2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题15函数的旋转问题(4大题型)(学生版+解析)

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题型一：旋转最大、最小角度问题
题型二：函数具备旋转性质
题型三：取值与求值问题
题型四：求范围问题
【方法技巧总结】
1、若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一函数，则可以转化函数的图象与直线均不能有两个或两个以上的交点.
2、在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为
【典型例题】
题型一：旋转最大、最小角度问题
【例1】将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为 .
【答案】
【解析】由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象，
这是一个圆弧AB，圆心为，如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故答案为：．
【变式1-1】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由题设，在原点处的切线斜率，
所以切线方程为，设切线倾斜角为，则，
当绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，
则，故，显然为锐角，
所以，故的最大值为．
故选：B
【变式1-2】将曲线绕着点逆时针方向旋转后与轴相切，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，设过点的直线与曲线相切于点，则，解得，所以直线的斜率，故的最小正值是．
故选：B．
题型二：函数具备旋转性质
【例2】（2025·江西南昌·二模）对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点.
A中函数的图象为双曲线的上半部分，其渐近线方程为，所以函数与直线的图象最多有一个交点，符合题意；
B中函数与直线有两个交点，不符合题意，
C中函数与直线有两个交点，不符合题意，
D中函数与直线有两个交点，不符合题意，
故选：A.
【变式2-1】（2025·河南·二模）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有 .（填写所有正确结论的序号）
①；②；③.
【答案】①②
【解析】对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.
对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.
对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.
【变式2-2】（多选题）在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ）
A．存在“90°旋转函数”
B．“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”
C．若为“45°旋转函数”，则
D．若为“45°旋转函数”，则
【答案】ACD
【解析】对于A，如，旋转90°后为满足条件，故A正确；
对于B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；
对与C，若为旋转函数，
则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，
不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点．
故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点．
即与至多1个交点．
联立，可得．
当时，最多1个解，满足题意；
当时，的判别式，
对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故．故C正确；
对与D，同C，与的交点个数小于等于1，
即对任意的，至多1个解，故为单调函数，
由，故恒成立，即恒成立．
即图象在上方，故，即．
当与相切时，可设切点，
对求导有，故，解得，此时，故．故D正确．
故选：ACD．
【变式2-3】（多选题）（2025·高三·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ）
A．，函数都为“旋转函数”
B．若函数为“旋转函数”，则
C．若函数为“旋转函数”，则
D．当或时，函数不是“旋转函数”
【答案】BCD
【解析】对A：当旋转时与轴重合，此时个对应多个值，故A错误；
对B：将旋转后所得直线为，则只需与原函数仅有一个交点；
令，，当时，只有一个零点，所以，即，故B正确；
对C：令，当在定义域内仅有唯一解时，即，
当时，仅有一个解，故满足题意；
当时，的判别式，
对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意；故，故C正确；
对D：若是“旋转函数”，当仅有唯一解时，即，令，
，令，则
当时，方程为，得，仅有唯一解，符合题意；
当时，当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为时，，，所以可得先减后增，不符合题意；
当时，当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值也是最大值，即，则；
综上得存在时，是“旋转函数”，故D正确.
故选：BCD.
题型三：取值与求值问题
【例3】设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．3C．-3D．0
【答案】A
【解析】
对于A项，若，则构造如图1的函数图象，
使得点，根据定义可得图象上不存在关于轴对称的点，
符合函数的定义，所以的取值可能是.故A正确；
对于B项，若，构造如图2的函数图象，
使得点，根据定义可推得点，
所以有，不符合函数的定义，故B错误；
对于C项，若，构造如图3的函数图象，
使得点，根据定义可推得点，
所以有，不符合函数的定义，故C错误；
对于D项，若，构造如图4的函数图象，
使得点，根据定义可推得则点，所以.
又，所以，不符合函数的定义，故D错误.
故选：A.
【变式3-1】设D是含有数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转90°与原图象重合，则的值一定不可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】对于上一点绕原点逆时针旋转90°后对应点为，也在图象上，
所以，绕原点逆时针旋转90°后对应点为，且绕原点逆时针旋转90°后对应点为，均在图象上，
所以，在含有数1的有限实数集D中，
若，则有，若，则有，
若，则有，若，则有，
显然当时有2个y与之对应，不符合函数的定义，的值一定不可能为1.
故选：D.
【变式3-2】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕原点按逆时针方向旋转角得到点，再将点绕原点按逆时针方向旋转角得到，…，如此继续下去，得到前10个点，，，…，．若是公差为的等差数列，且点，，，…，在同一函数图像上，则角的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，是公差为的等差数列,则，
设旋转到点时该点相对于点逆时针旋转的角为
，
因为点，，，…，都在以单位圆上，
且，，，…，在函数图象上，则10个点任意两点均不关于轴对称，
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
无任意两点关于轴对称，所以A正确;
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为,所以点与关于轴对称,所以B错误;
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以与关于轴对称,所以C错误;
若，，，…，对应的旋转的角为：
，
因为，所以与关于轴对称,所以D错误;
故选:A.
【变式3-3】将曲线绕原点顺时针旋转角后第一次与轴相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，是曲线过原点的切线.
设切点坐标为，而，所以.
把切点坐标代入，得，解得，即.
故选：D.
【变式3-4】（2025·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 .
【答案】
【解析】画出函数的图象，如图1所示：
圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：
此时绕着原点旋转弧度为；
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：
此时转过的角度为，不满足题意；
若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：
此时转过的角度为；
故答案为：.
题型四：求范围问题
【例4】对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”．已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，则，，，
若函数的图象存在“完美旋转点”，
则根据“完美旋转点”的定义知在有解，
即在有解，
将上式整理得，
当且仅当，即时等号成立，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式4-1】对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”.已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，则，，，
若函数的图象存在“完美旋转点”，
则根据“完美旋转点”的定义知在有解，
即在有解，
将上式整理得，
当且仅当，即时，等号成立.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式4-2】（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ．
【答案】 是
【解析】在旋转后所曲线上任取一点，旋转前点对应的点为，
不妨设，设点，即，，
将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，
可得，即点，
即，，
因为，可得变形可得，曲线为函数，
所以，是旋转函数；
若函数是旋转函数，将函数的图象绕着原点逆时针旋转后，
不存在与轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象个以上的交点．
故不存在直线与函数的图象有两个交点，
即对任意的，方程至多一解，即至多一解，
令为单调函数，则，
因为，故对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，则对任意的恒成立，合乎题意；
当时，则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，且函数无最大值，所以此时不合乎题意；
当时，则，此时，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【过关测试】
1．双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点或；
③f（x）的值域是；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，故①正确；双曲线的顶点为，渐近线方程为，可得的图象渐近线为和，图象关于直线对称，所以的图象过点或，由图象的对称性可得，逆时针旋转60度，位于一、三象限，按顺时针旋转60度，位于二、四象限；故②正确；逆时针旋转60度，位于一、三象限，由图象可得顶点为或，不是极值点，则的值域不是，顺时针旋转60度，位于二、四象限，由图象的对称性知的值域不是，故③错误；当的图象位于一、三象限时，的图象与直线有2个交点，函数有两个零点，当的图象位于二、四象限时，的图象与直线没有交点，函数没有零点，故④错误，
故选；C.
2．设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是
A．B．1C．D．0
【答案】B
【解析】由题意可得：
问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，
旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，，，，不满足函数定义；
故选．
3．（2025·高三·上海·期中）是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个
点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（）=，，3时，
此时得到的圆心角为，，，
然而此时x=0或者x=时，都有2个y与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，
因此只有当=，此时旋转，
此时满足一个x只会对应一个y，
故答案为：C
4． 2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：
如图②，平面上有两定点，两动点，且绕点逆时针旋转到所形成的角记为，设函数，其中令，作，随着的变化，就得到了点的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先考虑与共线的蝴蝶身方向，
令，则，所以，
令，则，所以，
所以排除AC，
先考虑与垂直的蝴蝶身方向，
令，则，所以，所以排除D，
故选：B
5．（2025·浙江绍兴·三模）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为
当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.
所以的最大值为.
故选：B.
6．（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切，
则是曲线过原点的切线．
设切点坐标为，
又由，即切点处切线的斜率．
即把切点坐标代入，得，解得，
故，所以，故.
故选：D．
7．将曲线（为自然对数的底数） 绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设直线与曲线相切，设切点为，
，
则有，
，解得，所以，
所以切点为，
将曲线（为自然对数的底数） 绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，
则.
故选：C.
8．（2025·河北邯郸·二模）已知曲线绕原点顺时针旋转后与轴相切，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】由题意可知，未转动前曲线与直线相切，由此设切点为，求切点处导数，并令其为2，求出，即可求出的值.由已知得：曲线与直线相切.设切点为，因为，
所以①，又切点满足：②，①②两式联立解得：，.
故选：D.
9．（多选题）（2025·江西赣州·一模）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】BD
【解析】由题意可得，问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合；
设处的点为，
∵的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，
∴旋转后的对应点也在的图象上，
同理旋转后的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点；
对于A，当时，与正半轴夹角为，
所以，此时，，此时，不满足函数定义，故A错误；
对于B，
当时，与正半轴夹角的正切值为，此时每个只对应一个，满足函数定义，故B正确；
对于C，当时，与正半轴夹角为，
即，此时，，此时，不满足函数定义，故C错误；
对于D，
当时，与正半轴夹角为，此时每个只对应一个，满足函数定义，故D正确；
故选：BD．
10．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ）
A．存在旋转函数
B．旋转函数一定是旋转函数
C．若为旋转函数，则
D．若为旋转函数，则
【答案】ACD
【解析】对A，如满足条件，故A正确；
对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；
对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得.
当时，最多1个解，满足题意；
当时，的判别式，对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确；
对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数.
又，故，即恒成立.
即图象在上方，故，即.
当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确.
故选：ACD
11．（多选题）在单位圆上任取一点，圆与轴正向的交点是，设将绕原点逆时针旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数
B．在为增函数，在为减函数
C．对于恒成立
D．函数的最大值为
【答案】ACD
【解析】由题意可知：，，即，，
显然是偶函数，是奇函数，A对．
显然在时单调递增，单调递减，B错．
，
，则，，，C对．
，因为，
所以，令，
所以或，在这一个周期内或或
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，D对，
故选：ACD
12．（多选题）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABCD
【解析】
如上图所示，分别是绕着原点逆时针方向旋转，，，，所得到的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
13．（2025·高三·上海闵行·期中）函数的图象绕着原点旋转弧度，若得到的图象仍是函数图象，则可取值的集合为 .
【答案】
【解析】
的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：，
其中，.
在图象绕原点旋转的过程中，当从图（1）的位置旋转到，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故.
在图象绕原点旋转的过程中，当从图（2）的位置旋转到轴下方，而在轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象，
故不符合.
在图象绕原点旋转的过程中， 在轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故符合.
故答案为：.
14．函数的图象绕着坐标原点旋转弧度，若仍是函数图象，则可取值的集合为
【答案】
【解析】以对勾函数的渐近线为参照并结合其为奇函数，利用数形结合即可得到时，绕着坐标原点旋转弧度时，可取值的集合.根据对勾函数的性质可知函数的渐近线方程为和，
若仍是函数图像，则函数的图象与垂直于轴的直线仅有一个交点，结合图象可知
两条渐近线的夹角为，以两条渐近线为参照，结合函数为奇函数，可知时逆时针旋转时，仍为函数.
故答案为：
15．设函数．
（1）该函数的最小值为 ；
（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是 ．
【答案】 2 ，
【解析】（1）先画出函数的图象
由图可知，该函数的最小值为 2．
（2）由图可知，
当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，
曲线都不是一个函数的图象
则的取值范围是：，．
故答案为：2；，．
16．已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 .
【答案】
【解析】利用运动是相对的，
函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），
可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，
即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为，
故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转，
则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转，
故的最大值为，
故答案为：
17．设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】画出函数的图像，如图，在轴正半轴上取一点，则，
由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，旋转所得的图像与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线不是一个函数的图像，
故的最大值是
故答案为：.
18．（2025·高三·上海浦东新·期中）我们将函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象的函数称为函数，为其旋转角，若函数为函数，则其旋转角所有可取值的集合为
【答案】
【解析】为如图所示的一段圆弧，其所对圆心角，
若该函数图象绕原点逆时针旋转后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于轴的切线，且切点异于弧端点，
由图象可知：若，则当点自向运动（不包含）时，图象存在垂直于轴的切线，此时；
若，则当点自向运动（不包含）时，图象存在垂直于轴的切线，此时；
若函数为函数，其旋转角所有可能值的集合为：.
故答案为：.