沪科版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定当堂达标检测题

这是一份沪科版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定当堂达标检测题，文件包含专题09构造全等三角形的五大方法-原卷版docx、专题09构造全等三角形的五大方法-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc178596458" 压轴题型讲练 PAGEREF _Tc178596458 \h 3
\l "_Tc178596459" 类型一、利用“补形法”构造全等三角形 PAGEREF _Tc178596459 \h 3
\l "_Tc178596460" 类型二、利用“截长补短法”构造全等三角形 PAGEREF _Tc178596460 \h 5
\l "_Tc178596461" 类型三、利用“倍长中线法”构造全等三角形 PAGEREF _Tc178596461 \h 7
\l "_Tc178596462" 类型四、利用“旋转法”构造全等三角形 PAGEREF _Tc178596462 \h 10
\l "_Tc178596463" 类型五、利用“作垂线法”构造全等三角形 PAGEREF _Tc178596463 \h 12
\l "_Tc178596464" 压轴能力测评 PAGEREF _Tc178596464 \h 14
1 用SSS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

2 用SAS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。
（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
备注：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2） 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
3 用ASA或AAS判定两个三角形全等的方法
方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
4 用HL判定两个直角三角形全等的方法
方法技巧：HL 只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。
（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
备注：
1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
类型一、利用“补形法”构造全等三角形
例．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【变式训练1】．求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，且满足，且是常数，直线平分，交x轴于点D．
（1）若的中点为M，连接交于点N，求证：；
（2）如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式训练3】．已知，如图ΔABC中，，，的平分线交于点，，
求证：.

类型二、利用“截长补短法”构造全等三角形
例．如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．

(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：；
(3)求四边形的面积．
【变式训练1】．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．

(1)求的度数；
(2)求证：．
【变式训练2】．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．

【变式训练3】．(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线BD平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段AB，，BD之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段AB、CE、之间的数量关系并说明理由．
类型三、利用“倍长中线法”构造全等三角形
例．如图，为中线，点在上，交于点，．求证：．
【变式训练1】．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【变式训练2】．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
【变式训练3】．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
类型四、利用“旋转法”构造全等三角形
例．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明．
【变式训练1】．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
【变式训练2】．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【变式训练3】．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
类型五、利用“作垂线法”构造全等三角形
例．小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．

(1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
【变式训练1】．定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

(1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________；
(2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角．
【变式训练2】．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【变式训练3】．如图，中，，则点B的坐标为 ．
1．在中，，中线，则边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
4．如图，在ΔABC中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为( )
A．B．C．D．
5．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（ ）
A．AB＞AD+BCB．AB＜AD+BCC．AB＝AD+BCD．无法确定
6．如图，在中，．将绕O点逆时针方向旋转90°到的位置，则点的坐标是 ．
7．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．

(1)如图1，可得___________；若，则___________．
(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）
(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．
8．在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．
（1）如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是______；
②线段、、之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．
9．已知与都是等腰直角三角形，且．求证：
(1)；
(2)．
10．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．
(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．
“补形法”是指补全图形的方法，主要是利用条件构造与已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解决问题。
“截长补短”是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法.当题目中出现三条线段间的和差关系时(如a=b+c),常考虑用此法解决.所谓"截",就是将最长的线段a截成两段,使其中一段等于较短的一条线段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知识证另一段等于线段c;所谓"补",就是将较短的线段6延长,使延长的线段长度为c,相当于将线段b,c拼成一条线段,再证明此线段的长等于a.用截长补短法解决问题的关键,是用"截"或"补"的手段去构造线段.
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角相等）
倍长中线最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法讲解】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC中， AD是BC边中线， 如图一

图一 图二
方式1： 延长AD到E，使DE=AD， 连接BE 如图二
结论：
方式2：间接倍长
如图三：作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E；
如图四：延长MD到N，使DN=MD， 连接CN，

在解决等边三角形、正方形或者顶角为特殊的等腰三角形时，若条件较为分散，可考虑利用旋转构造全等三角形，可高效突破有关难题。
手拉手模型便是由两个同顶角的等腰三角形形成，可看成两个全等三角形旋转而得，这便体现了全等三角形和旋转之间的关系！
熟悉手拉手模型
2.遇60°，120°构全等
关键：抓住相等的边，旋转点，以及旋转后图形的特征
3.遇45°，135°构造全等
通过全等构造，将线段转化到直角三角形中
以上这些，将会在另外专题中讲到。