2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题16指对幂比较大小问题(6大题型)(学生版+解析)

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题型一：含变量问题
题型二：构造函数
题型三：数形结合
题型四：放缩法
题型五：同构法
题型六： 抽象函数问题
【方法技巧总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
【典型例题】
题型一：含变量问题
【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知实数满足，，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，B，若有一个为零，则它们都为零，此时A，B均成立；
若，设，则且即，
故，则，否则，这显然不成立，故，，
当时，因，即，A错误；
当时，因，
故，故B错误；
对于C，D，设，则且，则，
即，则，否则，这显然不成立，
故，则
故，
当时，，因，故，故C不成立，
而，
设，则，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上为单调递增，
故，
又，则，故D成立.
故选：D.
【变式1-1】（2025·吉林·模拟预测）满足条件，且的一组为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【解析】设，，，，
，，
结合选项，ABC不符合，D符合，
故选：D．
【变式1-2】已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，可得；
则，即，
又，即，
易知指数函数单调递减，可得，
又幂函数单调递增，可知，
即可得；
因此可得.
故选：D
题型二：构造函数
【例2】已知，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
【变式2-1】（2025·四川自贡·一模）若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】显然，即，而，
设，求导得在上单调递增，
则，即当时，，因此；
设，求导得，
令，，
则函数，即在上单调递增，，
即函数在上单调递增，于是，则当时，，
从而，而，即有，
所以.
故选：A
【变式2-2】（2025·四川自贡·一模）若，则满足的大小关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于，所以.
设，
在上单调递增，
所以，所以当时，，
则，即.
设，
，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
而，所以，所以.
故选：A
题型三：数形结合
【例3】设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】AB选项，画出和的函数图象，如下：
显然，
，，
由于，故，
结合图象可知，，故，A错误；
由于，故，
结合图象可知，B正确；
C选项，，，两式相减得
，故，C错误；
D选项，由C知，，故，
又，在上单调递减，
故，D错误.
故选：B
【变式3-1】（2025·高三·广东广州·开学考试）已知函数，，若，则下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可得，即，
在同一坐标系中分别绘出函数，，的图象，
由，可知，由，可得，
联立，解得，
因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，
则，，且，，
对于A，，故A错误；
对于B，由，，
则，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
【变式3-2】（2025·吉林·三模）已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，当时，，
故在上递增，在上递减，故，
所以，故，故，
故的图像在的下方.
∵
∴，
如图，为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
由图知，，而，
由为增函数得，故，故A，B选项错误.
由得，．
∵与的图象关于直线对称，
∴点和关于对称，且，，
∴且，
∴，故C选项错误.
∵，∴，故D选项正确．
故选：D.
【变式3-3】设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
所以，
因为，，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，
又，，所以，所以在上单调递增，
又，，所以存在使得，所以最大，
因为，所以，
，，
又，
.
故选：B．
题型四：放缩法
【例4】（2025·福建厦门·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，.
∵函数在为减函数，
∴，即，
∵函数在为增函数，
∴，即，∴.
∵，，
∴，
∵，∴，
由得，，由得，，
综上得，.
故选：A.
【变式4-1】已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c
【答案】D
【解析】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，综上有.
故选：D
【变式4-2】（2025·江西赣州·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题设，在R上单调递减，则，在定义域上单调递增，则，
所以，则，即，A，B错；
由在上单调递增，则，故，
对于且，则，
所以在上单调递减，则，
所以，C对；
当，此时，D错.
故选：C
【变式4-3】已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由三角函数线可得：不等式，
则，
又函数为增函数，为减函数，
则，
所以，
综上所述：，
故选D．
题型五：同构法
【例5】（2025·四川成都·三模）若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知，将等式进行移项可得.
根据对数运算法则，进一步变形为.
因为，则，
所以，
令，对求导可得，所以在上单调递增.
因为，，，
所以，
根据的单调性可知，即，
再根据对数函数的性质，所以，C错，D对；
若，此时，且，
而，
所以，则，此时，排除A，
若，此时，且，
若时，，必有，排除B；
故选：D.
【变式5-1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．无法确定，的大小
【答案】C
【解析】令，则，
当时，，，
故恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理得，
令，则，
由上面的求解可知在上单调递增，
且存在，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故零点，使得，
所以.
故选：C
【变式5-2】（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
即．
因为，，所以，即，
所以，
且．
因为函数在上单调递增，
又，
所以，
即，
故，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：A．
题型六： 抽象函数问题
【例6】已知函数的定义域为，对任意、，有，且当时，．当时，设，，则（ ）
A．、大小无法确定B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，得，所以．
令得，所以．
令，得，则，所以，是偶函数，
所以．
令，则．
设，则，且，所以，
则，所以在上单调递增．
当时，，所以，即，
即，即，
故选：B．
【变式6-1】（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由①，有关于直线对称；
由②，令，则，有关于点对称；
则，又因为，则，
则，则，则，
则的周期为12，故；
由③，知在单调递增，关于点对称，
在单调递增，又在上连续，
在单调递增，故有，
即．
故选：C.
【过关测试】
1．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数，则下列比较大小正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由可得函数的定义域为，
由题意知，
令函数，且，
则，即在单调递增，所以，
故在区间上恒成立，则在上单调递减，
所以，由函数的单调性可知.
故选：B
2．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
综上，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故选：B.
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，在单位圆O中，，不妨设，
作于C点，则弧的长度，
由图易得，，即，
所以，
设，，
所以，
再令，，
，
当时，，，，
所以，
则，在单调递减，
，所以，即，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，
所以当，，即，
因为，
所以即，
所以，
故选：D.
4．（2025·四川自贡·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，
，则，
又，，
.
故选：C.
5．（2025·辽宁·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
设，
则，
设，则，
令，得，
所以函数在上单调递减，又，
所以当时，，则，
此时函数在上单调递增，又，
所以，则，即；
又，，则，
所以.
故选：D.
6．（2025·高三·江苏淮安·开学考试）已知是奇函数，实数、均小于，为自然对数底数，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对任意的，，则函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，可得，所以，，
，则函数为奇函数，符合题意；
因为，，
则，，
因为，则，
所以，即，即，
即，
因为，，则，则，故，即，
又因为，即，可得或，
则或，即，同理可知，，故.
故选：D.
7．（2025·江西赣州·一模）已知，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由换底公式等价变形得：，
因为，两边取以7为底的对数可得：，
又因为，两边取以7为底的对数可得：，
可知，
由，可得，
由，可得，
从而可得，
故选：C.
8．（2025·四川·一模）已知正实数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，故，即，
因为，所以；
又，结合，可得，
而，
即得，即，则必有，
则，即选项A中不等式成立，
故选：A
9．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
构造函数，
令，则在上单调递减，
，
故，所以在上单调递减，
，
，
构造函数，
令，则在上单调递减，
，
故，所以在上单调递减，
，
故．
故选：C.
10．已知，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，则函数是偶函数，
当时，，任意，
，，则，于是，
而，因此，函数在上单调递增，
又
则，所以.
故选：B
11．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知、均在和之间，
，于是，
当时，令，则，
所以在上为减函数，
故，故，
所以，
，于是.
所以.
故选：C
12．已知是函数的零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A，函数为单调递增函数，
且，，故零点，错误；
B，是函数的零点，则，
变形可得，两边同时取对数可得，正确；
C，是函数的零点，则，
则，故，
又，则，根据对勾函数图象与性质知，
则，错误；
D，，则，则，错误．
故选：B
13．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以；
因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；
构造函数，则，
令，则，
显然在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
从而，故有，整理得，
所以，故．
故选：B
14．（多选题）（2025·江苏·三模）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，∵，
，
∴，故A错误；
对于B，记，，则，
记，，则，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
而，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，，所以，
所以，，，故，故B正确；
对于C，记，则，
令，得；令，得；
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以对任意，都有，即恒成立，
令，，所以，
对于函数，，因为恒成立，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
因为，即，所以，
因为，
所以，故C正确，
对于D，令，若，令，
，由解得：，解得：，
所以在上单调递减；上单调递增，所以，
记，因为，
所以在上单调递增，因为，
所以，即，
所以，则，故D错.
故选：BC.
15．（多选题）若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】先证明结论：对任意，，有；
证明如下：因为，所以为减函数，
所以，即，
设，即，则为减函数，
所以，即，
从而，也就是，
当时，可得，A正确，B错误；
应用上面的结论可得：
，故D正确，C错误.
故选：AD
16．（多选题）（2025·安徽安庆·二模）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】设函数，显然为增函数，
，由已知，故，故A正确；
由，有，故，
则，故，故B正确；
由，得，故，故C错误；
由得，则，
由于，得，故D正确.
故选：ABD.
17．（多选题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由，可得，则，
对于A，由是增函数，是减函数，可得，
故，故A正确；
对于B，因为，所以，
又在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
所以，则有，故B错误；
对于C，由，又在区间上单调递减，
可得，故有是减函数，则，
又由在上是增函数可得，，因此，故C正确；
对于D，因为在上是增函数，所以，又是减函数，得，
因此，两边取对数可得，故D正确.
故选：ACD．
18．（多选题）已知实数a，b满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】令，
因为，，且在内单调递增，
由零点存在定理得在区间内存在唯一零点，
所以，由，得，A正确：
令，
因为在区间内单调递减，又，
故当，，所以函数在区间内无零点，
方程在区间内无解，B错误；
由，得，考虑到函数单调递增，
比较与的形式，可得，所以，D正确；
由，得，将其代入到中，得，即，C错误.
故选：AD
19．（多选题）已知，下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】令，在同一直角坐标系中作出的图象，如图1，
当时，，当时，，
当，由图可得，
令，在同一直角坐标系中作出的图象，如图2，
当时，，所以时，，
当时，，，
当，由图可得，所以选项A正确，选项B错误，选项C正确
对于选项D，因为，所以，所以选项D正确，
故选：ACD.
20．（多选题）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由，，得，
又函数在上单调递增，且，所以，A错误；
对于B，，
且，所以，则，B正确；
对于C，由指数函数在上单调递增，所以，C正确；
对于D，由指数函数在上单调递减，且，
即，所以，D正确.
故选：BCD.
21．（多选题）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题意可得，
令函数，易知在上单调递增，
由可得，即可得；
对于A，由，可得，故，故A正确；
对于B，分别取，，则故B错误；
对于D，分别取，，，故D错误；
对于C，因为，，则 ，故C正确.
故选：AC．
22．（多选题）若，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，则，
又由于，所以，，，则，故B正确；
因为，所以，故C正确；
当，，时，可，故A错误；
当，，时，，故D错误.
故选：BC.
23．（多选题）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，，
所以，故A错误；
对于B，因为，所以，又，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，令，当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
24．（多选题）（2025·湖北·一模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】，，
，
令，，
则，在上单调递减，
所以，即，故正确；
因为，所以，
令，，
则，在上单调递减，所以，
即，故正确，
因为，，所以，故正确.
故选：.
25．（多选题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，
设，
所以，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以时，，
所以，即，
所以，所以,A正确；
令，
则，
当时，，函数在单调递增，
所以，
即，,B错误；
令，
则
,
单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以单调递减,
,
即，,C正确；
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，
即，,D正确.
故选：ACD.
26．（多选题）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A中，因为，可得，又因为，所以，
可得，解得，所以A不正确；
对于B中，由，则，则，
当且仅当，即时，等号成立，因为所以，所以B正确，
对于C中，由函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则，即，
当且仅当时，等号成立，
因为时，因为，可得，
所以，即，所以C正确；
对于D中，由，所以，可得，所以D正确.
故选：BCD.
27．（多选题）已知m，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由，得，，则，
令且，则，即在（1，）上递增，所以；
由，则，而，则，
令且，则，即在（0，）上递增，
所以，即，
综上可知n是与交点横坐标，m是与交点横坐标，
由于与互为反函数，其图象关于直线对称，
图象也关于对称，
所以，且，故．故选项AC正确.
故选：AC．
28．（2025·高三·河北衡水·开学考试）研究发现利用函数的单调性，可以比与的大小，请作出你的结论： ．（用填空）
【答案】
【解析】已知，得，
显然当时，，此时单调递增，
令，解得或
故只需要比较与的大小即可；
构造函数
得
显然当，恒成立，故函数单调递减，
所以，即
故，
显然，
又因为函数在时单调递增，

即.
故填：
29．已知函数，若，则的大小关系为 .
【答案】
【解析】因为，
则，
则关于直线对称，
当时，，
根据复合函数单调性知在上单调递减，
且在上也单调递减，
则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增.
令，则，，
所以在上单调递增，且，所以即.
令，则，
设，，
所以单调递减且，因此，
所以单调递减且，所以，即.
由得，所以.
又因为，且，
所以.
设，，则，
则在上单调递增，则，
即，即在上恒成立，
即，所以.
所以，则，
故，而，
即.
故答案为：.