吉林省2025九年级数学上册第24章解直角三角形学情评估试卷（附解析华东师大版）

这是一份吉林省2025九年级数学上册第24章解直角三角形学情评估试卷（附解析华东师大版），共11页。
第24章 学情评估卷一、选择题（每题3分，共24分）1．如图，在△ABC中，AC≠BC，∠ACB=90∘ ，CD⊥AB，垂足为D，则下列比值中不等于sin A的是（ ）（第1题）A. CDACB. BDCBC. CBABD. CDCB【答案】D2．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α ，那么滑梯长m为（ ）（第2题）A. hsin αB. htan αC. hcos αD. hsin α【答案】A3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m.当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（ ）A. 11 mB. 12 mC. 13 mD. 14 m【答案】B4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5，则EF=（ ）（第4题）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】A5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120∘ ，跨度BC=10 m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（ ）（第5题）A. 10 mB. 5 mC. 2.5 mD. 9.5 m【答案】B6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α ，且cos α=35，AB=6，则AD=（ ）（第6题）A. 203B. 10C. 8D. 163【答案】C7．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角分别为60∘ 和30∘ ，这时点F相对于点E升高了3 cm.该摆绳CD的长度为（ ）（第7题）A. 63 cmB. 33 cmC. (33+3)cmD. (63+3)cm【答案】C8．[［2025长春朝阳区月考］]如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点O为坐标原点，A(0,8)，B(-6,0)，C是斜边AB的中点，且DC⊥AB交x轴于点D.将△BCD沿x轴向右平移得到△B'C'D'，当B'C'的中点E恰好落在y轴上时，点D'的坐标为（ ）A. (416,0)B. (132,0)C. (776,0)D. (7,0)【答案】A【解析】点拨：∵A(0,8)，B(-6,0)，∴OA=8，OB=6，∴AB=OA2+OB2=10，∴cos∠ABO=OBAB=35.∵C是斜边AB的中点，∴BC=12AB=5.∵DC⊥AB，∴ 在Rt△DBC中，BD=BCcos∠CBD=535=253.由平移的性质可得B'D'=BD=253，B'C'=BC=5，∠C'B'D'=∠CBD.∵ 点E为B'C'的中点，∴EB'=12B'C'=52，∴ 在Rt△EB'O中，B'O=B'E⋅cos∠EB'O=52×35=32，∴OD'=B'D'-B'O=253-32=416，∴D'(416,0).二、填空题（每题3分，共18分）9．若α 为锐角，且sin α=22，则tan α=_ _ _ _ .【答案】110．如图，正方形网格中，A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD=_ _ _ _ _ _ .（第10题）【答案】34 11．[［2025长春南关区期中］]如图，一束光线照在坡度i=1: 3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α 是度.（第11题）【答案】3012．如图，已知P是∠AOB平分线上的一点，∠AOP=15∘ ，CP//OB交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC=6，则PD等于_ _ _ _ .（第12题）【答案】313．如图，在平面直角坐标系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=k2x在第一象限内的图象交于点B，连结BO.若S△OBC=2，tan∠BOC=12，则k2=_ _ _ _ .（第13题）【答案】814．在菱形ABCD中，AB=10，tan B=34，点M是平面内一点，CM=4，连结AM，当∠BAM=90∘ 时，AM的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】6-23或6+23【解析】点拨：当点M在菱形内部时，延长AM交CD于点E，如图①所示，∵ 四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，CD=AD=AB=10，AB//CD，∴∠AED=∠BAM=90∘ .∵tan B=34，∴tan D=AEED=34.设AE=3x，则ED=4x.在Rt△AED中，AE2+ED2=AD2，即(3x)2+(4x)2=102，解得x=2（负值舍去），∴AE=6，ED=8，∴CE=CD-ED=10-8=2，∴ME=MC2-CE2=42-22=23，∴AM=AE-ME=6-23；当点M在菱形外部时，如图②所示，易得AM=6+23.综上，AM的长为6-23或6+23.三、解答题（本大题共8小题，共78分）15．（6分）计算：（1） tan260∘+2cos 45∘2sin260∘-cos 60∘；（2） 2tan 30∘+tan 45∘-4cos 30∘ .【答案】（1） 解：原式=(3)2+2×222×(32)2-12=3+232-12=3+2.（2） 原式=2×33+1-4×32=2 33+1-2 3=1-4 33.16．（6分）如图，在△ABC中，cos B=22，sin C=35，AC=10，求△ABC的周长.解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D，在Rt△ACD中，AD=sin C⋅AC=6，∴CD=AC2-AD2=8.∵ 在Rt△ABD中，cos B=22，∴∠B=45∘ ，∴∠BAD=∠B=45∘ ，∴BD=AD=6，∴AB=BD2+AD2=62，∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=62+10+6+8=24+62.17．[［2025长春九台区月考］]（6分）小明的书桌上有一个L形台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM的夹角为9∘ 时（图①），灯带的直射宽DE(BD⊥BC,CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线的夹角为30∘ 时（图②），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数）(sin 9∘≈0.16,cos 9∘≈0.99,tan 9∘≈0.16)解：设题图①中CE与BM交于点F.由题意可得BM//AE，∵BD⊥BC，CE⊥BC，∴BD//CE，∴ 四边形BDEF是平行四边形.∴ 在题图①中有BF=DE=35 cm，在题图①的Rt△BFC中，BC=BF⋅cos 9∘=35cos 9∘ cm.当∠CBM=30∘ 时，过点C作CN⊥BM于点N，如图所示，则CN=BC⋅sin 30∘=35cos 9∘⋅sin 30∘≈35×0.99×12≈17.3(cm)，∵ 灯柱AB高40 cm，∴AB+CN≈40+17.3=57.3(cm).答：此时台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm.18．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10，AD=6，tan∠ACB=1.（1） 求BC的长；（2） 求sin∠DAE的值.【答案】（1） 解：在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，∴BD=AB2-AD2=102-62=8.在Rt△ADC中，tan∠ACB=ADDC=1，∴DC=6，∴BC=BD+DC=8+6=14.（2） ∵AE是BC边上的中线，∴BE=12BC=7，∴DE=BD-BE=8-7=1，∴AE=AD2+DE2=62+12=37，∴sin∠DAE=DEAE=137=3737.19．（7分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30∘ 方向上，再沿北偏东60∘ 方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60∘ 方向上.已知A，C相距30 n mile，求C，D间的距离（结果保留根号）.解：作CE⊥AB于点E，由题意得∠CAE=90∘-45∘=45∘ ，∠ECB=30∘ ，∠ECD=60∘ .在Rt△ACE中，∵AC=30 n mile ，∴CE=AC⋅sin 45∘=152 n mile，∴ 在Rt△BCE中，BC=CEcos 30∘=106 n mile.在△BCD中，∠CBD=30∘+60∘=90∘ ，∠DCB=∠ECD-∠ECB=30∘ ，∴CD=BCcos 30∘=202 n mile.答：C，D间的距离为202 n mile.20．[［2025长春朝阳区月考］]（8分）图①②③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，线段AB的端点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.（1） 在图①中找一个格点C，连结AC，使得AB=AC；（2） 在图②中找一点D，作∠DAB使得sin∠DAB=22；（3） 在图③中找一点E，作∠EAB使得tan∠EAB=12.【答案】（1） 解：（答案不唯一）如图①，点C即为所求.（2） （答案不唯一）如图②，点D即为所求.（3） （答案不唯一）如图③，点E即为所求.21．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，∠B=60∘ ，D为边AB的中点，连结DC，过D作DE⊥DC交AC于点E.（1） 求∠EDA的度数；（2） 如图②，若F为边BC上一点，连结DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由.【答案】（1） 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，∠B=60∘ ，∴∠A=30∘ .∵D为边AB的中点，∴DC=DA，∴∠DCA=∠A=30∘ .∵DE⊥DC，∴∠CDE=90∘ ，∴∠DEC=90∘-∠DCA=60∘ ，∴∠EDA=∠DEC-∠A=30∘ .（2） CF=3EG.理由如下：∵DG⊥DF，∴∠FDC+∠CDG=90∘ .∵∠CDE=90∘ ，∴∠GDE+∠CDG=90∘ ，∴∠FDC=∠GDE.∵∠BCD=∠BCA-∠DCA=60∘ ，∠DEG=60∘ ，∴∠BCD=∠DEG，∴△DFC∼△DGE，∴CFEG=CDED=tan∠DEC=tan 60∘=3，即CF=3EG.22．（9分）如图所示，文峰塔是安阳著名古建筑.小明所在的课外活动小组在塔上距地面25 m高的点D处，测得地面上点B的俯角α 为30∘ ，点D到塔中心轴AO的距离DE为6.5 m；从地面上的点B沿BO方向走11 m到达点C处，测得塔尖A的仰角β 为45∘ .（1） 请你根据以上数据计算塔高AO；（参考数据：3≈1.73，2≈1.41，结果精确到0.1 m）（2） 小红查阅资料知文峰塔高约38.6 m，与计算结果稍有出入，请提出一条减少误差的建议.【答案】（1） 解：作DF⊥BO于点F，由题意可得四边形DFOE是矩形，∴DE//BC，∴∠B=α=30∘ .在Rt△DFB中，DF=25 m，∠B=30∘ ，∴BF=DFtan B=25×3≈43.25(m).∵BC=11 m，OF=DE=6.5 m，∴CO=BF+OF-BC≈43.25+6.5-11≈38.8(m).在Rt△AOC中，∠ACO=β=45∘ ，∴AO=CO≈38.8 m.答：塔高AO约为38.8 m.（2） 多次测量求平均值，可以减少误差.（合理即可）23．[［2024辽宁中考］]（10分）如图①，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图②，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3 m，∠CAB=60∘ ；停止位置示意图如图③，此时测得∠CDB=37∘ ，点C，A，D在同一直线上，且直线CD与水平地面平行，图③中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.（参考数据：sin 37∘≈0.60，cos 37∘≈0.80，tan 37∘≈0.75，3≈1.73）（1） 求AB的长；（2） 求物体上升的高度CE.（结果精确到0.1 m）【答案】（1） 解：由题意得∠BCA=90∘ .在Rt△ABC中，∵AC=3 m，∠CAB=60∘ ，∴AB=3cos 60∘=6(m).答：AB的长为6 m.（2） 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=AB2-AC2=33 m，∴ 在Rt△BCD中，BD=33sin 37∘≈53(m)，∴BE=BC+AB-BD≈33+6-53=(6-23)m，∴CE=BC-BE≈33-(6-23)=53-6≈2.7(m).答：物体上升的高度约为2.7 m.24．（10分）小明遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘ ，∠D=60∘ ，AB=33，BC=23，求AD的长.小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图②）.（1） 请用小明的方法直接写出AD的长：_ _ _ _ ；（2） 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD中，tan A=12，∠B=∠C=135∘ ，AB=8，CD=2，求AD的长.【答案】（1） 7（2） 解：延长AB与DC相交于点F.∵∠ABC=∠BCD=135∘ ，∴∠FBC=∠FCB=45∘ ，∴BF=CF，∠F=90∘ .设BF=CF=x，则AF=8+x，DF=2+x.在Rt△ADF中，∵tan A=12，∴DFAF=12，即2+x8+x=12，∴x=4.经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意，∴AF=12，DF=6，∴AD=AF2+DF2=122+62=65.