2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题14函数不动点问题的综合应用(4大题型)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题14函数不动点问题的综合应用(4大题型)(学生版+解析)，文件包含2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题14函数不动点问题的综合应用4大题型教师版docx、2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题14函数不动点问题的综合应用4大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
题型一：函数不动点的判断
题型二：求参数的范围
题型三：利用函数不动点的性质解题
题型四：判断变量的范围问题
【方法技巧总结】
函数不动点指满足​的点，即函数图像与直线交点的横坐标。
解题时可分三步：①转化方程：将原问题转化为的形式；
②求解方法：利用因式分解、图像法或迭代法求解，如高次方程可通过拆分项或换元降次处理；
③验证解：检查解是否符合定义域等条件。
关键技巧与注意事项：
单调性等价性：若函数单调递增，则不动点与稳定点（满足的点）完全等价。
【典型例题】
题型一：函数不动点的判断
【典例1-1】对于连续函数，若，则称为的不动点.下列所给的函数中，没有不动点的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2025·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Bruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2025·陕西西安·三模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：求参数的范围
【典例2-1】对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为函数的“稳定点”．已知的稳定点都是它的不动点，则实数的范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【典例2-2】给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点;若实数使得，则称为函数的次不动点.若函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】对于函数，若存在，则称为的不动点．若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】对于函数，若存在，则称为的不动点.若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：利用函数不动点的性质解题
【典例3-1】（2025·广西柳州·模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2025·安徽阜阳·二模）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式3-1】（2025·河南郑州·一模）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式3-3】（2025·河北衡水·一模）设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
题型四：判断变量的范围问题
【典例4-1】（多选题）（2025·高三·湖南娄底·期末）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4-2】（2025·山东菏泽·一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（ ）
A．B．C．D．
【过关测试】
1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．对于连续函数，若，则称为的不动点．下列所给的函数中，没有不动点的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·河南开封·一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点.设，若有两个不动点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选题）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A．为“不动点”函数
B．的不动点为
C．恰好有两个不动点
D．若定义在上仅有一个不动点的函数满足，则
8．（多选题）已知函数，若存在，使得，则称为函数的不动点.下列函数中，有且只有一个不动点的函数为（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选题）对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.则下列结论正确的是（ ）
A．函数有且只有1个不动点
B．函数有且只有1个不动点
C．函数有2个不动点
D．函数有3个不动点
10．对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是 ．
11．对函数，满足的实数称为的不动点设，其中且有下列四个结论：
①当时，函数仅有一个不动点；
②当时，函数仅有一个不动点；
③当时函数有两个不动点；
④当时函数有两个不动点.
其中，所有正确结论的序号是 .
12．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．若，函数总存在不动点，则实数的取值范围是 ；若，且，则实数的取值范围是
13．（2025·高三·上海·开学考试）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ．
14．设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 .
15．设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 .
16．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 .