高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数学案

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授课提示：对应学生用书第59页
[教材提炼]
知识点一 对数的运算性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
lg 2＋lg 5如何计算？lgeq \f(1,10)能直接计算吗？
知识梳理 如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN.
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
知识点二 对数换底公式
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
lg N与ln N之间有联系吗？
知识梳理 lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
特别地：lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．即lgab＝eq \f(1,lgba).
[自主检测]
1．lg 8＋3lg 5的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案：D
2．lg23·lg32的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(3,2) D．2
答案：B
3．ln e2＝________.
答案：2
4．lg312－lg34＝________.
答案：1
授课提示：对应学生用书第59页
探究一 对数运算性质的应用
[例1] 求下列各式的值：
(1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(2)lg2eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242；
(3)eq \f(lg 5·lg 8 000＋lg 2\r(3)2,lg 600－\f(1,2)lg 0.036－\f(1,2)lg 0.1)；
(4)lg(eq \r(3＋\r(5))＋ eq \r(3－\r(5)))．
[解析] (1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×lg 5＋lg 2＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.
(2)原式＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),4\r(3))×12×\f(1,\r(7×6))))＝－eq \f(1,2).
(3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3；
分母＝(lg 6＋2)－lgeq \r(\f(36,1 000)×\f(1,10))＝lg 6＋2－lgeq \f(6,100)＝4.
∴原式＝eq \f(3,4).
(4)原式＝eq \f(1,2)lg(eq \r(3＋\r(5))＋eq \r(3－\r(5)))2＝eq \f(1,2)lg(3＋eq \r(5)＋3－eq \r(5)＋2eq \r(9－5))＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2).
1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数．
2．注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的．
3．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5＋lg 2＝1”解题．
计算：
(1)2(lg eq \r(2))2＋lg eq \r(2)×lg 5＋ eq \r(lg \r(2)2－lg 2＋1)；
(2)lg535＋2lgeq \f(1,2)eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514.
解析：(1)原式＝lg eq \r(2)×(2lg eq \r(2)＋lg 5)＋ eq \r(lg \r(2)－12)＝lg eq \r(2)×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg eq \r(2))＝lg eq \r(2)＋1－lg eq \r(2)＝1.
(2)原式＝lg5eq \f(35×50,14)＋2lgeq \f(1,2)2eq \f(1,2)＝lg553－1＝3－1＝2.
探究二 用换底公式求对数值
[例2] [教材P126练习3变式探究]
(1)计算(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)－lgeq \f(1,2)eq \r(4,32).
[解析] (lg43＋lg83)(lg32＋lg92)－lgeq \f(1,2)eq \r(4,32)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg23,lg24)＋\f(lg23,lg28)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(lg32,lg39)))－eq \f(lg232\f(1,4),lg2\f(1,2))＝(eq \f(1,2)lg23＋eq \f(1,3)lg23)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(1,2)lg32))＋eq \f(1,4)lg232＝eq \f(5,6)lg23×eq \f(3,2)lg32＋eq \f(5,4)＝eq \f(5,6)×eq \f(3,2)×lg23×lg32＋eq \f(5,4)＝eq \f(5,4)＋eq \f(5,4)＝eq \f(5,2).
(2)计算(lg43－lg83)(lg32－lg92)．
[解析] 原式＝(eq \f(lg 3,lg 4)－eq \f(lg 3,lg 8))(eq \f(lg 2,lg 3)－eq \f(lg 2,lg 9))
＝(eq \f(lg 3,2lg 2)－eq \f(lg 3,3lg 2))(eq \f(lg 2,lg 3)－eq \f(lg 2,2lg 3))
＝eq \f(lg 3,6lg 2)×eq \f(lg 2,2lg 3)＝eq \f(1,12).
(3)计算(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg52＋lg254＋lg1258)．
[解析] (1)法一：
原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg253＋\f(lg225,lg24)＋\f(lg25,lg28)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(lg54,lg525)＋\f(lg58,lg5125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋\f(2lg25,2lg22)＋\f(lg25,3lg22)))(lg52＋eq \f(2lg52,2lg55)＋eq \f(3lg52,3lg55))＝(3＋1＋eq \f(1,3))lg25·(3lg52)＝13lg25·eq \f(lg22,lg25)＝13.
法二：
原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13lg 5,3lg 2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(lg 2,lg 5)))＝13.
换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
探究三 含附加条件的对数式的求值
[例3] (1)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645.
[解析] 因为lg189＝a,18b＝5，所以lg185＝b，于是
法一：lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg18\f(182,9))
＝eq \f(lg189＋lg185,2lg1818－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
法二：因为eq \f(lg 9,lg 18)＝lg189＝a，所以lg 9＝alg 18，
同理得lg 5＝blg 18，
所以lg3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg9×5,lg \f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9)＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a).
(2)设3a＝5b＝eq \r(15)，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值．
[解析] ∵3a＝5b＝eq \r(15)，两边取常用对数，
得alg 3＝blg 5＝eq \f(1,2)lg 15，
∴a＝eq \f(lg 15,2lg 3)，b＝eq \f(lg 15,2lg 5)，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2lg 3,lg 15)＋eq \f(2lg 5,lg 15)＝eq \f(2lg 3＋lg 5,lg 15)＝eq \f(2lg 15,lg 15)＝2.
应用换底公式应注意的两个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数．
1．将本例(1)改为：
已知lg23＝a，lg37＝b，试用a，b表示lg1456.
解析：由已知lg32＝eq \f(1,a)，lg37＝b，
lg1456＝eq \f(lg356,lg314)
＝eq \f(lg323×7,lg32×7)＝eq \f(3lg32＋lg37,lg32＋lg37)
＝eq \f(\f(3,a)＋b,\f(1,a)＋b)＝eq \f(3＋ab,1＋ab).
2．将本例(2)变为
设2x＝5y＝m，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝2，则m＝( )
A．±eq \r(10) B.eq \r(10)
C．10 D．100
解析：∵2x＝5y＝m，两边取常用对数．
得x＝lg2m＝eq \f(lg m,lg 2)，y＝lg5m＝eq \f(lg m,lg 5)，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(lg 2＋lg 5,lg m)＝eq \f(1,lg m)＝2，
∴lg m＝eq \f(1,2)，∴m＝10eq \f(1,2)＝eq \r(10).
答案：B
授课提示：对应学生用书第60页
一、对数运算性质及换底公式的拓展变形
1．换底公式的意义在于把对数的底数改变，把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．
2．几个特殊的对数换底公式的拓展变形(a＞0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈N*)
(1)lganbn＝lgab；(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab；
(3)lgab＝eq \f(1,lgba)；(4)lgab·lgbc＝lgac.
[典例] 已知f(3x)＝4xlgeq \r(2)eq \r(3)＋234，求f(2)＋f(4)＋…＋f(28)．
[解析] f(3x)＝4xlgeq \r(2)eq \r(3)＋234，
即f(3x)＝4xlg23＋234，
即f(3x)＝4lg23x＋234，
∴f(x)＝4lg2x＋234.
∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝(4lg22＋234)＋(4lg24＋234)＋…＋(4lg228＋234)＝8×234＋4(lg22＋lg24＋…＋lg228)＝1 872＋4(lg22＋2lg22＋…＋8lg22)＝1 872＋144＝2 016.
二、忽略对数的限制条件导致错误
[典例] 若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求eq \f(x,y)的值．
[解析] 因为lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，
所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，
所以(x－2y)(x＋y)＝0，所以eq \f(x,y)＝2或eq \f(x,y)＝－1.
因为x＞0，y＞0，所以eq \f(x,y)＞0，故舍去eq \f(x,y)＝－1，所以eq \f(x,y)＝2.
纠错心得 对数式中，若含字母参数，要注意其有意义的隐含条件，此题易忽略x－y＞0，x＋2y＞0，x＞0，y＞0，而出现增解eq \f(x,y)＝－1.
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解对数的运算性质.
数学抽象、逻辑推理
数学运算
2.知道换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数．
3.会用对数运算性质进行对数运算.