2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题17构造函数解不等式(7大题型)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题17构造函数解不等式(7大题型)(学生版+解析)，文件包含2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题17构造函数解不等式7大题型教师版docx、2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题17构造函数解不等式7大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
题型一：幂函数模型
题型二：指数函数模型
题型三：对数函数模型
题型四：三角函数模型
题型五：找出原函数模型
题型六：找不出原函数模型
题型七：抽象函数模型
【方法技巧总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
【典型例题】
题型一：幂函数模型
【例1】（2025·高三·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式等价于，可得，
即可得；
令函数，可得，
又可得恒成立，
因此在上单调递减，又，
所以等价于，即；
解得，
所以不等式解集为.
故选：C
【变式1-1】已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】令，所以，
因为当时，，，单调递增，
因为为偶函数，所以，
所以，所以为奇函数，
所以在，上单调递增，
因为，所以，所以，
若，则等价于，所以，
若，则等价于，所以.
综上所述，不等式的解集是.
故答案为：.
【变式1-2】设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
可知的定义域为，且，
因为，则，
可得，故为偶函数，
当时，，即，
可知在上为增函数，
对于不等式，
可得，即，
由函数单调性和奇偶性可知：，解得，
故选：A．
【变式1-3】（2025·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
题型二：指数函数模型
【例2】已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，
所以，所以，解得．
故选：B.
【变式2-1】已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
因为，
所以，
所以，即在上单调递增，
又，所以，
故当时，，即，
整理得，两边同除以，即可得，
所以当且仅当时，，
所以的解集为.
故选：B.
【变式2-2】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
因为对任意实数，都有，
所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，所以，则，
所以，
则不等式转化为，即，
所以，故不等式的解集是．
故选：C.
题型三：对数函数模型
【例3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则．
因为，所以，
所以，所以在上单调递增．
不等式可转化为，
又，且，
即，所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：A．
【变式3-1】（2025·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则
，
所以在上单调递增．
由于当，当，
而，
故在上，不等式与同解，
即，又，得，即，
所以原不等式的解集为．
故答案为：
题型四：三角函数模型
【例4】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
又，所以得，
即，所以为上的偶函数，
又时，，所以在上单调递增，
又为上的偶函数，所以在上单调递减，
由，得，
所以，
即，所以得，解得：，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
【变式4-1】定义在上的奇函数的导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，因为是定义在上的奇函数，
则，
所以为偶函数.
当时，，，
由已知，
所以，
则在上单调递增，
由可化为，
即，得；
当，，则，
即，
由为偶函数，则在上单调递减，
得，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
【变式4-2】已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，则，且，
可知，且仅当时，则在上单调递增，
又因为为偶函数，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等价于，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
题型五：找出原函数模型
【例5】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【变式5-1】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
题型六：找不出原函数模型
【例6】函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
【变式6-1】定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
【变式6-2】函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以,
令，则 ，
所以，
令 ，则，
则当时， ，当时，
即函数在为增函数，在为减函数，
所以，
即，即函数在为减函数，
即时，既无极大值，也无极小值，
故选D.
题型七：抽象函数模型
【例7】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，因为为奇函数，所以函数的图像关于对称，
又当时，，易知函数在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
又，可知在上单调递增，
所以可化为，
即，即，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C．
【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数的定义域为为的导数，，当时，，若，则关于的不等式在区间上的解集为 .
【答案】
【解析】设，则当时，，
所以在上单调递增，
因为，所以为奇函数，
又，
所以关于对称，所以，
所以，所以的周期为6，且为偶函数，
又，所以，
故由的单调性可知：在和单调递增，
在和单调递减，又，
由的对称性可知，，
由可得，，
所以关于x的不等式在区间内的解集为．
故答案为：
【变式7-2】已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足
所以函数关于直线对称，即
因为当时,有即
故令则，在上单调递增,
因为，
所以关于点对称，
所以在上单调递增，因为，
所以所以当时, ,
所以，当时,，
所以且,即无解.所以不等式的解集是.
故答案为：.
【过关测试】
1．（2025·陕西渭南·二模）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，
则，解得，当时，；当时，，
则是函数的极小值点，，，
不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
2．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
所以，解得，所以不等式的解集为．
故选：A.
3．（2025·四川德阳·模拟预测）设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，由，令，则.
则，故，
由，令，则，故，
故，可知为偶函数；
令，则，
当时，由，则，即在上严格递增，
又，
则当时，，故；
则当时，，则；
则由偶函数对称性可知，当时，.
由，则.
不等式可化为，其中且.
当时，，则，
故不等式无解；
当时，，可得，即，
由在上严格递增，可知，解得，
所以；
综上所述，不等式的解集为.
故选：D.
4．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，
所以当时，，
即函数在上单调递减，
又，则，
，
由，
得，
即，
则，即是奇函数，所以是偶函数，
则当时，函数在上单调递增，
因为，所以，，
又，所以即，则，
所以不等式的解集为.
故选：B．
5．若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，则，即，
故关于对称，又，
则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
故对，有，即，
即，即，解得或，
即不等式的解集为.
故选：C.
6．已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记，则，
因为，
所以当时，，则，在上单调递增；
当时，，则，在上单调递减.
又，即，
所以，
因为，
所以，解得.
故选：B
7．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.
故选：D.
8．（2025·四川德阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，则；
因为，
所以当时，，即，此时在上单调递增；
当时，，即，此时在上单调递减；
又，所以，即；
所以函数图象上的点关于的对称点也在函数图象上，
即函数图象关于直线对称，
不等式变形为，即；
可得，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得.
故选：C
9．已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，有，
令，则，所以在区间上单调递增．
又，得，所以，
所以，解得．
故选：A
10．（2025·高三·山东烟台·期中）定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足 ，且当时， ，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，，
令，则，即是上的偶函数，
求导得，因为当时， ，
即，则，则在上单调递增，
，，即，
即，即，即，即，
所以，解得或，则解集为.
故选：C.
11．（2025·高三·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
12．设函数满足：，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以，
令，则，
即，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故有极小值，无极大值，故选B.
13．设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
14．设函数的导数为，且，，，则当时，
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
15．（2025·高三·辽宁·期末）已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为 .
【答案】
【解析】已知当时，，
将其变形为，
进一步整理得.
令，对求导， .
当时，，，
可得，所以在上单调递减.
因为是定义在上的偶函数，即.
那么，所以是奇函数.
所以在上也是单调递减.
已知，则.
当时，，则，
∴不等式可化为，即.
因为在上单调递减，则.
当时，；，得，则，
∴不等式可化为，即，则.
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
16．（2025·安徽黄山·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，即，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线，
若，即，
可得，
又为偶函数，则，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
17．（2025·高三·河南安阳·期中）已知函数是定义在上的连续可导函数，为其导函数，且恒成立.若当时，，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】设，
因为恒成立，则.
因为，当时，，
可知在上单调递增，则，
所以对都有，且，可得，
由，可得.
令，则，
可知在上单调递减.
由，可化为，
即，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
18．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，所以，
因为，所以，
化简得，所以是上的奇函数；
易知，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，
又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，得，
即，
又在上单调递增，得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
19．（2025·高三·重庆·开学考试）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
故（c为常数），
∵，∴，，
∴，
令，解得．
故答案为：
20．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】构造函数，其中，
则，
故函数在上为减函数，
由可得，即，
因为，则，所以，，解得.
对于、，当时都有，
不妨设，则，所以，函数在上为增函数，
则对任意的，，则，可得恒成立，
因此，所求不等式的解集为.
故答案为：.
21．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，
所以.
又因为，用代替得：.
所以，当时，，所以.
所以在上单调递增.
又为偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减.
设，则，则，又，
所以，根据函数为偶函数，且图象不间断，在上单调递减，在上单调递增，所以.
即.
所以不等式的解集为.
故答案为：
22．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】当时，由，得，则，
所以成立，所以符合，
当时，令，则，
因为，
当时，，
所以在上递增，
因为定义在上的偶函数，所以，
所以，所以为偶函数，
因为，定义在上的偶函数，所以，
所以
由，得，所以，
所以，
因为在上递增，
所以，且，得，且，
综上，，即不等式的解集是，
故答案为：
23．已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由，整理可得，则函数关于成中心对称，
所以关于直线成轴对称，
当时，，由，则，
由函数的导数为，
则函数在上单调递增，易知在上单调递减，
当时，；当时，，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
24．（2025·河北石家庄·一模）已知定义在上的函数，其导函数为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】构造函数，则，
所以函数在上为增函数，
且.
①当时，由可得，
即，
即，可得，解得，此时；
②当时，由可得，
即.
即，可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
25．已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，因为，
所以，所以（为常数），
又因为，所以，所以＝0，
即，则函数关于对称，
令，则原不等式等价于，
当时，因为，
则，
此时单调递增．
因为，所以函数关于对称，
则函数在时单调递增，
又因为，则，，
所以的解集为，
即原不等式的解集为．
故答案为：．
26．（2025·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】令，所以，
因为，所以，化简得，
所以在上是偶函数，
因为，
因为当，，所以，在区间上单调递增，
又因为为偶函数，所有在上单调递减，
由，得，又因为，所以，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
27．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为 .
【答案】
【解析】依题意，构造函数，则，
因为对，成立，所以在单调递增，
又函数是上的奇函数，所以，
所以函数是上的偶函数，所以函数在单调递减，
因为，所以，又，所以当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；当和时，；
综上，当和时，，即的解集为.
故答案为：.
28．已知定义在的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】设函数，，则，
因为，所以，则函数在上单调递增，
则，
不等式可化为，即，
所以，解得，故不等式得解集为.
故答案为：.
29．已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】设，则
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以是上的偶函数，
当时，，所以在上单调递增，
所以在上单调递减．因为，所以，
所以．
对于不等式，
当时，，即，解得；
当时，，即，解得，
所以不等式的解集是．
故答案为：
30．已知为定义域上函数的导函数，满足，当，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】令，即求的解集，因为，所以在上单增，因为，所以当时，1.
又因为，所以关于对称，所以关于对称，所以关对称，所以的解集为或
故答案为：
31．（2025·高三·山西太原·开学考试）已知定义在上的函数满足，，为的导函数，当时，，则不等式的解集为
【答案】
【解析】令，所以，
因为，所以，
化简得，所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，
所以在上单调递增，
又是上的奇函数，
所以在上单调递增；
考虑到，
由，得，
即.
由在上单调递增，得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
32．（2025·高三·上海奉贤·期中）定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是
【答案】
【解析】因为，构造，
则，所以在R上单调递减，
由,令得：，故，
由得：，
因为，所以，
故，
因为在R上单调递减，
所以，解得：.
故不等式的解集是.
故答案为：.
33．函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为 ．
【答案】
【解析】由，得，
记，则有，即为偶函数，
又时，恒成立，恒成立，
所以在上单调递增，
所以由，得，
即，
所以，平方得解得，
故答案为：．
34．（2025·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为 ．
【答案】/
【解析】设函数，则
又
所以在上单调递增，又
故不等式 可化为
由的单调性可得该不等式的解集为．
故答案为：