2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题13倍值函数(2大题型)(学生版+解析)

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题型一：倍值函数的判断
题型二：求参数范围问题
【方法技巧总结】
函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称为“倍值函数”．
【典型例题】
题型一：倍值函数的判断
【典例1-1】（多选题）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【典例1-2】已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 .
①. ②.
③. ④.
【变式1-1】已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（ ）.
A．B．
C．D．
【变式1-2】设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（ ）
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数不存在“和谐区间”
题型二：求参数范围问题
【典例2-1】对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则a的取值范围是 ．
【典例2-2】设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍增函数”．若函数（其中）为“倍增函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】已知是常数，如果函数满足以下条件：①在定义域内是单调函数；②存在区间,使得，则称为“反倍增三函数”.若是“反倍增三函数”，那么的取值范围是 .
【变式2-3】设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（且）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 .
【过关测试】
1．（2025·高三·内蒙古赤峰·期中）设函数的定义域为，若满足：在内是单调函数，且存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（，）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数，（）是“成功函数”，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·江西·一模）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·云南昆明·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足：
①在区间上是单调函数；
②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”
已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·吉林·三模）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
8．（2025·高三·山东德州·期中）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（ ）
A．，B．
C．D．
9．（2025·北京通州·三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2025·高三·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数：（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．（多选题）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当时，有，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（多选题）设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足：
①在上单调
②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”．
下列说法正确的是（ ）
A．区间是的一个“和谐区间”
B．函数的所有“和谐区间为，，
C．若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是
D．函数存在“和谐区间”
17．（多选题）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（ ）
A．函数有3个“和谐区间”；
B．函数，存在“和谐区间”
C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为
D．若函数有“和谐区间”，则实数的取值范围为
18．（多选题）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
19．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是 .
20．给出下列四个命题:①命题“”为真，则实数的范围是；②设，则“”是“”的充要条件；③关于的方程，存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④函数的定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是；其中真命题有 （填序号）
21．若区间满足：（1）函数在区间上有定义且单调；②函数在区间上的值域为，则称区间为函数的优越区间．若函数存在优越区间，则实数的取值范围是 ．