数学八年级上册（2024）12.2 一次函数练习题

这是一份数学八年级上册（2024）12.2 一次函数练习题，文件包含专题05一次函数几何图形难点三种考法-原卷版docx、专题05一次函数几何图形难点三种考法-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc178596229" 压轴题型讲练 PAGEREF _Tc178596229 \h 1
\l "_Tc178596230" 类型一、一次函数与面积 PAGEREF _Tc178596230 \h 1
\l "_Tc178596231" 类型二、一次函数与动点最值问题 PAGEREF _Tc178596231 \h 7
\l "_Tc178596232" 类型三、一次函数大综合 PAGEREF _Tc178596232 \h 17
\l "_Tc178596233" 压轴能力测评 PAGEREF _Tc178596233 \h 23
(1)求参数k、b范围问题（如交点、临界位置问题）;
(2)一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积;
(3)一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值;
(4)用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题;
(5)动点与图形问题;
类型一、一次函数与面积
例．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或或
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与面积问题，坐标与图像，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据题意用待定系数法直接求一次函数解析式即可；
（2）令，求出点坐标即可求得的面积；
（3）先求出的解析式，再分别讨论的面积是的面积的时M的横坐标的情况，即可求得点M的坐标情况．
【详解】（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：在中，令，解得：，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
设的解析式是，则，解得：，
则直线的解析式是：，
∵的面积是的面积的时，
∴当M的横坐标是时，
在中，当时，，则M的坐标是；
在中，则，则M的坐标是．
则M的坐标是：或．
当M的横坐标是时，
在中，当时，，则M的坐标是；
综上所述：M的坐标是：或或．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A的坐标；
(2)求出的面积；
(3)直线上是否存在一点C，使的面积等于的面积？若存在，求出点C(不同于点B)的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合：
（1）求出当时，x的值即可得到答案；
（2）先求出点B的坐标，再求出，据此根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据三角形面积公式结合（2）所求列出关于点C纵坐标的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解；∵的面积等于的面积，
∴，
∴，
∴，
当时，（舍去），当时，，
∴点C的坐标为．
【变式训练2】．如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点．
(1)求t，b的值；
(2)若点在线段上运动，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，与x轴交于点D，如图所示．
①若，求四边形的面积；
②若M是线段的3等分点，求m的值．
【答案】(1)，
(2)①7；②3或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①若，先求出M、D、N的坐标，再求出、的长，然后根据即可求出四边形的面积．
②若M是线段的3等分点，则分两种情况：（ⅰ），（ⅱ），分别求解即可．
本题考查一次函数的性质，坐标与图形；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：将代入中，得，
，
将代入中，得，
解得．
（2）解：如图，
①由（1）得，
∴直线的表达式为：，
若，则，
，
则，
过C点作于E，
则，，
．
②∵点在上，
，
，
，，
，．
M是线段的3等分点，分两种情况：
（ⅰ），
，
解得：．
（ⅱ），
，
解得：．
综上，m的值为：3或．
【变式训练3】．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
(3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键．
（1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标．
（2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标．
（3）设点P的坐标为，根据，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点B，
令得，，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴．
（2）解：∵直线与x轴交于点A，
令得，，
∴A−2,0，
∴，
∴，
设点，则，
∴，
解得或，
∴点D的坐标为或；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，即，
，
，即
点的坐标为0,2或．
类型二、一次函数与动点最值问题
例．如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点是直线上的点，过点作轴于点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查一次函数和全等三角形的性质与判定；
（1）先根据点在直线上求出的值，再根据点和点求出直线的解析式；
（2）先分别计算出、的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：在直线上，
，
点的坐标为，
设直线的的解析式为
点和点在直线上，
，
解得k=1b=3，
直线的解析式为：；
（2）解：直线上，当时，；当时，
，，
当点在轴下方时，设点的坐标为如下图所示，

当时，
点在直线上，
，
，
，
，
点满足条件，
当时，
得，
，
点不满足题意，舍去；
当点在轴上方时，设点的坐标为如下图所示，

当时，
点在直线上，
，
，
，
，
点不满足题意，舍去；
当时，
点在直线上，
，
，
，
，
点满足条件，
满足条件的点的坐标为，．
【变式训练1】．直线AB：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；
(2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标．
【答案】(1)点的坐标为，，；
(2)图见解析，点的坐标为，或，或，．
【分析】（1）将点点，代入解析式得出，继而得出点的坐标为，，根据得出，即点的坐标为，，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）分在轴上方：和如图和点在轴上(如图②)两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线AB：过点，，
，
．
当x=0时，，
点的坐标为，，
即．
：：，
．
点在轴正半轴，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，、，代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为．
（2）分在轴上方：和如图和点在轴上(如图②)两种情况考虑：
如图①：①当时，
，
．
，
，，
，
点的坐标为，；
②当时，，，
，
点的坐标为，．
如图②当时，，
，
点的坐标为，．
综上所述，点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
【变式训练2】．如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．

(1)求直线的函数表达式；
(2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为或
【分析】（1）将点代入直线：可得，利用待定系数法即可得直线的解析式；
（2）分两种情况：①当时；②当时，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：因为直线：与直线交于点，
所以，
所以，
又因为过点，
故设直线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
所以直线的函数表达式为．
（2）因为直线 ：与x轴交于点A，与y轴交于点D．
所以，
因为轴于点N，
所以，
所以以O、M、N为顶点的三角形与全等，分两种情况：

①如图，当时，，
因为直线的函数表达式为，
当时，，
所以点M的坐标为；
②如图，当时，，
因为直线的函数表达式为，
当时，，
所以点M的坐标为．
综上所述，满足条件的点M的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数和全等三角形的性质是解本题的关键．
【变式训练3】．如图， 已知直线与轴、 轴分别交于点， 以 为边在第一象限内作长方形 ．
(1)求点的坐标；
(2)将对折， 使得点的与点重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线CD的解析式 （图②）；
(3)在坐标平面内， 是否存在点 （除点外）， 使得与全等， 若存在， 请求出 所有符合条件的点的坐标， 若不存在， 请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）对于直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后根据待定系数法求出直线CD的解析式即可；；
（3）分三种情况，根据翻折的性质以及勾股定理、等面积法，即可求得符合题意的点P的坐标．
【详解】（1）对于直线y=-2x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2
∴A（2，0），C（0，4），
故答案是：（2，0），（0，4）；
（2）∵四边形是矩形，
∴AO//BC，且BC=AO=2；AB//OC，且AB=OC=4，
∵则B（2，4）．
由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）2+22=x2，
解得，
此时，AD=
∴D（2，）；
设直线CD为y=kx+b，
把D（2，），C（0，4）代入，得

解得，
∴直线CD解析式为
（3）情形1：如图①，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，AB=CP，AP=BC=2
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD=，PD=BD=4-=，
由 得：PQ=3，
∴PQ=．
∴xP=2+=，
把x=代入y=-x+4，得y=．
此时P（，）．
情形2：∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC，AB=OC，
∴△AOC≌△CBA
当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，
此时P（0，0）．
情形3：如图②，
由△APC≌△CBA得∠
过点P作于点G，AP与OC交于点H，
设则
在中，
∵
∴
在中，
∴
解得，
经检验，是原方程的解；
∴
∴
设则
在中，
在中，
∴
解得，，即
∴
∴
∴
综上，点P的坐标为
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解题的关键．
类型三、一次函数大综合
例．已知与x成正比例，当时，．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)请在图中画出该函数的图象；
(3)已知，P为（2）中图象上的动点，Q是y轴上的动点，连接，则的最小值小为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象的性质、一次函数与几何的综合等知识点，求得函数解析式成为解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）先求出函数图像与x、y轴的交点坐标，然后过两点作直线即可；
（3）作点A关于原点的对称点，作于点，交轴于点，此时取得最小值，最小值为，然后利用勾股定理和等积法即可解答．
【详解】（1）解：设，把时、代入得：，解得．
，即．
（2）解：把代入得：，
把代入得：，解得，
函数图象过点，
函数图象，如图所示：

（3）解：如图：作点A关于原点的对称点，作于点，交轴于点，此时取得最小值，最小值为，
如图：连接，
∵点，，，，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：4．
【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点B0,3．
(1)求m的值和直线AB的函数表达式．
(2)若点在线段AB上，点在直线上，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)4
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）把点的坐标代入直线解析式可求解，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）把点代入，得．
设直线AB的函数表达式为，把点，B0,3代入得
解得，
∴直线AB的函数表达式为．
（2）∵点在线段AB上，点在直线上，
∴，
∴．
∵，
∴的值随x的增大而减小，
∴当时，的最小值为4．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)P（，）
(2)存在，13
【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
（1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可．
【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B，
则有，
∵，
∴，
此时P的纵坐标为，
∴，
∴此时所求点P坐标为（，）．
（2）动点P在直线运动过程中，存在最小值．
如图，作点O关于直线的对称点，
则有，
在中，令，得，令，得，
直线与x轴交点为，，
直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∵点O关于直线的对称点，
，
∵，当点P运动至三点共线时取等号，
∵，
∴的最小值为13，
即的最小值为13．
【变式训练3】．现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量．
(1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x的代数式表示）．
(2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m元，有盖长方体每个售价n元，完全售出后，满足如下数据：
①求y与x之间的关系式，
②求y的最小值；
【答案】(1)300-3x
(2)①y与x之间的关系式y=-x+600；②当x=100时，y有最小值，最小值是500．
【分析】（1）x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子，一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x，根据题意剩余的盒子为300-x-2x；
（2）①由题意得到y=（300-3x）m +n⋅2x，再由表中数据可以得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值即可得出结论；
②有函数的性质结合x的取值范围求函数最值．
【详解】（1）解：由题意得，x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子，
∵一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x，
∴剩余的无盖长方体的数量为300-3x，
故答案为：300-3x；
（2）解：①设y=m（300-3x）+n⋅2x，
依据题意得，
解得，
∴y=2（300-3x）+2.5⋅2x=-x+600，
∴y与x之间的关系式y=-x+600；
②∵2x≤300-x，
解得x≤100，
∵y=-x+600，-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y有最小值，最小值是500．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，根据题意列出函数解析式是解题关键．
1．平面直角坐标系中，，，则坐标原点O关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键．
如图：易得，再结合直角坐标系可得，再根据轴对称的性质，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明四边形是正方形得到即可解答．
【详解】解：如图：∵，，
∴,
∴，
∵坐标原点O关于直线AB对称的点，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
故选：D．
2．已知点Px,y在第二象限，且满足，点A的坐标为0,1，若的面积为s，则s与x的关系可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标特征，一次函数的应用，解一元一次不等式组，由点在第二象限得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：∵点在第二象限，且满足，
∴，即，
∴，，
解得：，
∵点A的坐标为，
∴，
∴的面积，
∴，
故选：D．
3．已知点， 直线经过点．当该直线与线段有交点时，k的取值范围是（ ）
A．或 B．且
C．或D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．先求解，的解析式，再结合图象可得答案．
【详解】解：如图，
当为直线时，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴此时该直线与线段有交点时，则，
当为直线时，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴此时该直线与线段有交点时，则，
∴或．
故选：D．
4．如图，等腰中，，的周长为12，边，，则与的函数关系式的图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的定义、一次函数的图象等知识，熟记等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及函数的图象求解即可．
【详解】解：，的周长为12，边，，
，
，
与的函数关系式的图象为
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C
5．如图，点 P是矩形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x， 的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律，理解题意，作出辅助线是解题关键．分三段来考虑点P沿A→D运动，的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，的面积不变；点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同时考虑各段的函数解析式，据此选择即可得．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，则
当点P在线段上时，，b是定值，y是x的一次函数，

点P沿A→D运动，的面积逐渐变大，且y是x的一次函数，
点P沿D→C移动，的面积不变，
点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同法可知y是x的一次函数，
故选：A．
6．在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图像上点的坐标特征，先证明四边形平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得m值即可．
【详解】解：∵、、、四点的坐标依次为、、、，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，
∴一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，
∵，，
∴则该平行四边形对角线的交点坐标为，
将代入中，得，
解得，
故选：A．
7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A、B、C的坐标分别为、、．
(1) ；
(2)画出关于y轴对称的
(3)已知点P在x轴上，且，则点P的坐标是 ；
(4)若y轴上存在点Q，使的周长最小，则点Q的坐标是 ．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）利用割补思想，梯形面积减去两个直角三角形面积即可求得；
（2）画出三点关于y轴的对称点，并依次连接即可；
（3）设，由勾股定理可分别表示出、，由建立方程并解方程即可求得点P的坐标；
（4）因长为定值，只需最小即可，利用对称性，作点A关于x轴的对称点E，连接与x轴的交点即为求作的点Q，求出直线的解析式，再求得直线与x轴的交点即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：4；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：设，由勾股定理得、，
，
，
解得：
；
故答案为：；
（4）解：因长为定值，最小时的周长最小，
作点A关于x轴的对称点E，连接与x轴的交点即为求作的点Q，连接，如图，
，
，
即当、Q、E三点在同一直线上时，最小；
、E关于x轴对称，
，
设直线的解析式为，
把C、E两点坐标代入得：，
解得：，
则直线的解析式为，
令，得，
直线与x轴的交点为．
即Q点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，善于应用函数思想、方程思想解决问题是关键．
8．在平面直角坐标系中，点，，直线与y轴相交于点C．
(1)如图1，当A，B关于y轴对称，且直线经过点A时，求k的值．
(2)如图2，当时，直线与线段存在交点P（不与点A，B重合），且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是对一次图数图象和性质的掌握；
（1）根据A，B关于y轴对称可求出m的值，再把点A的坐标代入中即可求出k的值；
（2）先求出点P横坐标，再根据点P不与点A，B重合，且，求出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵点，，A，B关于y轴对称，
∴，解得：
∴
∵直线经过点A，
∴，解得．
（2）当时，即，解得，即
∵，，，点P不与点A，B重合
∴，解得：
∴m的取值范围是．
9．一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若一次函数与x轴交于C点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）先求出直线与轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到的面积．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【详解】（1）解：依题意，
把，代入得到，
解得，
所以直线的解析式为；
（2）解：把代入得，
解得，
直线与轴的交点为，，
∴的面积．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，与相交于点C．
(1)请直接写出点A、点B、点C的坐标：A ，B ，C ．
(2)如图2，动直线分别与直线，交于P，Q两点．
①若，求t的值．
②若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)①或；②或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合：
（1）根据题意，分别令，，分别得到点，点的坐标，联立，得到点的坐标．
（2）①由题意得，，则，据此可得方程，解方程即可得到答案；②先根据（1）所求得到，再分点Q在x轴上方和下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：根据已知条件，
令，解得：，
点；
令，
解得：，
点；
联立，
解得：，
点，
故答案为：，1,0，2,3．
（2）解：①由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得或；
②∵，，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当点Q在x轴下方时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
在中，当时，，解得，
∴；
当点Q在x轴上方时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
在中，当时，，解得，
∴；
综上所述，点Q的坐标为或．
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积;
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。
x（张）
60
90
销售后的总利润y（元）
540
510