2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题06函数整数解问题(学生版+解析)

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题型一：分离参数法（全分参）
题型二：分离参数法（半分参）
题型三：直接限制法
【方法技巧总结】
1、必要探路法：通过代入特殊值缩小参数范围，再证明极值的恒成立性，适用于含参数的复杂函数。
2、虚设零点法：当导数根难以直接求解时，虚设零点并利用零点存在性定理确定极值范围，结合指对代换求解。
3、直接限制法：根据函数在整数点的符号限制参数范围，尤其适用于选择题快速解题。
4、数形结合：将函数变形为直线与曲线的交点问题，通过图像辅助分析。
【典型例题】
题型一：分离参数法（全分参）
【例1】（2025·高二·福建宁德·期末）若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，
，由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
作出的图象为，
由，，
当时，，即，
当时，，即，
因为，
，所以，
而，
即，
则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解，
只需
即，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
【变式1-1】（2025·高一·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，
则必有且同时成立，即图象夹在和之间，
易知，函数的图象大致如图，
结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为，
所以，且，
解得，
故选：B
【变式1-2】（2025·高三·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，若不等式，即，
因为，可化为，令，可得，
令，可得，所以在R上单调递增，
又由，所以存在唯一的使得，
当时，，可得，所以单调递减，
当时，，可得，所以单调递增，且，
又因为，，
所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式1-3】（2025·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，，
所以的递增区间为，递减区间为和，
作出图象如图所示：
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
又， ，，
由的递增区间为，所以，
所以要使有三个整数解，则，
所以关于的不等式有且仅有三个整数解，
则的取值范围为.
故选：A.
题型二：分离参数法（半分参）
【例2】（2025·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
不等式化为：．
令，，，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，，当时，，
当时，，
当时，，当，且时，，
画出及的大致图象如下，
因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
故正整数解为．
故，
即．
故.
故选：C.
【变式2-1】（2025·高三·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
不等式化为：．
令，，，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，，当时，，
当时，，
当时，，当，且时，，
画出及的大致图象如下，
因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
故正整数解为．
故，即，解得.
故选：C.
【变式2-2】（2025·高三·全国·阶段练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数的定义域为.
要使不等式仅有1个整数解，使需仅有1个整数解
即不等式仅有1个整数解，
设，则，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
又，当时，，当时，，
设，则直线恒过点，
在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，
由图象可知，，要使不等式有1个整数解，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
【变式2-3】（2025·高三·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .
【答案】
【解析】由不等式，可得化为，
令且，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也为最大值，
且当时，，
画出函数的图象，如图所示，
又由直线恒过定点，
当直线位于如图所示的两条直线和之间，
其中包含，不包含时，满足恰有两个整数解，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
题型三：直接限制法
【例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，，
即函数在上单调递增
函数的图像如下图所示：
由得出，
当时，显然不成立.
但时，解得，使得不等式只有唯一整数解，此时.
即时，唯一整数解是，
当时，，使得不等式只有唯一整数解，此时，
即时，唯一整数解是.
综上，.
故答案为：
【变式3-1】（2025·高二·广东中山·阶段练习）若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，即有且只有三个整数解，
则，且，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
由于，
，
由于为单调递增函数，，
要使有且只有三个整数解，这三个整数解必然是，
所以，解得.
故选：A.
【变式3-2】（四川省达州市2025届高三第二次诊断性测试数学试题）关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
设，，，，
显然，，，
其中在处的切线斜率为，
在处的切线斜率为，
若，时，的图象在的上方，不等式无解，
则的整数解个数为0，不合要求，
所以，
当时，需满足，解得，
当时，需满足，解得，
当的整数解个数为时，
需满足，解得，
所以，
所以，
所以，
故
故选：C
【过关测试】
1．（2025·高三·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原不等式可化为，设，
则直线过定点，
因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方，
又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数，
∵，∴．设直线与曲线相切于点，
则有，消去a整理得，解得或，
若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去；
故，则切线的斜率为，解得．
又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，，
当时，解得，当直线绕着点旋转时，
要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数
的取值范围是．
故选：B．
2．（2025·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线；
由关于x的不等式，
可知，当时，，即有；
当时，，即有；
作出函数图象如图：
要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个，
显然不能满足题意，故需满足，即，
解得，即的取值范围为，
故选：A
3．（2025·高三·江西·开学考试）函数，若关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对函数求导可得，令，解得，令，解得或，
所以的递增区间为，递减区间为和，，当时，，当时，
作出图象如图所示：
当时，由，可得，由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由无解，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
又， ，，，
由的递增区间为，递减区间为和，所以，
所以要使有四个整数解，整数解只能是2，3，4，5，则，即
所以关于的不等式有且仅有四个整数解，则的取值范围是
故选：D
4．（2025·高三·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，定义域为，则可得，
令，则，
所以时,，即递增，
时，，即递减，
当时，，当时，，当时，，
当时，，当，且时，，
而恒过，函数图象如下：
要使有且只有两个整数解，
则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，，
所以，即，
所以的取值范围为.
故选：B.
5．（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，而，故当时，恒成立，
不等式，
当时，或，由，得，
原不等式的整数解有无数个，不符合题意；
当时，或，由，得，无正整数解，
因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式有且只有3个正整数解，
3个正整数解只能是，因此，即，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
6．（2025·高三·福建泉州·阶段练习）当时，不等式在上恒成立，则实数的最大整数解是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】将变形，得在上恒成立，
令，则，
∵，∴，
当时，令，则，所以，
令，则，所以，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上有最小值，，
问题化归成成立，求的最大值，令，则，
∵当时，单调递减，当时，单调递增，
∴在处取得最大值，
∵，
∴，
∵，，，
综上，可得实数的最大整数为4.
故选：C.
7．（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，可得不等式有且仅有1个整数解，
即不等式有且仅有1个大于1的整数解，
时，，
不等式可化为，
即的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解，
令，则
令，
则
则在上单调递减，又，
则在上恒成立，则在上恒成立，
则在上单调递减，
又的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解，
则这个整数解为2，则
又，
则实数的取值范围为
故选：D
8．（2025·高二·山东·阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【解析】原不等式等价于，
设，，
所以，得．当时，，
所以在上单调递增，当时，，
所以在上单调递减，当时，取极大值.
又，且时，，
因此与的图像如下，直线恒过点.
当时，显然不满足条件；
当时，若1，2为不等式的解，只需要满足，即，解得；
当的切线过点时，设切点为，
则切线方程为，该直线过点，，
解得，
若是原不等式的解，则，解得；
综上k的取值范围为
故选：A.
9．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为．
由，得，则不等式恰有3个整数解．
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以当时，，当时，，
易知的图象恒过点，
在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示．
由图象可知，
要使不等式恰有3个整数解，
则，解得，
故选：A．
10．（多选题）（2025·高二·河南南阳·期末）已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，
所以，即.
若，不等式化为，此不等式对任意恒成立，不符合条件.
若，不等式化为，即恰有一个整数解.
记，则，当，；当，；
可得在上单调递增，在上单调递减，
并且，
因此恰有一个整数解时，实数的取值不可能是B，C，D.
故选：BCD.
11．（多选题）（2025·高一·河南·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．1.5D．2.3
【答案】ABC
【解析】由函数，画出图象，如图所示，
又由不等式，可得，
当时，，此时不等式无解；
当时，由，可得，
若不等式恰有1个整数解，则整数解为，
因为，可得；
当时，由，可得，
若不等式恰有1个整数解，只需．
综上所述：实数的取值范围为．
故选：ABC．
12．（2025·高二·重庆渝中·阶段练习）函数对任意实数都满足，且，若不等式（其中）有且只有两个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，其中为常数.
，又，
单调递减；单调递增；且，
当时，恒成立，的大致图像如图所示
不妨设，则的图像是一条过这个定点
的一条直线，由于，所以只需要考虑的整数解即可.
由图可知，两个整数解为1和0，只需，
.
故答案为：
13．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数的图像，如图所示，
有，，
当时，令，即，
设为方程的两个根，且，
由于，则有，
当时，，则必有，
则必包含在不等式的解中，由图可知的解为，
此时不等式的解中有2个整数，不符合题意，
当时，，
由图象可知，当时，对应的值唯一，
因为的解恰有一个整数，所以这个整数为，
则，当时，有最小值为，即有最大值为，
当时，，此时，
即；
故答案为：.
14．（2025·高一·重庆·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是 .
【答案】12
【解析】函数的函数图象如下：
因为，则，
当时，则，
若时，此时不等式无整数解，
当时，由对称性可知，不等式至少有2个整数解；
当时，则，
令，则，则，要想不等式恰有1个整数解，
则是不等式的解，不是不等式的解，
由函数图象可知，函数在上单调递减，
所以，即，即，
所以实数的最大值是12.
故答案为：12.
15．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于 .
【答案】
【解析】先作出的大致图象，如图，
令，则，根据的图象可知：
要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数
相切时符合题意.因为，当且仅当时取得等号，又，
易知其定义域内单调递减，即，
此时有两个整数根或，
而要满足有三个整数根，
结合的图象知必有一根小于2，显然只有符合题意，
当时，有，
则，解方程，得的另一个正根为.
又，此时五个整数根依次是，
显然根和为.
故答案为：
16．（2025·高一·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围
【答案】
【解析】.
若，则不合题意；
若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则；
若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则.
故答案为：
17．（2025·高二·山东菏泽·期中）已知关于x的不等式恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是 .
【答案】
【解析】由不等式，化为，
令且，则，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
则当时，取得极大值，也为最大值，且当时，，
画出函数的图象，如图所示，而直线恒过定点，
当直线位于如图所示的两条直线和之间，
其中包含，不包含时，恰有三个整数解，与的图象分别交于点，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：
18．（2025·高三·上海·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，；当时，；
，，，
且时，，作出函数的图象，如图所示：
直线过定点，要使不等式有且仅有一个整数，
只需 解得，
故答案为:.
19．（2025·广东广州·模拟预测）已知，若关于的不等式有整数解，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】不等式，即，
设，，
设，，所以单调递增，且，，
所以存在，使，即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
当时，，当时，，
不等式有整数解，即有整数解，
若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以无整数解，不符合题意，
当时，因为，
显然0，1是的两个整数解，符合题意，
综上可知，.
故答案为：
20．（2025·高一·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，画出函数和的图像，如图所示：
不等式恰有一个整数解，则这个整数解为，
故且，解得.
故答案为：
21．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，作出和的图象，
由图像可知没有整数解，不符合题意；
当时，作出和的图象，
因为恰有个整数解，
所以是不等式的整数解，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
22．（2025·高三·重庆渝中·阶段练习）已知关于的不等式在上有唯一的整数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】显然不符合题意，所以只能，这样由于，所以，
令，，其定义域为，
则，令，即，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值，又由，，当时，
且当时，，
如图，画出函数的大致图象，
又由函数的图象是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象，
过点的直线介于，之间时满足条件，直线过点时，，即的值为2；
该直线过点时，，则的值为，
由图知的取值范围是.
故答案为：
23．（2025·高三·上海闵行·期末）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数的图像，如图所示，
有，，
由，得，
当时，，不等式无解；
当时，由得，此时不可能只有一个整数解．
当时，由得，
若不等式恰有一个整数解，则整数解为，
又，，再结合图像知，
综上所述，实数a的取值范围为．
故答案为：