2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题24函数的伸缩问题(4大题型)(学生版+解析)

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题型一：垂直伸长变换
题型二：垂直缩短变换
题型三：复合伸缩问题
题型四：综合问题
【方法技巧总结】
1、水平伸缩：对函数，参数k控制横坐标缩放．当时，图像水平压缩为原图的倍；当时，图像水平拉伸为原图的倍．
2、垂直伸缩：对函数，参数k控制纵坐标缩放．当时，图像纵向拉伸倍；当时，图像纵向压缩k倍．
3、复合伸缩：同时存在水平和垂直伸缩时，需按运算顺序处理．如需先水平缩放m倍，再纵向缩放k倍，两者独立影响图像．
【典型例题】
题型一：垂直伸长变换
【例1】已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（ ）
A．13B．14C．20D．21
【变式1-1】函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2025·山东青岛·模拟预测）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型二：垂直缩短变换
【例2】（2025·广东广州·模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）
A．－32B．32C．16D．8
【变式2-1】（2025·高三·上海·期中）对于函数，有下列四个命题
①任取，，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则；
④函数有5个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：复合伸缩问题
【例3】（2025·高三·上海·开学考试）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是
A．13B．21C．45D．51
【变式3-1】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数恰有个零点，则
B．关于的方程有个不同的解
C．任意实数 ，不等式恒成立
D．函数的图象与直线，及x轴所围成图形的面积为
【变式3-2】（广东省冮门市2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（ ）
A．128B．256C．512D．1024
题型四：综合问题
【例4】（多选题）已知函数的定义域为，当时，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则当时，
C．若，则的图象与函数的图象恰有3个交点
D．若，，则的图象与直线在内的交点个数是
【变式4-1】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数，且若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ．
【过关测试】
1．（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2025·宁夏中卫·二模）设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（ ）
（1）当时，
（2）
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2025·陕西西安·一模）设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若对任意，都有，则a的取值范围是；
③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是．
A．0B．1C．2D．3
5．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·高三·湖北·开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数定义域为，满足，且当时，，若对任意，都恒成立，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．（2025·高三·湖北荆州·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是
A．B．C．D．
10．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
11．（2025·山东济南·一模）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有3个零点
B．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
C．对于实数，不等式恒成立
D．关于x的方程有个不同的解
13．（多选题）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．函数有3个零点
B．关于x的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
14．（多选题）函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ）
A．
B．时，
C．若对任意的，都有，则的最大值为
D．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是
15．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于x的方程有个不同的解
C．函数与函数恰有两个交点
D．当时，恒成立．
16．（多选题）（2025·高三·山西·期末）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．为增函数B．方程有两个实根
C．恒成立D．当时，
17．（多选题）对于函数．下列结论正确的是（ ）
A．任取，都有
B．函数 有2个零点
C．函数在上单调递增
D．若关于的方程有且只有两个不同的实根，则．
18．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．函数在上单调递增
C．方程有4个相异实根
D．若关于x的不等式在恒成立，则
19．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（ ）．
A．函数为增函数
B．
C．若在上恒成立，则的最小值为8
D．若关于的方程有三个不同的实根，则
20．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．当
B．
C．若在上恒成立，则的最小值为6
D．若关于的方程有三个不同的实数根则．
21．（多选题）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．在上单调递增
C．对任意恒成立
D．函数有6个零点
22．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．若不等式至少有3个正整数解，则
C．过点作函数图象的切线有且只有一条
D．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是
23．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于的方程有个不同的解
C．在上单调递减
D．当时，恒成立.
24．（多选题）已知定义在上的函数，下列结论正确的为（ ）
A．函数的值域为
B．当时，函数所有输出值中的最大值为4
C．函数在上单调递减
D．
25．（多选题）已知偶函数的定义域为，且，则以下结论正确的是（ ）
A．是周期函数B．任意，
C．D．若在恒成立，则的最小值为
26．（多选题）（2025·广东广州·二模）对于函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．任取，都有恒成立
B．
C．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
D．函数有且仅有个零点
27．（多选题）（2025·高三·山东潍坊·期中）已知函数其中，下列关于函数的判断正确的为（ ）
A．当时，
B．当时，函数的值域
C．当且时，
D．当时，不等式在上恒成立
28．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数的最小值为 ．
29．已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 .
30．已知函数，给出下列四个结论.
①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
②关于x的方程有个不同的解
③对于实数，不等式恒成立
④当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
其中所有正确结论的序号是 ．
31．已知函数，则函数的零点个数是 .
32．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知，若直线与有个交点，则 .
33．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数t的最大值为 ．
34．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是 .