2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题18导数中的距离问题(5大题型)(学生版+解析)

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题型一：直线与曲线的距离
题型二：点与曲线的距离
题型三：曲线与曲线的距离
题型四：横向距离
题型五：纵向距离
【方法技巧总结】
导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．
【典型例题】
题型一：直线与曲线的距离
【例1】（2025·高三·天津和平·期中）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意在R上恒成立，其中，
整理得对恒成立，
所以对恒成立，
，
令，，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以的最小值是16，
所以．
故选：D．
【变式1-1】若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上都是增函数，
所以恒成立，
即对任意的实数，在上恒成立，
所以，，，
故只需的最小值．
令， ，
由于时，；时，，即时，取得最小，
故选：A
【变式1-2】（2025·四川绵阳·一模）若存在实数，使得关于的不等式（其中为自然对数的底数）成立，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式 ，即为，
表示点距离的平方不超过，即最大值为．
由在直线上，
设与直线平行且与相切的直线的切点为，
可得切线的斜率为，解得，切点为，
由切点到直线的距离为直线上的点与曲线的距离的最小值，
可得，解得，则的取值集合为；
故选：C．
【变式1-3】已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因为，则，即因为，则，即. 要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为，则，有，，即过原点的切线方程为. 最短距离为. 故选A.
考点：导数的几何意义
题型二：点与曲线的距离
【例2】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的导数为，
设，可得过的切线的斜率为，
当垂直于切线时，取得最小值，
可得，且，
可得，解得或（舍去），
即有，解得，
∴，
故选：D．
【变式2-1】（2025·高三·安徽芜湖·期末）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，因此，.
故选：C.
【变式2-2】（2025·河北石家庄·模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
题型三：曲线与曲线的距离
【例3】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.
则
设，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，
故恒成立，即恒成立.
的导函数，的导函数，
当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.
故，当，时等号成立.
故选：.
【变式3-1】（2025·江西·模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.
所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.
所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.
曲线上的点到直线的距离为
设，则.
由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数，所以
由图象关于对称得：的最小值为.
故选：B
【变式3-2】已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，又圆的圆心为，
令，
，．
令，
，
令，
，时，，
在上单调递增，，即
所以在上单调递增，即在上单调递增，而．
，解得；，解得，
在递减，在递增，
，
，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
【变式3-3】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的图象关于直线对称，
∴的最小值是点到直线的最短距离的2倍，
设曲线上斜率为1的切线为，
∵，由得，
即切点为（，2），
∴ ，
∴切线到直线的距离，
∴两点间的最短距离为2=．
故选:B．
题型四：横向距离
【例4】函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】由可得，
由可得，
所以
设，，则，
记，则恒成立，
所以即在上单调递增，
且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
【变式4-1】设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直线与函数，的图象分别交于，两点，
，，，其中，且，
，设函数，
，，
令，解得，
当，即时，函数在，单调递增，
当，即时，函数在单调递减，
故时，函数有最小值，最小值为，
故线段的长度的最小值为．
故选：D．
【变式4-2】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】因为直线分别与函数，交于，两点，
令，则，令，则，所以
，因为所以，所以，则.
则，令，
，
令，得或(舍去)，
所以在上单调递减，在上单调递增，
.
故选：A.
【变式4-3】（2025·广东佛山·二模）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为 ；若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由有三个零点，则，
由，而，则，
又，则，，
则，且，
对于且，则，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以，
综上，最大值.
故答案为：，.
题型五：纵向距离
【例5】已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】直线与函数，的交点为：，，所以，，令，则，
当时，；当时，，所以时，有最小值，.
故选：C.
【变式5-1】直线与函数的图象分别交于两点，则的最小为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
设，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，，
所以的最小为.
故选：D
【变式5-2】直线与函数的图象分别交于A､B两点，当|AB|最小时，为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
则，易知，，单减；
，，单增；
则；
则直线与函数的交点间距离，
当且仅当时，AB最小.
故选：B.
【过关测试】
1．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍.
令得故切点为
由，所以.
故选：C.
2．（2025·湖北·一模）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，
故选：B.
3．（2025·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，
容易知道图象是抛物线图象的上半部分，
记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：
则，
当且仅当在线段 上时，取最小值.
设这时点坐标为，又，
所以有，解得 ，即该点为，
所以，因此.
故选：A.
4．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．
最小值为．
故选：B．
5．（2025·云南曲靖·一模）设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】表示点与点距离的平方,的轨迹是函数的图象，的轨迹是直线.则，作的图象平行于直线的切线，切点为，则，所以，切点为，所以若存在使得成立，则，此时恰好为垂足，所以，解得，故选A.
6．已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】 ，
令 ，则，
其几何意义为点A 与点 之间距离的平方，
设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如下图，
显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称，
则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，
不妨设 ，则 ，
，设 ， ，
当 ， ，在x=1处取得最小值 ，
即 ，∴当 取最小值时，即是 取得最小值，
的最小值为 ；
故选：D.
7．已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
【答案】B
【解析】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
8．已知实数满足， ， 则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由题意可得，是直线上的点，
是直线上的点，则两直线平行，
的最小值是平行直线之间的距离的平方，
可得最小值为.
故选：D
9．已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由已知，
则，即为直线上的点，
为函数上的点，
则，
设与相切，由，
则，可得，所以切点为，则，
则切点到直线的距离为，
所以最小值为2.
故选：B.
10．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题，得，
设是曲线的点，是直线的点，
可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，
对求导得，令，得，
所以曲线C上的点到直线l的距离最小，
该点到直线l的距离为，
因此的最小值为.
故选：D
11．（2025·吉林·模拟预测）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.
12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，
则，
设，
，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，故，
所以时，且，
所以时，，函数单调递减，
当时，令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
则，即，
所以时，单调递增，即单调递增，
所以，故当时，函数单调递增，
所以，
故的最小值为，
则线段的长度的最小值为．
故选：B．
13．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，令图象上一点的切线为
由的导数为，即切线的斜率为，
当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，
此时，即有，
由，可得，递增，又，
所以，，
所以点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
14．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，且在上递增；
，且在上递增.
所以，且都有唯一解，
，
，
构造函数，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的最小值为.
所以的最小值为.
故选：A
15．已知函数，的图像分别与直线交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，， ，其中，且，
所以，令，，
则时，解得，
所以时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故选：C．
16．已知函数，其中，存在，使得成立，则实数= .
【答案】/
【解析】设，设，则，
而点P在曲线，点Q在直线上，
当过曲线上的一点的切线与直线平行时，
点到直线的距离取得最小值
由，可得，所以，
到直线的距离，则，即恒成立，
由题意可知存在，使得，则
过点垂直于的直线为
由，可得，则，则
故答案为：
17．设函数，存在，使得成立，则实数的值是 .
【答案】
【解析】由题意得：
可将看作动点与定点之间距离的平方
则动点在函数图象上，在直线图象上
，令，解得：，
上的点到直线的距离最小

若存在，使得成立，则
此时，为垂足
本题正确结果：
18．若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵在R上是增函数，
∴在R上恒成立，
∴，
令，则，
则
，
令，，
则，
易得时，，时，，
所以时，，
∴当，取得最小值为 ，
所以，取得最小值为 ，
∴，即.
故答案为：
19．（2025·广东惠州·一模）设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线、，若在区间内，曲线、有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
依题意，曲线：，曲线：，在区间内，曲线、有两个交点，
即方程，也就是在上有两解，
即直线与，的图像有两个交点，
令，
，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，，
且，
所以，
因为直线与，的图像有两个交点，
所以的最大值为．
故答案为：．
20．设满足方程的点的运动轨迹分别为曲线，若曲线有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】法一：因为，
，
依题意，曲线，曲线，
且曲线有两个交点，方程在上有两解，
即方程在上有两解，令，
所以方程有两解等价于函数的图象与的图象有两个交点.
易知直线恒过定点，斜率为，
又由得，令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，作出的图象如图所示，
设直线是的图象的切线，设切点为，
则切线斜率为，所以切线的方程为，
又直线经过点，所以，
即，解得或，所以或，
由图知，当或即或时，
函数的图象与的图象有两个交点，即曲线有两个交点，
故实数的取值范围是.
法二：因为，
依题意，曲线，曲线，且曲线有两个交点，
方程在上有两解，即方程在上有两解，
当时，，此时；
当时，即方程在上有两解，
令，则的图象与的图象有两个交点.
又，
令，则或，
当或时，单调递减，
当或时，单调递增，
又，且当时，，
当时，，当时，，
所以的大致图象如图所示，
要使的图象与的图象有两个交点，则或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
21．已知实数满足，则的最小值 .
【答案】
【解析】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方
故，
可以看成是函数，
即函数在的切线与函数平行时求出最小值
则，解得
此时
故的最小值为
22．（2025·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d满足关系式，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，可得，，可以看做曲线上一点和直线上一点之间的距离，可设与直线平行的直线与曲线相切于，则，，∴，解得，，∴，∴的最小值为．
故答案为：
23．（2025·江西·一模）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】圆心，先求的最小值，设，所以以点为切点的切线方程为，当垂直切线时，，此时点，函数图象上任意点到点的距离大于点到切线的距离即，所以的最小值是，故答案为.
24．（2025·高三·福建龙岩·期末）已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值
设图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得处点（e,1）到的距离最小，为
则线段长度的最小值为
25．设直线与函数，的图象分别交于点、，则当达到最小时的值为 .
【答案】
【解析】令，其中，则，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
故.
故答案为：.
26．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】先证明：，
证明：设，
故，
当时，，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
故，故.
设，则且即，
故，
由的性质可得，当且仅当时等号成立，故，
故答案为：1.
27．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为 ．
【答案】．
【解析】，
，
，
则时，取得最大值为．
故答案为：．
28．（2025·江苏无锡·一模）若动直线与函数的图象分别交于两点，则线段长度的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，所以由题设可知，因此当时，，应填答案．
29．设，当a，b变化时，的最小值为 .
【答案】.
【解析】，
函数表示点和的距离加上的纵坐标，
画出和的图像，如图所示：
故，当共线时等号成立.
设，则，，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减.
，故.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.