则混合运算的运算顺序，是解答本题的关键。
2．（8分）解方程。
x-15x=825
x+4%x＝2.6
4x+3×0.7＝6.5
【考点】百分数方程求解；分数方程求解．
【专题】简易方程；运算能力．
【答案】x=25；x＝2.5；x＝1.1。
【分析】（1）先合并方程左边含共同未知数的算式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以45，解出方程；
（2）先合并方程左边含共同未知数的算式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以1.04，解出方程；
（3）先计算方程左边的乘法算式，根据等式的性质1和性质2，方程左右两边先同时减去2.1，再同时除以4，解出方程。
【解答】解：x-15x=825
45x=825
45 x÷x=825÷45
x=825×54
x=25
x+4%x＝2.6
x+0.04x＝2.6
1.04x＝2.6
1.04x÷x＝2.6÷1.04
x＝2.5
4x+3×0.7＝6.5
4x+2.1＝6.5
4x+2.1﹣2.1＝6.5﹣2.1
4x＝4.4
4x÷x＝4.4÷4
x＝1.1
【点评】掌握等式的性质是解题关键。
二．解答题（共13小题，满分24分）
3．（3分） 30 ÷25=()15=12： 10 ＝1.2＝ 120 %。
【考点】小数、分数和百分数之间的关系及其转化；比与分数、除法的关系．
【专题】分数和百分数；数据分析观念．
【答案】30，18，10，120。
【分析】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；
分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数；
小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时，在后面添上百分号。
【解答】解：1.2=65=3025=30÷25=1815=1210=12：10=120%
故答案为：30，18，10，120。
【点评】此题考查小数、分数、百分数之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可。
4．（1分）如果35a=27b，那么a与b的最简整数比是 10：21 。
【考点】求比值和化简比．
【专题】推理能力．
【答案】10：21。
【分析】根据比例的基本性质，把等积式化成比例式，再化成最简单的整数比。
【解答】解：35a=27b，所以a：b=27：35=10：21。
故答案为：10：21。
【点评】熟练掌握比例的基本性质和判断两个相关联的量之间成什么比例的方法是解题的关键。
5．（2分）比24km少75%是 6 km；4.8t是 5.4 t的89。
【考点】百分数的加减乘除运算；分数除法．
【专题】应用意识．
【答案】6；5.4。
【分析】求比24千米少75%是多少千米，就是求24的（1﹣75%）是多少，用乘法解答；已知一个数的89是4.8吨，求这个数用4.8吨除以89。
【解答】解：24×（1﹣75%）
＝24×14
＝6（千米）
4.8÷89=5.4（吨）
答：比24km少75%是6km；4.8t是5.4t的89。
故答案为：6；5.4。
【点评】本题考查了百分数乘法、分数除法的实际应用。
6．（3分）在横线里填在“＞”、“＜”或“＝”。
【考点】积的变化规律；分数大小的比较．
【专题】探索数的规律；运算能力．
【答案】＜；＞；＞。
【分析】一个数（0除外）乘一个大于1的数，积比这个数大；乘一个小于1的数，积比这个数小。
一个数（0除外）除以一个小于1的数，商比这个数大；除以一个大于1的数，商比这个数小。
【解答】解：
故答案为：＜；＞；＞。
【点评】本题考查了积和商的变化规律。
7．（2分）测量铅笔的长用 厘米 作单位，测量大树的高用 米 作单位。
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【专题】长度、面积、体积单位；应用意识．
【答案】厘米，米。
【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。
【解答】解：测量铅笔的长用厘米作单位，测量大树的高用米作单位。
故答案为：厘米，米。
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。
8．（1分）一个体积为15dm3的铁块沉放到一个长5dm，宽2dm的长方体容器中，水面会上升 1.5 dm。
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】1.5。
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。
【解答】解：15÷5÷2
＝3÷2
＝1.5（分米）
答：水面会上升1.5分米。
故答案为：1.5。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
9．（2分）用50粒西瓜种子做发芽实验，结果有5粒种子没有发芽，这种西瓜种子的发芽率是 90 %；按这个发芽率计算，要栽种4500棵西瓜苗，需要用 5000 粒种子育苗。
【考点】百分率应用题．
【专题】应用意识．
【答案】90；5000。
【分析】发芽率＝发芽种子数÷种子总数×100%，再用西瓜苗的棵数÷发芽率，计算需要的种子粒数。
【解答】解：（50﹣5）÷50×100
＝45÷50×100%
＝90%
4500÷90%＝5000（粒）
答：这种西瓜种子的发芽率是90%；要栽种4500棵西瓜苗，需要用5000粒种子育苗。
故答案为：90；5000。
【点评】本题主要考查百分率的实际应用。
10．（2分）一个长方体纸盒的正面和左面截图如图所示，这个纸盒的底面面积是 45 cm2；这个长方体纸盒的棱长总和是 72 cm。
【考点】长方体的特征；长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；几何直观．
【答案】45，72。
【分析】这个纸盒的底面是长是5厘米，宽是9厘米的长方形，根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4。
【解答】解：9×5＝45（平方厘米）
（5+9+4）×4
＝18×4
＝72（厘米）
答：这个纸盒的底面面积是45cm，这个长方体纸盒的棱长总和是72cm。
故答案为：45，72。
【点评】本题考查了长方体棱长总和及底面积的计算方法。。
11．（2分）如果□÷△＝4，□﹣△＝9，那么□＝ 12 ，△＝ 3 。
【考点】简单的等量代换问题．
【专题】代换法；应用意识．
【答案】12，3。
【分析】根据乘除法各部分间的关系找出□和△的关系，并用加法表示出来，然后代入□﹣△＝9算出△的值。将△的值和□﹣△＝9结合，根据加减法各部分间的关系即可算出□的值。
【解答】解：□÷△＝4，所以△×4＝□，即△+△+△+△＝□。
所以□﹣△＝△+△+△+△﹣△＝△+△+△＝9
9÷3＝3，所以△＝3。
9+3＝12，即12﹣3＝9。所以□＝12。
答：□＝12，△＝3。
故答案为：12，3。
【点评】关键是把各个符号看成一个单独的数，然后结合加减法各部分间的关系和乘除法的意义解答。
12．（1分）A、B两车走同一段路程，A车用了30分钟，B车用了40分钟，A、B两车的速度比是 4：3 。
【考点】比的意义．
【专题】比和比例；运算能力．
【答案】4：3。
【分析】把这段路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间和比的意义，即可解答。
【解答】解：1÷30=130
1÷40=140
130：140=4：3
A、B两车的速度比是 4：3。
故答案为：4：3。
【点评】本题考查了分数的意义和比的意义。
13．（1分）如图，奇思将如图图①的铁块放入图②的长方体水箱里，铁块完全浸没在水中，结果如图③所示，那么铁块的体积是 120 cm3。
【考点】探索某些实物体积的测量方法．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】120。
【分析】铁块的体积等于长是10厘米，宽是8厘米，高是（9.5﹣8）厘米的长方体的体积，由此解答本题。
【解答】解：10×8×（9.5﹣8）
＝10×8×1.5
＝120（立方厘米）
答：铁块的体积是120立方厘米。
故答案为：120。
【点评】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。
14．（2分）如图，每个正方形的边长都是a。第4幅图的周长是 10a ，第n幅图的周长是 （2n+2）a 。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】10a；（2n+2）a。
【分析】根据题意发现：每个正方形的边长都是a，那么1个正方形的周长就是4a，每多1个正方形，周长就多2a，则第n幅图的周长是（2n+2）a；据此解答即可。
【解答】解：（2×4+2）a
＝（8+2）a
＝10a
第n幅图的周长是（2n+2）a。
答：第4幅图的周长是10a，第n幅图的周长是（2n+2）a。
故答案为：10a；（2n+2）a。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做题。
15．（2分）为了美化校园，某小学在面积36平方米的空地种花，其中一半种各种菊花，红菊花地的面积占菊花地的13。兰兰列式为：36×12×13，其中“36×12”表示 各种菊花的种植面积 ；琪琪列式为：36×(12×13)，其中“12×13”表示 红菊花的面积占空地面积的几分之几 。
【考点】分数乘法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】各种菊花的种植面积；红菊花的面积占空地面积的几分之几。
【分析】用空地的面积乘12即可计算出各种菊花的种植面积，用各种菊花占空地的面积乘13，即可计算出红菊花的面积占空地面积的几分之几。
【解答】解：兰兰列式为：36×12×13，其中“36×12”表示各种菊花的种植面积；琪琪列式为：36×(12×13)，其中“12×13”表示红菊花的面积占空地面积的几分之几。
故答案为：各种菊花的种植面积；红菊花的面积占空地面积的几分之几。
【点评】本题解题的关键是根据分数乘法的意义列式计算，熟练掌握分数乘法的计算方法。
三．选择题（共6小题，满分6分，每小题1分）
16．（1分）学生的出勤率最高可达（ ）
A．100%B．99%C．90%
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据题意，出勤率＝实际出勤的人数÷应出勤的人数×100%。如果实际出勤人数与应出勤的人数相等时，出勤率为100%。
【解答】解：由分析可知：
学生的出勤率最高可达100%。
故选：A。
【点评】此题考查了百分数的意义，要求学生能够掌握。
17．（1分）下面图形中，正方体的展开图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】正方体的展开图．
【专题】立体图形的认识与计算；几何直观．
【答案】B
【分析】正方体的展开图有11种情况，据此进行解答即可。
【解答】解：正方体的展开图有以下几种情况，
故选：B。
【点评】本题考查了正方体的展开图，解决本题的关键是根据正方体的展开图情况进行解答。
18．（1分）一杯含糖率30%的糖水，喝掉一半后，现在糖水的含糖率（ ）
A．大于30%B．等于30%C．小于30%D．无法确定
【考点】浓度问题；百分数的实际应用；百分率应用题．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】含糖率＝糖的质量÷糖水质量×100%，喝掉一半后，剩下的糖水并没有加水，也没有加糖，因此含糖率不变，据此解答。
【解答】解：一杯含糖率30%的糖水，喝掉一半后，现在糖水的含糖率等于30%。
故选：B。
【点评】此题属于百分率问题，要熟练掌握求含糖率的公式。
19．（1分）把7：4的后项乘5，要使这个比的比值不变，前项要（ ）
A．加35B．加28C．乘4D．加20
【考点】比的性质．
【专题】数据分析观念．
【答案】B
【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此判断。
【解答】解：把7：4的后项乘5，要使这个比的比值不变，前项要乘5，即7×5＝35，35﹣7＝28，相当于前项加28。
故选：B。
【点评】熟练掌握比的基本性质是解题的关键。
20．（1分）一件商品七折出售，原价90元，现价（ ）元。
A．80B．72C．63D．54
【考点】百分数的实际应用．
【专题】计算题；应用意识．
【答案】C
【分析】折扣＝现价÷原价，结合题中数据计算商品的现价即可。
【解答】解：七折即70%
90×70%＝63（元）
故选：C。
【点评】本题考查的是百分数的实际应用。
21．（1分）下面百分率中，一定不能达到100%的是（ ）
A．命中率B．合格率C．增长率D．出油率
【考点】百分率应用题．
【专题】综合判断题；推理能力．
【答案】D
【分析】逐项分析后即可判断。
【解答】解：A.命中率＝命中次数÷总次数×100%，当命中次数等于总次数时，命中率可以达到100%；
B.出勤率＝出勤人数÷总人数×100%，当出勤人数等于总人数时，出勤率可以达到100%；
C.增长率＝增长的数量÷总数量×100%，当增长的数量等于总数时，增长率可以达到100%；
D.出油率＝出油量÷总量×100%，出油量不可能等于总量，所以出油率不可能达到100%。
故选：D。
【点评】本题考查了百分数的实际应用。
四．解答题（共2小题，满分7分）
22．（3分）数学课上老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。
笑笑小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。
（1）笑笑小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以35×34为例，写一写。
（2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。
【考点】分数乘分数．
【专题】运算顺序及法则；运算能力．
【答案】（1）35×34=（15×3）×（14×3）＝（15×14）×（3×3）=120×9=920；
（2）都是先把计算单位相乘，计数单位个数乘计数单位个数，再相乘。
【分析】（1）整数和小数乘法都是先把计算单位相乘，再乘以计数单位的个数。
35×34=（15×3）×（14×3）＝（15×14）×（3×3）计算出结果。
（2）分数的乘法和整数、小数乘法的算理一样，都是先把计算单位相乘，计数单位个数乘计数单位个数，再相乘。
【解答】解：（1）35×34=（15×3）×（14×3）＝（15×14）×（3×3）=120×9=920
（2）分数的乘法和整数、小数乘法的算理一样，都是先把计算单位相乘，计数单位个数乘计数单位个数，再相乘。
【点评】本题考查了发现计算规律，总结规律的能力。
23．（4分）如图每个小方格的边长表示1厘米，按要求在方格纸上画图。
（1）画一个周长是14厘米的长方形，长与宽的比是5：2。
（2）画一个面积为4平方厘米的三角形，底和高的比是2：1。
【考点】比的应用；画指定周长的长方形、正方形；画指定面积的长方形、正方形、三角形．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】
【分析】（1）根据长方形周长公式：C＝（a+b）×2，先计算出该长方形一条长加一条宽的和，再根据长与宽的比计算出长和宽分别是多少，据此画图。
（2）根据三角形面积公式：S＝ah÷2以及底和高的比计算出该三角形底和高的长度，据此画图。
【解答】解：（1）该长方形一条长加一条宽的和：14÷2＝7（厘米）
长方形长为：
7÷（5+2）×5
＝7÷7×5
＝1×5
＝5（厘米）
长方形宽为：
7÷（5+2）×2
＝7÷7×2
＝1×2
＝2（厘米）
该长方形长为5厘米，宽为2厘米，画图如下图所示。
（2）因为该三角形面积等于4平方厘米，
所以底×高为8平方厘米
8＝8×1＝4×2，
当底为4厘米，高为2厘米时，符合题意，画图如下图所示（该题画图不唯一）：
【点评】本题考查了长方形周长、三角形面积的计算，同时考查了按比例分配去得出画图所需要的数值，熟记公式的同时，还要会灵活计算，并且正确画图。
五．解答题（共3小题，满分6分，每小题2分）
24．（2分）补全表格。
二车间一组工人生产情况统计表
2021年12月29日
【考点】百分率应用题．
【专题】运算能力．
【答案】
【分析】用合格零件的个数除以零件的总数即可。
【解答】解：72÷75×100%
＝0.96×100%
＝96%
69÷75×100%
＝0.92×100%
＝92%
80×95%＝76（个）
63÷90%＝70（个）
二车间一组工人生产情况统计表
2021年12月29日
故答案为：96%；92%；76；70。
【点评】灵活运用合格率＝合格零件个数÷零件总个数×100%进行解答即可。
25．（2分）微信零钱提取现金到银行卡，每人累计享有1000元免费额度，超出额度部分，按提取现金金额的0.1%收取手续费。王阿姨首次从微信零钱中提取现金5000元，需支付手续费多少元？
【考点】存款利息与纳税相关问题．
【专题】应用意识．
【答案】4元。
【分析】根据手续费＝（提现金额﹣1000）×费率，即可求出结果。
【解答】解：（5000﹣1000）×0.1%
＝4000×0.001
＝4（元）
答：需支付手续费4元。
【点评】解答本题的关键是求出微信用户享有1000元免费额度后提取现金的金额。
26．（2分）甲乙两人合作共同生产300个零件，4天完成了任务，已知甲每天比乙每天多生产5个零件，甲乙每天各生产多少个零件？（用方程和算术法两种方法解答）
【考点】列方程解应用题（两步需要逆思考）．
【专题】列方程解应用题．
【答案】40个；35个。
【分析】方法一：根据题意，设乙每天生产x个零件，则甲每天生产（x+5）个零件；等量关系：（甲每天生产零件的个数+乙每天生产零件的个数）×生产天数＝零件总个数；据此列出方程，并求解。
方法二：先用零件总数除以4天，求出甲乙两人每天一共生产的零件个数；又已知甲每天比乙每天多生产5个零件，给乙每天补上5个零件，这样乙每天生产的零件个数就与甲一样多；即用甲乙每天一共生产的零件个数加上5，再除以2，求出甲每天生产的零件个数；进面是求出乙每天生产的零件个数。
【解答】解：方法一：
设乙每天生产x个零件，则甲每天生产（x+5）个零件。
（x+5+x）×4＝300
（2x+5）×4＝300
8x+20＝300
8x+20﹣20＝300﹣20
8x＝280
8x÷8＝280÷8
x＝35
甲：35+5＝40（个）
答：甲每天生产40个零件，乙每天生产35个零件。
方法二：
甲乙两人每天一共生产：
300÷4＝75（个）
甲每天生产：
（75+5）÷2
＝80÷2
＝40（个）
乙每天生产：
40﹣5＝35（个）
答：甲每天生产40个零件，乙每天生产35个零件。
【点评】方法一：列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程；
方法二：利用和差问题的公式用算术方法解题。
六．应用题（共4小题，满分25分）
27．（5分）六（1）班参加视频观看的男生有50人，女生比男生少25，那么六（l）班参加视频观看的女生有多少人？
【考点】分数乘法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】30人。
【分析】已知男生有50人，女生比男生少25，把男生人数看作单位“1”，则女生人数是男生的（1-25），单位“1”已知，用男生人数乘（1-25），即可求出女生人数。
【解答】解：先求出女生人数是男生人数的几分之几，再求出女生有多少人。
50×（1-25）
＝50×35
＝30（人）
答：六（l）班参加视频观看的女生有30人。
【点评】此题属于稍复杂的分数乘法应用题，关键是确定“1”，根据一个数乘分数的意义解答。
28．（6分）母亲节到了，小红为妈妈精选一份礼物，外面的包装纸展开如右图：
（1）请计算包装纸的面积。
（2）用彩带捆扎，如图，至少需要多长的彩带？（打结处用20厘米）
（3）礼品盒占据多大的空间？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】应用意识．
【答案】（1）1300平方厘米；
（2）130厘米；
（3）3000立方厘米。
【分析】（1）通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是20厘米，宽是（50÷2﹣10）厘米，高是10厘米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。
（2）通过观察图形可知，需要彩带的长度＝两条长+两条宽+4条高+20厘米。
（3）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）50÷2﹣10
＝25﹣10
＝15（厘米）
（20×15+20×10+15×10）×2
＝（300+200+150）×2
＝650×2
＝1300（平方厘米）
答：包装纸的面积是1300平方厘米。
（2）20×2+15×2+10×4+20
＝40+30+40+20
＝130（厘米）
答：至少需要130厘米彩带。
（3）20×15×10
＝300×10
＝3000（立方厘米）
答：礼品盒占据3000立方厘米的空间。
【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
29．（8分）从2022年秋季开始，我国把劳动课正式确定为义务教育课程。其中日常生活劳动包括清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与营养、家用器具使用与维护四个任务群。小美跟妈妈学做面包，如图表示这种面包所用材料的份数。
（1）要做160g这样的面包，需要面粉多少克？
（2）如果这三种材料都有50kg，当奶油用完时，白糖还剩多少千克？面粉需要增加多少千克？
【考点】按比例分配应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）100克；（2）白糖还剩25千克；面粉需要增加75千克。
【分析】（1）根据题意，先求出总份数，再总质量除以总份数，求出1份的质量，最后用1份的 质量乘面粉的份数，即可解答；
（2）用50千克除以奶油的份数，求出1份的质量，再分别乘各自的份数，求出当奶油用完时，白糖和面粉分别需要多少千克，最后分别求出与50千克的差。
【解答】解：（1）160÷（1+2+5）
＝160÷8
＝20（克）
20×5＝100（克）
答：要做160g这样的面包，需要面粉100克。
（2）50÷2＝25（千克）
25×5＝125（千克）
50﹣25＝25（千克）
125﹣50＝75（千克）
答：如果这三种材料都有50kg，当奶油用完时，白糖还剩25千克；面粉需要增加75千克。
【点评】本题主要考查比的应用，找准1份量是解题的关键。
30．（6分）某超市举行店庆促销活动，推出以下三种结算方式：
李阿姨到该超市买了一袋大米，应支付160元。她选择了微信支付，随机减免了20.8元。
（1）此次购物中，求李阿姨实际享受到了几折优惠，可列式为 （160﹣20.8）÷160 。
（2）在此次购物中，如果李阿姨选择用支付宝支付，最终会为此次购物花费多少元？
（3）在此次购物中，如果李阿姨选择用现金支付，实际支付多少元？这样支付实际约打几折？
【考点】折扣；百分数的实际应用．
【专题】分数和百分数；应用意识．
【答案】（1）（160﹣20.8）÷160；（2）136元；（3）130元，八折。
【分析】（1）利用现价除以原价即可，现价利用原价减去减免的钱数；
（2）利用原价乘折扣即可；
（3）160里面有1个100，1个50，就要减免30元。
【解答】解：（1）求李阿姨实际享受到了几折优惠，可列式为 （160﹣20.8）÷160。
（2）160×85%＝136（元）
答：最终会为此次购物花费136元。
（3）160﹣20﹣10＝130（元）
130÷160≈80%＝八折
答：实际支付130元，这样支付实际约打八折。
故答案为：（160﹣20.8）÷160。
【点评】本题考查了百分数的意义、折扣的应用。
考点卡片
1．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数． × （）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
2．百分数的意义、读写及应用
【知识点归纳】
（1）百分数（又叫做百分率或百分比）与分数的意义截然不同．百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数．”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量．如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一段绳子长为20%米．”因此，百分数后面不能带单位名称．分数可带具体名称．
（2）百分数的读法：100%不读百分之百，要读百分之一百；32%：百分之三十二； 50%：百分之五十； 1%：百分之一．
（3）百分号的写法注意的地方：%的0是左上右下，不能写在一起．
【命题方向】
常考题型：
例1：把10克的糖放入100克的水中，糖占水的 10% ，糖和糖水的比是 1：11 ．
解：糖占水的比值为：10÷100=10100=10%
糖和水的比为：10：（10+100）＝1：11
故答案为：10%，1：11．
点评：本题要注意是求比还是求比值．糖占水多少是求比值，糖和糖水的比是求比．
例2：王师傅做98个零件都合格，合格率是98%． × ．（）
分析：根据公式：合格率=合格零件个数零件总个数×100%，代入数值，解答求出合格率，进而判断即可．
解：9898×100%＝100%；
答：合格率是100%．
故答案为：×．
点评：此题属于百分率问题，解答时都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百即可．
3．小数、分数和百分数之间的关系及其转化
【知识点归纳】
（1）小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分
（2）分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数
（3）一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数
（4）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时，在后面添上百分号
（5）百分数化成小数：把百分号去掉，同时，把小数点向左移动两位
（6）分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数
（7）百分数化成分数：先把百分数改写成分数，能约分的，要约成最简分数．
【命题方向】
常考题型：
例：0.75＝12÷ 16 ＝ 9 ：12＝ 75 %
分析：解决此题关键在于0.75，0.75可改写成75%，也可改写成34，34可改写成3÷4，进一步改写成12÷16，34也可改写成3：4，进一步改写成9：12．
解；0.75＝75%=34=3÷4＝12÷16＝3：4＝9：12．
故答案为：16，9，75．
点评：此题考查小数、分数、百分数之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可．
4．折扣
【知识点归纳】
1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。
2、几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折＝8÷10＝80%，六折五＝6.5÷10＝65÷100＝65%
3、解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。
4、商品现在打八折：现在的售价是原价的80%；商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%。
【方法总结】
与折扣有关的实际问题的解题方法：
已知原价和折扣，求现价：现价＝原价×折扣；
已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数＝原价﹣原价×折扣；
已知现价和折扣，求原价：原价＝现价÷折扣；
（4）已知原价和现价，求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同时在答语中要体现出来。
【常考题型】
一、填空题。
1、几折表示十分之（ ），也就是百分之（ ）。
答案：几；几十
2、三折就是（ ），也就是（ ）。
答案：；30%
3、现价＝（ ）×（ ）
答案：售价；折扣
二、判断题。
1、商品打折扣都是以商品的原价为单位“1”，即标准量。（ ）
答案：√
2、一件上衣现在打八折出售，就是说比原价降低10%。（ ）
答案：×
5．分数乘分数
【知识点归纳】
分数乘法的计算法则
1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。
2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
3、注意：能约分的先约分，然后再乘，得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
【方法总结】
分数大小的比较：
1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。
2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。
【常考题型】
89千克的12是多少千克？
答案：89×12=49（千克）
712小时的47是多少小时？
答案：712×47=13（小时）
6．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的23是18，乙数的34是18，甲数（ ）乙数．
分析：甲数的23是18用除法求出甲数，乙数的34是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18÷23，
＝18×32，
＝27；
18÷34，
＝18×43，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
例2：一个数（0除外）除以16，这个数就（ ）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a÷16=6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
7．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。
2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？
答案：35÷（1﹣）＝50（千克）
水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？
答案：48×＝27（千克）
8．分数的简便计算（运算定律的分数应用）
【知识点归纳】
分数简便运算常见题型
第一种：乘法交换律的应用
基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。
第二种：乘法分配律的运用
基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。
第三种：乘法分配律的逆运算
基本方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。
第四种：添加因数1
基本方法：添加因数“1”，将其中一个数n转化为1xn的形式，将原式转化为两两之积相加减的形式，再提取公有因数，按乘法分配律逆向定律运算。
【方法总结】
在进行分数乘法简便运算时，所涉及的公式定律和整数乘法的简便运算是一样的，基本上有三个：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
做题时，我们要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。
【常考题型】
计算题。
答案：；13
9．百分数的加减乘除运算
【知识点归纳】
1．只把分子相加、减，分母不变．
2．百分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子，100相乘起来作为分母，（即乘上这个分数的倒数），然后再约分．
3．百分数的除法法则：
（1）用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子； （2）用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母．
【命题方向】
常考题型：
例：如果甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少（ ）
A、20% B、25% C、不能确定
分析：先把乙数看成单位“1”，甲数就是（1+25%），用25%除以甲数就是乙数比甲数少百分之几．
解：25%÷（1+25%），
＝25%÷125%，
＝20%；
故选：A．
点评：本题关键是在于区分两个单位“1”的不同，先找出1个单位“1”，把其它量用单位“1”表示出来，然后根据求一个数是另一个数百分之几的方法求解．
10．根据情景选择合适的计量单位
【知识点归纳】
货币单位：元、角、分．1元＝10角，1角＝10分．
时间单位：年、月、日、时、分、秒．1日＝24小时，1小时＝60分，1分＝60秒，1年＝12月．
长度单位：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米．1千米＝1000米，1米＝10分米＝100厘米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米．
面积单位：平方米、平方分米、平方厘米．1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米．
地积单位：平方千米、公顷、公亩．1平方千米＝100公顷，1公亩＝100平方米，1公顷＝100公亩＝10000平方米．
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米．1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米．
容积单位：升、毫升．1升＝1000毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米．
质量单位：吨、千克（公斤）、克．1吨＝1000千克，1千克＝1000克．
一般的，货币、长度相邻两个单位进率是10，体积、容积、质量相邻两个单位进率是1000，面积、地积相邻两个单位是100，时间中时分秒相邻两个单位进率是60．
根据情景选择合适的计量单位，根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可做出选择．
【命题方向】
常考题型：
例：一台电脑显示器的占地面积是9C ，占据的空间是27B ．
A．平方厘米 B．立方分米 C．平方分米 D．立方厘米．
分析：根据生活经验、对面积单位、体积单位和数据的大小，可知计量一台电脑显示器的占地面积应用“平方分米”做单位；计量占据的空间应用“立方分米”做单位．
解：一台电脑显示器的占地面积是9平方分米，
占据的空间是27立方分米．
故答案为：C、B．
点评：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
11．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
12．百分数方程求解
【知识点归纳】
把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同
一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型：
解方程。
答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。
13．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多14，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多14，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+14），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+14）：1，
=54：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
14．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：45=16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：45=4÷5＝16÷20，
45=4：5＝8：10，
45=0.8＝80%＝八成，
故答案为：45=16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
15．比的性质
【知识点归纳】
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项应（ ）
A、缩小4倍 B、扩大4倍 C、不变
分析：根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，由此做出选择．
解：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项也应扩大4倍．
故选：B．
点评：此题考查比的基本性质的运用，熟记性质，灵活运用．
例2：甲：乙＝3：4，乙：丙＝3：2甲、乙、丙三数的关系是（ ）
A、甲＞乙＞丙 B、丙＞乙＞甲 C、乙＞甲＞丙 D、甲＝乙＝丙
分析：根据比的基本性质，写出甲乙丙连比，即可知答案．
解：甲：乙＝3：4＝9：12
乙：丙＝3：2＝12：8
甲：乙：丙＝9：12：8
故选：C．
点评：此题主要考查比的基本性质．
16．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
17．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为34；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为38；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷34=43，乙用的时间为38÷1=38；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为34，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为38，
甲用的时间为：1÷34=43，
乙用的时间为：38÷1=38，
甲乙用的时间比：43：38=（43×24）：（38×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
18．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
19．分数乘法应用题
【知识点归纳】
是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题．
特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量
解题关键：准确判断单位“1”的量，找准要求问题所对应的分率，然后，根据一个数乘分数的意义正确列式．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根钢材长4米，用去14后，又用去14米，还剩（ ）米．
A、72 B、114 C、2
分析：根据题意，用去14后，把4米看作单位“1”，剩下的占4米的（1-14），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答，又用去14米，14米是一个具体长度，根据求剩余问题直接用减法解答．
解：4×（1-14）-14，
＝4×34-14，
＝3-14，
＝234（米）；
答：还剩234米．
故选：B．
点评：此题解答关键是理解14和14米的意义，14是分率，14米是一个具体数量．
例2：某体操队的人数增加了14后，又减了14，现在的人数和原来相比（ ）
A、增加了 B、减少了 C、不变 D、不能确定
分析：此题没有具体数量，就把体操队的原有人数看做“1”，当做具体数量1，第一个14是把体操队的原有人数看做单位“1”，第二个14是把体操队的增加人数后的人数看做单位“1”，由此分清单位“1”，列式解答，算出的数据比“1”大，就比原来人数多；反之，就比原来人数和少．
解：设操队的原有人数看做“1”，
1×（1+14）×（1-14），
＝1×54×34，
=1516，
因为1516＜1，所以现在的人数比原来的人数减少了．
故选：B．
点评：解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，问题容易解决．
20．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：出席人数总人数×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：10025+100×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
21．列方程解应用题（两步需要逆思考）
【知识点归纳】
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
列方程解应用题的方法：
①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知．
②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知．
【命题方向】
常考题型：
例1：元旦期间，合益商场搞优惠活动，买一箱牛奶送一盒，五（1）班一共52人，如果买4箱，正好每人一盒，每箱牛奶有 12 盒．
分析：观察题干，分析数量关系，如果设每箱牛奶有x盒，则买的加送的牛奶盒数为4x+4，正好等于人数，则可得方程，解方程即可．
解：设每箱牛奶有x盒，
4x+4＝52，
4x＝52﹣4，
x＝48÷4，
x＝12．
答：每箱牛奶有12盒．
故答案为：12．
点评：观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可．
例2：同学们植树，一班比二班多植63棵，一班42人，平均每人植8棵，二班39人，平均每人植多少棵？（用方程解答）
分析：根据题意可找出数量间的相等关系：一班植树的棵树﹣二班植树的棵数＝一班比二班多植的63棵，已知一班的人数和平均每人植的棵数，二班的人数，所以设二班平均每人植x棵，列方程解答即可．
解：设二班平均每人植x棵，由题意得，
42×8﹣39x＝63，
39x＝336﹣63，
39x＝273，
x＝7．
答：二班平均每人植7棵．
点评：此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
22．按比例分配应用题
【知识点归纳】
把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配．
解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形三个内角度数的比是3：2：1，这是一个（ ）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定
分析：因为三角形的内角度数和是180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的36，根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可．
解：1+2+3＝6
最大的角：180°×36=90°
所以这个三角形是直角三角形
故选：B．
点评：解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
例2：一个长方形周长是88cm，长与宽的比是7：4．长方形的长、宽各是多少厘米？面积是多少？
分析：根据题意，长与宽的和为88÷2＝44（厘米），然后运用按比例分配的方法，求出长方形的长、宽各是多少厘米，再根据长方形面积公式，求出面积，解决问题．
解：88÷2＝44（厘米），
4+7＝11，
44×411=16（厘米），
44×711=28（厘米）；
16×28＝448（平方厘米）；
答：长方形的长是28厘米，是16厘米，面积是448平方厘米．
点评：解答此题的关键是找准对应量，找出数量关系，根据数量关系，列式解答即可．
23．简单的等量代换问题
【知识点归纳】
定义：用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）．
“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础，狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c．
【命题方向】
常考题型：
例1：已知：△+△+△＝☆，☆+☆+☆＝□+□，那么△：□是（ ）
A、2：9 B、1：6 C、9：2 D、3：2 E、1：3
分析：由题意“三个△等于一个☆”知9个△等于3个☆，又因为“3个☆等于2个□，根据等量代换：9个△等于2个□，从而找出△与□的比．
解：因为△+△+△＝☆，
所以☆+☆+☆＝△+△+△+△+△+△+△+△+△＝3×3＝9个△，
又因为☆+☆+☆＝□+□，
所以9个△＝2个□，
所以△：□＝2：9．
故选：A．
点评：此题主要是根据3个△等于1个☆进行等量代换，找出△与□个数的比．
例2：粮店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克．已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？
分析：根据1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，所以面粉50袋的重量和25袋大米的重量相等，所以20袋大米+25袋大米＝2250千克，45袋大米的重量＝2250千克，所以一袋大米的重量＝50千克，据此解答即可．
解：因为1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，
所以面粉50袋的重量和25袋大米的重量相等，
所以20袋大米+25袋大米＝2250千克，
45袋大米的重量＝2250千克，
所以一袋大米的重量＝50千克．
点评：此题考查简单的等量代换，解决此题的关键是根据1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等得出45袋大米的重量＝2250千克，进而求出一袋大米的重量．
24．百分率应用题
【知识点归纳】
出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
【命题方向】
常考题型：
例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？
分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率=成活棵数总棵数×100%．
已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．
解：380÷98%，
＝380÷0.98，
≈388（棵）；
答：至少要种388棵树苗．
点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．
例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
分析：先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%），
＝134×20%，
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．
25．存款利息与纳税相关问题
【知识点归纳】
①纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
②利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：明明今年2月18日将300元压岁钱存入银行，定期一年，年利率是3.87%，到明年2月18日，扣除5%的利息税后，他一共可取出多少元钱？
分析：我们运用“本金×利率×时间×（1﹣5%）+本金＝本息共多少元”，运用公式解答即可．
解：300×3.87%×1×（1﹣5%）+300，
＝11.03+300，
＝311.03（元）；
答：他一共可取出311.03元钱．
点评：本题注意税后利息加上本金就是明明一共可取的钱是多少，不要忘记加上本金．
例2：李亮爸爸月收入2000元，妈妈月收入1800元．按规定李亮爸爸、妈妈的月收入中，超过1600元的部分都按5%缴纳个人所得税．李亮的爸爸、妈妈每月各要缴纳个人所得税多少元？
分析：根据题意，超过1600元的部分都按5%缴纳个人所得税．分别求出李亮的爸爸、妈妈超过1600元的部分，再根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答．
解：（2000﹣1600）×5%，
＝400×0.05，
＝20（元）；
（1800﹣1600）×5%，
＝200×0.05，
＝10（元）；
答：李亮的爸把每月要缴纳个人所得税20元，妈妈每月要缴纳个人所得税10元．
点评：此题主要根据求一个数的百分之几是多少用乘法计算，公式是（工资﹣起征点）×对应税率5%＝应纳税额．
26．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
27．正方体的展开图
【知识点归纳】
正方体展开图形如下情况：
【命题方向】
常考题型：
例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（ ）相对．
A、4 B、5 C、6 D、3
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的．
故选：B．
点评：此题考查了正方体的展开图．
例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（ ）
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图．
只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况；
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
28．画指定周长的长方形、正方形
【知识点归纳】
在方格中数小正方体的棱边数目，正方形是固定的，长方形的长和宽是不定的，只要周长等于指定值即可．
【命题方向】
常考题型：
例：在下面的方格纸上画出周长是16厘米的长方形和正方形．
分析：画周长是16厘米的正方形，它的边长就是16÷4＝4厘米；
画周长是16厘米的长方形，那么长与宽的和就是8厘米，8＝5+3，所以长方形的长可以是5厘米，宽就是3厘米；（答案不唯一）；据此画出即可．
解：16÷4＝4（厘米）；
正方形的边长是4厘米．
16÷2＝8（厘米）；
8＝5+3，长方形的长是5厘米宽是3厘米；（答案不唯一）；
图如下：
点评：解决本题先根据周长分别求出长方形的长和宽，以及正方形的边长．
29．画指定面积的长方形、正方形、三角形
【知识点归纳】
在方格中最简单的就是数格子个数，占的格子一样多就面积一样多．正方形的形状是固定的，而长方形和三角形只需要面积相等就可以了．
【命题方向】
常考题型：
例：在如图中分别画出和长方形面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个．
分析：根据题意，图中阴影部分为长方形，长方形的面积为6平方厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2确定各个图形的边长或底、高，然后再进行作图即可得到答案．
解：面积为6的平行四边形的底为3厘米，高为2厘米，
三角形的底为6厘米，高为2厘米，
梯形的下底为4厘米，上底为2厘米，高为2厘米，
作图如下：
点评：解答此题的关键是熟练掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式，然后再确定各个图形的边长或底、高，最后进行作图即可．
30．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
31．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
32．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
33．探索某些实物体积的测量方法
【知识点归纳】
1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位．
2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．
【命题方向】
常考题型：
例1：把一块石头，浸没在一个底面积是60平方厘米的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5厘米，这块石头的体积是 90 立方厘米．
分析：这块石头的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可．
解：60×1.5＝90（立方厘米）；
故答案为：90．
点评：此题主要考查某些实物体积的测量方法．
例2：如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ）
A、20cm3以上，30cm3以下 B、30cm3以上，40cm3以下
C、40cm3以上，50cm3以下 D、50cm3以上，60cm3以下
分析：要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500﹣300）立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可．
解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，
所以5颗玻璃球的体积最少是：500﹣300＝200（立方厘米），
一颗玻璃球的体积最少是：200÷5＝40（立方厘米），
因此推得这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下．
故选：C．
点评：此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，进而得解．
34．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．
35．浓度问题
【知识点归纳】
基本数量关系：
溶液质量＝溶质质量+溶剂质量；
溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数．
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意．
【命题方向】
经典题型：
例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
分析：混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%＝0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里．
B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3＝0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中．
A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2＝1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%＝12%
解：B中盐水的浓度是：
（30+10）×0.5%÷10×100%，
＝40×0.005÷10×100%，
＝2%．
现在A中盐水的浓度是：
（20+10）×2%÷10×100%，
＝30×0.002÷10×100%，
＝6%．
最早倒入A中的盐水浓度为：
（10+10）×6%÷10，
＝20×6%÷10，
＝12%．
答：最早倒入A中的盐水浓度为12%．
点评：不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答．

1375+450÷18
2.84+5.6﹣0.84+4.4
23×58+13×58
[56-(25+13)]×57
1.25×3.2×0.25
4÷5+39×45
31×5051 31
a÷35 35×a(a＞0)
411+12 411×12
张辉
王亮
李方
刘星
加工零件数
75
75
80
合格零件数
72
69
63
合格率
95%
90%
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题号
16
17
18
19
20
21
答案
A
B
B
B
C
D
1375+450÷18
2.84+5.6﹣0.84+4.4
23×58+13×58
[56-(25+13)]×57
1.25×3.2×0.25
4÷5+39×45
31×5051 ＜ 31
a÷35 ＞ 35×a(a＞0)
411+12 ＞ 411×12
31×5051＜31
a÷35＞35×a(a＞0)
411+12＞411×12
张辉
王亮
李方
刘星
加工零件数
75
75
80
合格零件数
72
69
63
合格率
95%
90%
张辉
王亮
李方
刘星
加工零件数
75
75
80
70
合格零件数
72
69
76
63
合格率
96%
92%
95%
90%
张辉
王亮
李方
刘星
加工零件数
75
75
80
70
合格零件数
72
69
76
63
合格率
96%
92%
95%
90%
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