第13讲导数中的构造函数讲义-2026年高考数学二轮复习导数专题（新高考通用）（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21722" 高考分析 PAGEREF _Tc21722 \h 2
\l "_Tc4360" 学习目标 PAGEREF _Tc4360 \h 2
\l "_Tc3325" 知识要点 PAGEREF _Tc3325 \h 4
\l "_Tc29332" 解题策略 PAGEREF _Tc29332 \h 4
\l "_Tc13468" 题型归纳 PAGEREF _Tc13468 \h 6
\l "_Tc22666" 题型01：构造型 PAGEREF _Tc22666 \h 6
\l "_Tc10077" 题型2：构造型 PAGEREF _Tc10077 \h 7
\l "_Tc24832" 题型3：构造f（x）/x PAGEREF _Tc24832 \h 8
\l "_Tc32761" 题型4：构造型 PAGEREF _Tc32761 \h 11
\l "_Tc17620" 题型05：构造f（x）/e型 PAGEREF _Tc17620 \h 13
\l "_Tc16538" 题型06：构造型 PAGEREF _Tc16538 \h 15
\l "_Tc7987" 题型07：构造sinx与f（x）型 PAGEREF _Tc7987 \h 16
\l "_Tc15067" 题型08：构造csx与f（x）型 PAGEREF _Tc15067 \h 19
\l "_Tc31225" 题型09： 构造型 PAGEREF _Tc31225 \h 20
\l "_Tc7436" 题型10：构造与型 PAGEREF _Tc7436 \h 22
\l "_Tc3705" 题型11：（kx+b）与f（x）等构造 PAGEREF _Tc3705 \h 25
\l "_Tc30323" 题型12 ：与ln（kx+b）结合型 PAGEREF _Tc30323 \h 27
\l "_Tc25907" 题型13：添加因式型 PAGEREF _Tc25907 \h 29
\l "_Tc21141" 题型14：二次构造 PAGEREF _Tc21141 \h 29
\l "_Tc5244" 题型15：综合构造 PAGEREF _Tc5244 \h 31
\l "_Tc19409" 题型16：技巧计算型构造 PAGEREF _Tc19409 \h 32
\l "_Tc7463" 题型17：导数解答题之构造新函数类 PAGEREF _Tc7463 \h 34
\l "_Tc14293" 巩固提升 PAGEREF _Tc14293 \h 38
\l "_Tc7597" 同构、构造函数选择填空压轴题 PAGEREF _Tc7597 \h 40
构造函数是导数模块的核心解题思想与方法，贯穿导数所有综合题型，本质是通过构造新函数将未知问题转化为“单调性、极值、零点”等已知可解问题，是高考导数压轴题的解题关键，侧重考查转化与化归、逻辑推理、数形结合核心素养，区分度极高。
一、考纲定位与命题趋势
1. 考纲要求：掌握导数研究函数单调性、极值的基本方法，能根据问题特征构造合适的新函数，解决不等式证明、恒成立、零点关系、极值点偏移等综合问题，考查函数与方程思想的灵活应用。
2. 命题趋势：近5年新高考/全国卷考查频率100%，无构造不压轴，常融合在导数解答题第2-3小问；构造形式从“基础型”向“复合型、变式型”升级，如由单一f(x)+g(x)向e^x·f(x)、f(x)/x等同构/异构构造发展，新高考更侧重“构造的合理性与技巧性”，而非简单公式化构造。
3. 命题特点：不直接要求“构造函数”，需考生根据问题条件（如不等式形式、零点关系、导数特征）自主判断构造方向，核心考查“为什么构造、构造什么、怎么构造”，而非单纯的求导计算。
二、高考考情分布
1. 题型与分值
①解答题为主：占导数模块分值的60%-80%，多在压轴解答题（21/22题）第2小问，分值4-6分；选填题中为中档题，侧重基础构造，分值5分。
②融合性极强：无单独命题，常与不等式证明（含恒成立）、零点关系证明、极值点偏移、隐零点、导数恒正/恒负判定融合考查，是解决这些题型的“必经步骤”。
2. 考查难度梯度
①基础构造（选填/解答第1小问）：和差型、简单分离型，占比30%，全员可掌握；
②中档构造（解答第2小问）：积商型、对称型，占比50%，重点突破得分；
③高阶构造（压轴解答）：同构型、放缩型、多步构造，占比20%，冲刺满分核心。
构造函数是导数模块的核心解题思想，学习目标按基础掌握、能力提升、压轴突破、素养落地分层，适配高考导数从基础到压轴的考查梯度，兼顾构造方法、逻辑应用、应试规范，最终实现“见题定构造、构造能解题”的核心能力。
一．基础目标（全员掌握，保底得分）
1. 理解构造函数的核心本质：将未知问题（不等式、恒成立等）转化为可研究的函数单调性、极值/最值问题，明确“为什么构造”的底层逻辑。
2. 掌握2类基础构造方法，能精准构造并解决简单导数问题：
①和差型构造：
②基础积商型构造：
3. 完成基础解题闭环：对构造的新函数，能规范完成“求导→判单调性→求最值→推导结论”的步骤，无求导计算、单调性判定错误。
4. 能识别高考基础构造场景：直接不等式证明（如ex>x+1）、简单导数符号判断、无参恒成立问题，做到快速构造、快速求解。
二．提升目标（重点掌握，突破中档）
1. 精通4类专项构造方法，适配高考中档导数题型，能根据场景灵活选择构造方式：
①参变分离构造：恒成立求参数范围时，能分离参数构造g(x)，转化为求g(x)的最值；
②对称型构造：极值点偏移问题中，能围绕极值点x0构造F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；
③ 放缩型基础构造：能利用常见放缩式（ex≥x+1、ln x≤x-1）构造辅助函数，简化证明；
④ 变式积商型构造：能匹配系数构造，解决复杂导数组合问题。
2. 具备构造合理性判断能力：能快速排除错误构造方式，避免“构造后无法求导、无法判单调”的无效操作。
3. 解决高考中档融合题型：能独立解决“构造函数+隐零点”“构造函数+含参不等式证明”“构造函数+简单极值点偏移”的综合问题，步骤规范，踩准阅卷得分点。
4. 掌握构造简化技巧：构造后能对F’(x)快速因式分解、化简，精准判断导数符号，提升解题效率。
三．压轴目标（拔高掌握，冲刺满分）
1. 攻克3类高阶构造方法，解决高考导数压轴题，实现构造的灵活性与技巧性：
①同构型构造：能识别含e^x、\ln x的超越式同构特征，构造单调函数F(t)，将问题转化为自变量的大小比较；
②多步构造：一次构造无法解决时，能通过“二次构造辅助函数→放缩→再构造核心函数”逐步简化问题；
③多元构造：双零点、多参数问题中，能通过换元、消参构造单变量函数，实现“多元转一元”。
2. 具备自主构造能力：面对无固定模板的创新压轴题，能根据问题条件、解析式特征、待证结论自主分析构造方向，完成“构造什么→怎么构造”的逻辑推导。
3. 解决高考高阶融合题型：能攻克“构造函数+双隐零点+极值点偏移”“构造函数+超越不等式放缩+多参数范围”“同构构造+恒成立”的压轴难题，逻辑链完整无跳跃。
4. 实现构造优化与提速：能快速判断最优构造路径，避免复杂构造导致的计算量过大；对高考高频压轴模型，形成“条件反射式”构造，适配高考应试节奏。
导数中的构造函数常在高考题中以选择题或填空题的形式考查。重点考查函数与方程思想、转化与化归思想。构造函数法是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性和技巧性，但一直受出题老师的青睐。考生在训练过程中，要有目的、有意识的进行构造，始终“盯住”要解决的目标。
知识点一 ：导数的构造法
加-乘不等号型
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意对的符号进行讨论）
（5） 构造
2、减-除不等号型
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意对的符号进行讨论）
（10） 构造
构造函数的核心逻辑是“循特征、定类型、转问题、巧推导”，即根据题干的解析式形式、待证结论、导数组合特征，选择适配的构造类型，将原问题转化为“研究新函数的单调性、极值/最值、零点”的可解问题，最终回扣原结论。以下按高考考频排序梳理构造类型、适用场景、解题步骤及技巧，附避错要点，适配所有导数构造题型。
一、核心构造原则（先判原则，再选方法）
1. 简单优先：能和差构造不选积商，能单步构造不做多步，避免过度构造增加计算量；
2. 特征匹配：导数组合形式定积商构造，极值点偏移定对称构造，超越式定同构构造；
3. 目标导向：证明不等式→构造函数求最值，判断导数符号→构造积商型函数，零点关系→构造对称/放缩函数；
4. 定义域同步：构造的新函数定义域与原函数一致，含ln x、分式时必标注，避免临界点分析错误。
二、高考高频构造类型及精准解题策略（按考频/难度排序）
类型1：和差型构造（基础万能型，高考占比30%）
适用场景
①直接证明函数不等式：f(x)≥g(x)/f(x)>g(x)+C（C为常数）；
②简单恒成立问题：f(x)≥a恒成立，求a的范围；
③判断函数单调性/求最值：原函数形式复杂，拆分后更易分析。
核心策略
作差转化，求最值定符号，将不等式/恒成立问题转化为“新函数的最值与0的关系”。
解题步骤
1. 构造新函数：F(x)=f(x)-g(x)（证f(x)>g(x)）或F(x)=f(x)-a（恒成立问题）；
2. 求导化简：求F'(x)，因式分解/合并同类项，精准找临界点（F'(x)=0的解）；
3. 判定单调：由F'(x)的符号划分F(x)的单调区间；
4. 求最值：求F(x)的极小/大值（或端点趋势），确定F(x)min/F(x)max；
5. 回扣结论：若F(x)min≥0，则f(x)≥g(x)；若F(x)max≤0，则f(x)≤g(x)。
类型2：积商型构造（进阶核心型，高考占比25%）
适用场景
① 已知导数线性组合形式：如f'(x)+kf(x)、xf'(x)-kf(x)（k为常数），判断f(x)单调性/证明不等式；
②原函数导数无法直接判断符号，需通过积商变形简化。
核心策略
逆用导数四则运算法则，将“f'(x)与f(x)的组合式”转化为“单一新函数的导数”，通过新函数单调性反推原组合式的符号。
解题步骤
1. 匹配构造模板：根据导数组合形式，直接套用高频模板（系数需精准匹配）；
2. 求导验证：对新函数求导，确认导数为原组合式（或组合式×正系数，不改变符号）；
3. 判定新函数单调性：由导数符号确定F(x)的单调区间；
4. 结合条件推结论：利用F(x)的单调性/最值，反推原函数f(x)的性质或证明不等式。
类型3：对称型构造（压轴专属型，高考占比20%）
适用场景
极值点偏移问题：已知f(x)有两个零点x1,x2，极值点为x0，证明x1+x2>2x0或x1x2>x02/x1+x20时F(x)>0或F(x)2x0。
类型4：参变分离型构造（中档实用型，高考占比15%）
适用场景
含参恒成立/存在性问题：f(x,a)≥0恒成立;存在x使f(x,a)≤0，求参数a的取值范围（可分离参数，无漏根/增根）。
核心策略
分离参数，构造单变量函数，将含参问题转化为“求新函数的最值”，避免复杂的分类讨论。
解题步骤
1. 等价分离参数：将原式变形为a≥g(x)（恒成立）或a≤g(x)（恒成立）/a≥g(x)min（存在性），确保变形等价（乘除式子需讨论符号，避免漏根）；
2. 构造单变量函数：令g(x)为分离
题型01：构造型
【典型例题1】已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为，所以，即，
所以在R上单调递减.
不等式等价于不等式，
即.因为，
所以，
所以.因为在R上单调递减，
所以，解得.故选:B
【典型例题2】已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，则，
所以函数在定义域上为减函数，且，
所以的解集为，即的解集为，选A.
【变式训练1-1】已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型2：构造型
1.，
2.
【典型例题1】设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.
依题意，令函数，则，
因，于是得时，时，
从而有在上单调递减，在上单调递增，
因此得：，而，即f(x)不恒为0，
所以恒成立.故选：A
【典型例题2】已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，当时，，
构造函数，其中，
则，所以，函数为偶函数，
且当时，，所以，函数在上单调递减，
因为，
由可得，即，
所以，，故，
即或，解得或.故选：C.
【变式训练2-1】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是
A．B．C．D．
【变式训练2-2】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】已知奇函数的定义域为，导函数为，若对任意，都有恒成立，，则不等式的解集是__________.
【变式训练2-5】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型3：构造f（x）/x
1.，
2.
【典型例题1】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，，，
∵，，∴，g'(x)>0
∴函数在上单调递增，∴，即，，
令，，，
∵，，，
∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.
【典型例题2】已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数，
利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当 时，即，，当 时，即，.
构造函数 , ,
当 时，，故，在 上单调递增，
又为偶函数， 为偶函数，所以为偶函数，在 单调递减.
,则，;，
当 时，即，，所以 ；
当 时，即，，所以.
综上所述，.故选：A
【变式训练3-1】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】已知定义在上的函数的导函数为f'(x)，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-3】设函数是奇函数的导函数， ，当时， ，则使得成立的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
【变式训练3-4】已知，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-5】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-6】已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-7】已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（ ）
A．（－∞,1） B．（－1,1） C．（－∞,0）∪（0,1） D．（－1,0）∪（0,1）
题型4：构造型
1.，
2.
【典型例题1】已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造函数,结合导函数,判定的单调性,得对称轴,对选项判断即可.构造函数,计算导函数得到=，由>0,得当,>0当时,