第11讲 导数与函数零点专题讲义-2026年高考数学二轮复习导数专题（新高考通用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23759" 思维导图 PAGEREF _Tc23759 \h 2
\l "_Tc25433" 高考分析 PAGEREF _Tc25433 \h 2
\l "_Tc14053" 学习目标 PAGEREF _Tc14053 \h 2
\l "_Tc13300" 知识要点 PAGEREF _Tc13300 \h 3
\l "_Tc3614" 解题策略 PAGEREF _Tc3614 \h 6
\l "_Tc8782" 题型归纳 PAGEREF _Tc8782 \h 8
\l "_Tc31139" 题型01：一个零点问题 PAGEREF _Tc31139 \h 8
\l "_Tc1061" 题型02：两个零点问题 PAGEREF _Tc1061 \h 10
\l "_Tc3726" 题型03：三个零点问题 PAGEREF _Tc3726 \h 13
\l "_Tc7990" 题型04：判断零点个数 PAGEREF _Tc7990 \h 16
\l "_Tc5258" （一）直接求导 PAGEREF _Tc5258 \h 16
\l "_Tc23000" （二）直接求导-隐零点 PAGEREF _Tc23000 \h 17
\l "_Tc2179" （三）分开成两个函数 PAGEREF _Tc2179 \h 19
\l "_Tc30064" （四）分离参数 PAGEREF _Tc30064 \h 21
\l "_Tc9674" 题型05：最值函数的零点问题 PAGEREF _Tc9674 \h 22
\l "_Tc18825" 题型06：函数的图象与函数零点问题 PAGEREF _Tc18825 \h 30
\l "_Tc12628" 题型07：同构法解零点问题 PAGEREF _Tc12628 \h 34
\l "_Tc27791" 题型08：零点差问题 PAGEREF _Tc27791 \h 40
\l "_Tc24575" 题型09：割线法切线法与零点 PAGEREF _Tc24575 \h 43
\l "_Tc24445" 巩固提升 PAGEREF _Tc24445 \h 45
\l "_Tc14343" 高中函数零点【考题归纳】 PAGEREF _Tc14343 \h 46
\l "_Tc15370" 题型01：判断函数零点所在区间 PAGEREF _Tc15370 \h 46
\l "_Tc3854" 题型02：二分法 PAGEREF _Tc3854 \h 48
\l "_Tc8462" 题型03：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc8462 \h 49
\l "_Tc4444" 题型04：比较零点大小 PAGEREF _Tc4444 \h 51
\l "_Tc14132" 题型05：求由零点组成代数式的值或者取值范围 PAGEREF _Tc14132 \h 53
\l "_Tc25679" 题型06：根据零点个数或者区间确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc25679 \h 55
\l "_Tc14403" 题型07：与嵌套函数有关的零点问题 PAGEREF _Tc14403 \h 57
1. 考纲要求：掌握导数研究函数单调性、极值/最值的方法，结合零点存在性定理解决函数零点个数判定、参数范围求解、零点相关证明问题，考查分类讨论、数形结合、转化与化归三大数学思想。
2. 命题趋势：高考高频压轴考点（选填最后2题/解答题第21/22题），近5年全国卷/新高考卷考查频率超80%；载体以含参初等函数为主（融合ex、\ln x、二次/三次函数），题型兼具基础性与综合性，难度中档偏上→压轴，新高考更侧重“多方法求解”与“跨模块融合”（如结合不等式、恒成立问题）。
一：基础目标（全员掌握，保底得分）
1. 牢记零点存在性定理核心条件，能判断不含参初等函数的零点个数，掌握“求导→判单调→求极值→分析端点趋势”的基础步骤。
2. 熟练求导公式（含复合函数、分式/根式函数），能准确划分函数单调区间、求解极值/最值，无求导计算错误。
3. 掌握参变分离法的基础应用，能将简单含参零点问题转化为“求函数值域+数形结合”，求解参数范围。
4. 能准确分析常见函数（ex、ln x、多项式函数）的端点趋势，熟记x→0/+∞/-∞时的函数符号变化规律。
二：提升目标（重点掌握，突破中档）
1. 能根据题型选择最优解题方法（参变分离/分类讨论/数形结合），对不可分离的含参函数，按“f’(x)=0临界点的存在性/位置”合理分类讨论，无遗漏/重复。
2. 掌握“对数单身狗、指数找基友”的化简技巧，简化求导过程，快速处理含e^x、\ln x的复合函数零点问题。
3. 能证明函数唯一零点，完成“存在性（零点存在性定理）+唯一性（单调性证明）”的完整论证，步骤规范。
4. 能结合函数图像，将零点个数转化为“曲线与直线的交点个数”，快速验证参数范围的结论，提升解题效率。
三：压轴目标（拔高掌握，冲刺高分）
1. 能解决零点与极值点偏移、恒成立、不等式证明的融合问题，掌握构造新函数的核心技巧（作差、放缩、换元）。
2. 能处理含多参数、高次多项式+超越函数的复杂零点问题，精准分析极值点的个数、符号，结合端点趋势判定零点个数。
3. 能证明零点的范围/大小关系，结合函数单调性与放缩法，推导零点与定值的不等关系，完成严谨的逻辑论证。
4. 具备应试答题思维，能按高考阅卷标准踩点答题，规避定义域、等号取舍、趋势分析等高频失分陷阱，步骤简洁且完整。
知识点一：判断、证明或讨论函数零点个数的方法
利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)1在(0,+∞)的增长速度是“爆发式”的，
②幂函数y=xnn>0在(0,+∞)的增长速度较快，指数n越大，增长速度越快．
③一次函数y＝kx+b(k>0)的增长的速度不变，k越大，其增长得越快．
④对数函数y=lga⁡x(a>1)在(1,+∞)的增长速度很慢.
2. 极限
对于某函数y=f(x)，“当x→a时，y趋向什么”属于极限问题，本质是求limx→af(x).
以下举几个例子，大家细品下，
① f(x)=ex，当x→0时，y→e0=1；即函数y=ex能取到0，直接代入便可；
② fx=1x，当x→+∞时，y→0；可想象下x取一很大的数10000，对应函数值y=110000很小，接近0；
③ fx=lnxx2，当x→+∞时，分子lnx→+∞，分母x2→+∞，那lnxx2趋向什么呢？
因为函数y=lnx较函数y=x2在(0,+∞)增长得慢很多，所以当x→+∞时，lnxx2→0；
这需要了解函数间在某区间的增长速度的比较；
④ fx=sinxx，当x→0时，分子sinx→0，分母x→0，那sinxx趋向什么呢？
此时y=x与y=sinx在x=0附近的增速在高中无法确定，
其实x→0时，sinxx→1的，为什么呢？(用洛必达法则可求，但在高中用导数的定义也可求)
其实limx→0sinxx=limx→0sinx−0x−0=limx→0g(x)−f(0)x−0=g'0=1，(gx=sinx,g'x=csx)
如下图
方法技巧
1.利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
2.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
3.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
4.利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
一、通用解题总策略（三步核心法）
所有零点问题均围绕“单调性→极值/最值→端点趋势”展开，三步闭环解题，无遗漏核心逻辑：
1. 定调：求导化简，划分函数单调区间，明确极值点/最值点；
2. 核心：计算极值/最值，判断其与0的大小关系（零点问题的核心判定依据）；
3. 补界：分析定义域端点的函数趋势（x→0+/+∞/-∞），结合零点存在性定理定零点个数。
核心原则：单调函数零点数为0或1；非单调函数由“极值符号+端点趋势”共同决定。
二、分题型精准解题策略（按高考考频排序）
题型1：不含参函数零点个数判定（基础）
策略：直接套用三步核心法，无分类讨论，重点抓极值符号和端点趋势，快速判定。
速判结论：
题型2：含参函数零点个数求参数范围（核心，高考高频）
按“能分离先分离，不能分离再分类”原则选方法，优先参变分离（得分率高、步骤简）。
方法1：参变分离法（最优解，占高考此类题70%）
适用场景：能将f(x)=0等价变形为a=g(x)（无漏根/增根，分母不含参）；
解题策略：
1. 分离：等价变形为参数单独在一侧，记右侧为g(x)；
2. 研g(x)：求g(x)的单调性、极值、值域、端点趋势，画简易图像；
3. 数形结合：零点个数=直线y=a与y=g(x)的交点个数，直接定a的范围。
关键技巧：分离后优先化简g(x)，含\ln x/e^x用“对数单身狗/指数找基友”简化求导。
方法2：分类讨论法（必备，适用于不可分离型）
适用场景：f(x)=0无法分离参数（如ex=ax2），或分离后g(x)求导复杂；
解题策略：
1. 定分类标准：以f’(x)=0的临界点是否在定义域内/临界点的大小为唯一标准，不重复、不遗漏；
2. 逐类分析：对每类参数范围，用三步核心法分析f(x)的单调、极值、端点趋势；
3. 列不等式：根据题意的零点个数，列极值与0的不等关系，求解参数范围；
4. 验证临界：参数范围的等号需验证（极值=0时是否满足零点个数）。
方法3：数形结合直接拆分法（辅助/选填速解）
适用场景：f(x)=0可拆为h(x)=φ(x)，且h(x)、φ(x)图像易分析（如ex=kx+1、\ln x=ax）；
解题策略：分别分析h(x)、φ(x)的单调、极值、趋势，画草图看交点个数，定参数范围。
题型3：零点相关证明（压轴，高考常考）
围绕“存在性+唯一性”展开，证明类问题需步骤严谨、逻辑闭环，无跳跃。
子题型3.1：证明函数有唯一零点
策略：存在性+唯一性双证明，缺一不可：
1. 存在性：找两点x1,x2，使f(x1)·f(x2)2x_0）
策略：对称构造法，步骤固定：
1. 求f(x)的极值点x0，设x10且a1，求导g'x=1x−a=1−axx，分a≤0，a≥1， 00，则m'x=ex−2，
当x∈0,ln2，m'x0，即φ'x>0，
所以φx在0,+∞上单调递增，
又φ0=0，所以φx>0，则ex−1>x2，所以e1a−1>1a2，则1−e1a1，求导g'x=1x−a=1−axx，分a≤0， a≥1 0φ(1)=0，
所以φ(x)=0在1,+∞上无解；
当a0恒成立，即ϕ(x)=φ'(x)递增，
所以φ'(x)>φ'(1)=e+a>0，故φ(x)递增，此时φ(x)=0在1,+∞上无解；
ii.当a0，ϕ(x)递增；
由ϕ(1)=e+a0，φ(x)递增；
由于φ(1)=0，x趋向正无穷时φ(x)趋向正无穷，
所以φ(x)在(1,x1)上恒负，x1,+∞上仅有一个零点，此时满足题设；
综上，a1时，ex>x2；
(2)当01，则φ'x=ex−2>0，
所以φx在1,+∞上单调递增，所以g'x>e1−2>0，
所以gx在1,+∞上单调递增，gx>e1−1>0，故当x>1时，ex>x2.
（2）函数fx的定义域为0,+∞，f'x=1−xex+a1x−1=1−xex+a⋅1−xx=1−x1ex+ax.
因为a>0，1ex+ax>0，令f'x>0，得00在0,+∞上恒成立，所以t=xex在0,+∞上单调递增，
故t>0，所以gx=axex−lnxex有两个零点等价于Tt=at−lnt有两个零点，
等价于a=lntt有两个不同的实数解，等价于y=a与h(t)=lntt有两个交点，
则h'(t)=1−lntt2，h'(t)>0得00)，
（ⅰ）当x≥2,f'x0；当x∈1,2,g'x0，则cx1+k−2k=1−k，
所以x1x3>2−k，所以原命题得证.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
【典型例题2】已知fx=2lgax−ex3(a>0且a≠1).
(1)试讨论函数fx的单调性；
(2)当a>1时，若fx有三个零点x1,x2,x3.
①求a的范围；
②设x10⇔00，函数f(x)=xlnx−asinx+1.
(1)证明：f(x)在(0,π)上有唯一的极值点;
(2)当a=2时，求f(x)的零点个数.
【答案】(1)证明见详解析(2)fx在0,+∞上有两个零点.
【解析】(1)对函数求两次导数，判断导函数的单调性，根据零点存在性定理，判断原函数的单调性性，进而得到证明；
(2)结合（1）的结论及极小值的定义可得：fx0≤f10
由零点存在性定理知，存在唯一x1∈0,π，有f'x0=0
从而fx在0,x0上单调递减，在x0,π上单调递增，
故x0为fx在0,π上的唯一极值点.
（2）当a=2时，fx=xlnx−2sinx+1
当x∈0,π时，由（1）可知，fx在0,x0上单调递减，在x0,π上单调递增，
又注意到x→0+，fx→1，且fπ=πlnπ+1>0，f1=1−2sin12−2sinx≥0，
故fx在π,+∞上无零点.
综上，fx在0,+∞上有两个零点.
【点睛】(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f'(x0)=0，且在x0左侧与右侧f'(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
【典型例题2】已知函数fx=x−2sinx−lnx.（参考值：cs2≈-0.416）
(1)证明：fx在0,π2上有唯一的极小值点；
(2)试研究fx零点的个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)3个零点
【解析】（1）根据函数的零点定理和导数的正负即可确定极小值点；（2）分类讨论并结合二次求导、零点定理、不等式放缩等方法即可求解.
（1）当x∈0,π2时，fx=x−2sinx−lnx，
∴f'x=1−2csx−1x,f'x在0,π2上单调递增
又∵f'π3=−3π0
∴fx在0,π2上有唯一的极小值点t.
（2）∵fx=x−2sinx−lnx=x−2sinx−lnx(x>0)x−2sinx−ln−x(x0时，fx=x−2sinx−lnx，分3种情况讨论：
①当x∈0,π2时，f1e2=1e2−2sin1e2+2>0,fπ3=π3−3−lnπ30,gx递增∴gx>g3π2=3π2−2−ln3π2>92−2−lne2=12>0
∴fx在x∈3π2,+∞上无零点.
当x2sin5π6−14=0,h'−π3=3−9π2>0h'−π6=1−36π20,hx递增；当x∈t2,0时，h'x0,f(π)=−1,f(x)在[0,π]上有1个零点，
当00时，有x>ln43，当h'x0，
hln43=43−43ln43−1=13−43ln43=131−4ln43 =131−ln256810，则gx单调递增；
当−10，则gx单调递增，
∴gx的极大值点为g(−1)=e3，极小值点为g32=−3e32，
又当x→−∞时，gx→−∞；g(0)=0；当x>0时，gx恒小于0，
根据以上信息，画出函数gx的大致图象如图所示．
由图可知，当1a=e3或1aln1−aa，由f'x0，
所以gx在0,+∞上单调递增．
要使gx=glnx+t有两个不同的实根，则需x=lnx+t有两个不同的实根．
令hx=x−lnx−t，则h'(x)=1−1x=x−1x．
当x∈0,1时，h'xe−2>0，即φt在1,+∞上单调递增，
所以φ(t)>φ(1)=e−2>0，即het>0．
所以hx在0,1上有一个零点，在1,+∞上有一个零点，符合条件．
综上，实数t的取值范围是1,+∞．
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【
【典型例题2】已知函数f(x)=alnx−x+1，其中a∈R．
(1)讨论函数f(x)零点个数；
(2)求证：e1+12+13+⋯+1n>nn∈N∗．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）求导，分类讨论a的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，进而可求解，
（2）根据lnx0,当x>a时，f'x0时，ax+1>0，
∴x>1时f'x>0，fx单调递增；02，使得gx2>0，故gx在2,+∞内有一零点，
综上，gx在定义域内有两个零点.
法二：gx=0⇔lnx−12ax+a−2+1x=0⇔lnx+1x=12ax−a−2（※），
令m=a+1mx124+x12+a−1=gx1，fx2=0>x224+x22+a−1=gx2且
fx的函数图像恒在gx的函数图象上方，不妨设gx=x24+x2+a−1的两个零点为x3、x4（且x3n，
∴x1=−m−m2−n,x2=−m+m2−n,x2−x1=2m2−n∈N，
又因为m+n0时，ex>1+x+x22；
②若函数gx有两个不同的零点x1，x2，求证：x2−x10，则p'x=−1x−ex20，f'e=−10，
所以m'x单调递增，且m'1=0，
故mx在0,1单调递减，mx在1,+∞单调递增，
所以mx≥m1=0，即e−xlnx≤e−1x−1；
记nx=−x+e−e−xlnx，则n'x=lnx−ex，
所以n'x单调递增，且n'e=0，故nx在0,e单减，mx在e,+∞单增.
则nx≥ne=0，即e−xlnx≤−x+e；
不妨设gx3=fx1=fx2=hx4=m，
因为gx1>fx1=m=gx3，且gx=e−1x−1为增函数，所以x1>x3.
由gx3=e−1x3−1=m，得x3=me−1+1；
同理x4>x2，x4=e−m；
所以me−1+1=x30恒成立.
所以(x2−x)ex≥−x.设y=m分别与y=−x和y=e(x−1)的两个交点的横坐标为x3,x4，则x3