福建省2025九年级数学上册第24章解直角三角形学情评估试卷（附解析华东师大版）

这是一份福建省2025九年级数学上册第24章解直角三角形学情评估试卷（附解析华东师大版），共9页。
第24章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1.cos 45°的值等于(　　)A．1 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．22．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sin A＝(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(10),10) D.eq \f(3 \r(10),10)3．某人从坡底沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为5 m，则这个坡面的坡度为(　　)A．12 B．1eq \r(3) C．30° D．60°4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为(　　)A．7 B．8 C．9 D．10 (第4题) 　　　 (第6题)5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝eq \f(\r(2),2)，则对△ABC的形状描述最准确的是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D.设∠ACD＝α，则cos α的值为(　　)A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,5)7．某公路在BC路段限速60 km/h，管理部门在A处设置了一个速度监测点．假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于(　　)A．300 m B．(100 eq \r(3)＋100)mC．200 eq \r(3) m D．100(eq \r(3)＋eq \r(2))m (第7题)　 　 (第8题) 　　 (第10题)8．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝eq \r(6)，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为(　　)A.eq \r(3)＋1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(6)－eq \r(2)9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sin A＋cos A的值为(　　)A.eq \f(\r(3)－1,2) B.eq \f(1＋\r(3),2) C.eq \f(1＋\r(2),2) D.eq \f(\r(3)＋\r(2),2)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为(　　)A．15 B．10 eq \r(3) C．5 eq \r(6) D．20二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝eq \f(12,13)，则sin A＝________. 12．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5 m，若将它沿水平方向向前推进3 m(即DE＝3 m)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为________m. (第12题) 　　 (第13题)13．如图，某市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC的坡角β＝45°且BC＝6 m，AD的坡角α＝30°，则AD的长为________m(结果保留根号)．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝20，BC＝30，则△ABC的面积为________． (第14题)　 (第15题) 　 (第16题)15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具(如图①)，小明用图①中的一副七巧板拼出如图②所示的“企鹅”图形，已知正方形ABCD的边长为4，则图②中EF的长为________．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，∠BAC＝30°，E是边AD的中点，F是CD上一点，连结EF，将△DEF沿EF折叠，使点D落在矩形内的点G处，若点G恰好在矩形的对角线上，则DF的长为________．三、(本题共7小题，共70分)17．(8分)计算：eq \r(3)cos245°－sin 30°tan 60°＋eq \f(1,2)sin 60°.18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2 eq \r(3)，b＝6，解这个直角三角形．19.(8分)如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝eq \f(4,5)，BF为边AD上的中线．(1)求AC的长；(2)求tan∠FBD的值．20．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°.(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)．①在AC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于点D到BC的距离；②作DE∥CB交AB于点E.(2)在(1)的条件下，若eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,3)，DE＝5，求CD的长．21．(10分)某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图，观景平台斜坡DE的长是20 m，坡角为37°，斜坡DE的底部D与大楼底端C的距离CD为74 m，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3 m，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.求大楼BC的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92 )22．(12分)【问题呈现】如图①，在由边长为1的小正方形组成的网格中，分别连结格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值. 【方法提示】 利用网格将线段CD平移到线段BE，连结AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE. 【问题解决】(1)图①中tan∠BPD的值为________； (2)如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连结格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，则cos∠BPD的值为________； 【思维拓展】(3)如图③，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连结AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin ∠CPD.23．(14分)单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下：解决问题：根据以上信息，求ED的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)答案一、1.B　2.C　3.B　4.B　5.C　6.A　7.B　8.B　9.B　10.C二、11.eq \f(5,13)　12.1　13.6 eq \r(2)　14.150 eq \r(3)　15.eq \r(26)　16.eq \r(3)或eq \f(\r(3),3)三、17.解：原式＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－ eq \f(1,2)×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2) ＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),4).18．解：∵a＝2 eq \r(3)，b＝6，∠C＝90°，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(12＋36)＝eq \r(48)＝4 eq \r(3)，tan A＝eq \f(a,b)＝eq \f(2 \r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.19．解：(1)∵在Rt△ACB中，cos∠ABC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5)，BC＝8，∴AB＝10，由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(102－82)＝6.(2) 如图，连结CF，过点F作BD的垂线，垂足为E.∵BF为边AD上的中线，∴F为AD 的中点．又∵AC⊥BD，∴CF＝eq \f(1,2)AD＝FD，∴CE＝DE＝eq \f(1,2)CD＝2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝eq \r(62＋42)＝2eq \r(13)，∴CF＝eq \f(1,2)AD＝eq \r(13)，∴在Rt△EFC中，EF＝eq \r(CF2－CE2)＝eq \r(13－4)＝3，∴tan∠FBD＝eq \f(FE,BE)＝eq \f(3,8＋2)＝eq \f(3,10).20．解：(1)①如图，点D即为所求．②如图，DE即为所求．(2)∵eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,3)，∴设AC＝4x，则BC＝3x，∵∠C＝90°，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5x，∴sin∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,5).∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC.如图，作DF⊥AB于点F，在Rt△DEF中，sin∠FED＝eq \f(DF,DE)＝sin∠ABC＝eq \f(4,5)，由(1)①知，DF＝CD，∴eq \f(CD,DE)＝eq \f(4,5).∵DE＝5，∴CD＝4.21．解：延长AE交CD的延长线于点M，过点A作AN⊥BC于点N，则易得四边形AMCN是矩形．∴NC＝AM，AN＝MC.在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，∴EM＝DE×sin 37°≈20×0.60＝12(m)，DM＝DE×cos 37°≈20×0.80＝16(m)，∴AN＝MC＝CD＋DM≈74＋16＝90(m)，CN＝AM＝AE＋EM≈3＋12＝15(m)．在Rt△ANB中，易知∠BAN＝42.6°，∴BN＝AN×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(m)，∴BC＝BN＋CN≈82.8＋15≈98(m)．答：大楼BC的高度约为98 m.22．解：(1)2　(2)eq \f(\r(2),2)(3)根据题意，可构造由小正方形组成的网格如图所示，取格点H，连结AH，HD，则PC∥HD，∴∠CPD＝∠ADH.易知AH＝HD，∠AHD＝90°，∴∠ADH＝∠HAD＝45°，∴∠CPD＝45°，∴sin∠CPD＝eq \f(\r(2),2).23．解：∵BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm，∴OD＝eq \f(BD,tan 64°)≈eq \f(20.5,2.05)＝10(cm)，∴OB＝eq \f(OD,cos 64°)≈eq \f(10,0.44)≈22.73(cm)，∴OB＝OC≈22.73 cm.∵∠COA＝37°，CE⊥OA，∴OE＝OC·cos 37°≈22.73×0.8≈18.18(cm)，∴DE＝OE－OD≈18.18－10≈8.2(cm)．题序12345678910答案实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．(摆线的长度变化忽略不计)如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)实验图示