高中数学人教A版 (2019)必修 第二册随机抽样练习题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 分层随机抽样概念的理解及应用
题型2：分层随机抽样中的相关运算
题型3：分层随机抽样的概率
题型4：分层随机抽样的方案设计
题型5：分层随机抽样的平均数
题型6：两种抽样方法的选取及综合应用
题型7：普查与抽样及其合理选择
题型8：总体与样本
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：分层随机抽样的概念及特点
（1）分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个字总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
（2）分层随机抽样的特点
①从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.
②分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为的总体中抽取一个容量为的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于.
③分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表注，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛.
（3）对分层抽样的“层”的理解
在分层抽样中，将具有某种共同特征的对象归为同一层，不同层之间的对象要有明显的差异，并且这些特征的差异应该是对所研究的问题有影响的例如，要从某中学抽取一些学生构成一个样本，如果研究他们的视力情况，那么应该按照年龄分层，或按照年级分层，都是合理的分层方式；但如果按照性别分层，就不合适了，因为性别对视力的影响可能是很小的，如果研究他们对篮球运动的兴趣，那么按照性别分层就比按年龄或年级分层会更合理在实际中，对于一些复杂的问题，可能还需要对层内再进一步细分层.
知识点2：分层随机抽样的步骤
①根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；
②根据总体中的个体数和样本量计算抽样比；
③确定第层应该抽取的个体数目（为第层所包含的个体数），使得各之和为；
④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的样本.
知识点3：简单随机抽样与分层随机抽样的比较
知识点4：分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用 QUOTE 表示第1层各个个体的变量值，用 QUOTE 表示第1层样本的各个个体的变量值；用 QUOTE 表示第2层各个个体的变量值，用 QUOTE 表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
.
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
.
总体平均数和样本平均数分别为
.
由于用第1层的样本平均数 QUOTE ? 可以估计第1层的总体平均数 QUOTE ? ，用第2层的样本平均数 QUOTE ? 可以估计第2层的总体平均数 QUOTE ? ，因此可以用.
知识点5：获取数据的途径
在实际统计调查中，一般先要确定调查的目的、对象，即统计调查要解决的问题和需要调查的总体；还要确定好调查的项目，也就是要统计的变量.接下来就开始收集数据，收集数据的基本途径如下：
（1）通过调查获取数据
设计调查问卷：
调查问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成.问题由调查人员根据调查的目的、项目进行设计
设计调查问卷的注意事项：
①问题要具体，有针对性，使受调查者能够容易作答.
②语言简单、准确，含义清楚，避免出现有歧义或意思含混的句子
③题目不能出现引导受调查者答题倾向的语句
④设计问题时要注意“如何得到敏感性问题的诚实回答”.
（2）通过试验获取数据
根据调查项目的要求设计一些合适的试验，能够直接地获得样本数据.试验时要注意准备好试验用具（或组织好观测的对象)、指定专门的记录人员等.做试验通常能得到可靠的数据资料，但需花费的人力、物力、时间较多，有时带有破坏性.
（3）通过观察获取数据
对于有些现象，不能用试验或者抽样等方法来获取数据，只能通过长久持续的观察获取，主要是一些自然现象，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等.一般地，通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，需要通过统计学理论和方法来挖掘.
（4）通过查询获得数据
有些数据资料不容易直接调查得到，这时可以通过查阅统计年鉴、图书馆文献等方法获得所需或相关的数据，比如全国历次人口普查的数据都可以在统计年鉴中查阅到；还可以通过互联网上的资源得到数据资料.
二、重点题型分类研究
题型1: 分层随机抽样概念的理解及应用
典型例题
例题1．某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．系统抽样
C．分层抽样D．其他抽样
例题2．简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中（ ）
A．每个个体被抽到的可能性相同
B．把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取
C．将总体分成几层，按比例分层抽取
D．都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取
例题3．某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（ ）
A．高三每一个学生被抽到的概率最大B．高三每一个学生被抽到的概率最小
C．高一每一个学生被抽到的概率最大D．每位学生被抽到的概率相等
例题4．（多选）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（ ）
A．应该采用分层抽样法抽取
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
同类题型演练
1．某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法B．简单随机抽样
C．分层随机抽样D．随机数法
2．（多选）某班有男生20人，女生30人，从中抽出10人为样本，恰好抽到了4名男生和6名女生，那么下面说法正确的是 （ ）
A．该抽样可能是比例分配的分层随机抽样
B．该抽样一定不是用随机数法
C．该抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D．该抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率相等
3．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________.
4．某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人．为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是______．（用“简单随机抽样”或“分层抽样”填空）
题型2：分层随机抽样中的相关运算
典型例题
例题1．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（ ）
A．6,4,8B．6，6，6C．5，6，7D．4，6，8
例题2．某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（ ）
A．2600B．2580C．2540D．2500
例题3．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中的人数情况如表中所示：
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽取出席人？
例题4．一汽车厂生产、、三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表所示（单位：辆）：
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆．
(1)求的值；
(2)用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本，应如何抽取？
同类题型演练
1．某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为_____________．
2．某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则___________；
3．某校高中部有高一学生600人，高二学生480人，高三学生420人．某研究小组为了调查该校高中部不同年级学生课后作业量的情况，现采用分层随机抽样的方法在三个年级共抽取100名学生，应抽取高一学生的人数为多少？
4．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占37.5%，老年人占20%．登山组的职工占参加活动总人数的三分之一，且该组中，青年人占50%，中年人占30%，老年人占20%．为了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的整体满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
题型3：分层随机抽样的概率
典型例题
例题1．某校要从高一、高二、高三共2 023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 023名学生中剔除23名，再从剩下的2 000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（ ）
A．都相等且为B．都相等且为
C．不完全相等D．均不相等
例题2．在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个，三级品 60 个，从中抽取容量为 20 的一 个样本，则每个个体被抽到的可能性为（ ）
A．B．C．D．
例题3．一个总体分为，两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为_______．
例题4．重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.
同类题型演练
1．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（ ）
A．B．C．D．
2．从一个容量为（，）的总体中抽取一个容量为的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ）
A．B．C．D．
3．为了庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织了一次“学党史、强信念、跟党走”主题竞赛活动.活动要求把该学校教师按年龄分为35岁以下，岁，45岁及其以上三个大组.用分层抽样的方法从三个大组中抽取一个容量为10的样本，组成答题团队，已知岁组中每位教师被抽到的概率为，则该学校共有教师（ ）人
A．120B．180C．240D．无法确定
4．一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为________．
题型4：分层随机抽样的方案设计
典型例题
例题1．某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中区2400人，区4600人，区3800人，区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．
．
例题2．某中学举行了体育运动会，同时进行了全校精神文明擂台赛，为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别对全校500名教职工、3000名初中生、4000名高中生进行问卷调查．
(1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估，请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论，并写出抽样过程．
(2)要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应选什么方法？请说明理由．
同类题型演练
1．某地区的高中生24000人，初中生10900人，小学生11000人．此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应该怎样抽取样本？
2．中学高一年级的500名同学中有218名女生，在调查全年级同学的平均身高时，预备抽样调查50名同学.
(1)设计一个合理的分层抽样方案.
(2)你的设计中，第一层和第二层分别是什么？
(3)分层抽样是否在得到全年级同学平均身高的估计时，还分别得到了男生和女生的平均身高的估计？
题型5：分层随机抽样的平均数
典型例题
例题1．某中学高一年级有女生380人，男生420人，学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重．学校从女生和男生中抽取的样本分别为40和80，经计算这40个女生的平均体重为49kg，80个男生的平均体重为57kg，依据以上条件，估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ）
A．B．
C．D．
同类题型演练
1．高一某班有男生28人，女生21人，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从该班全体同学中抽取出一个容量为7的样本，已知抽出的男生的平均身高为，抽出的女生的平均身高为，估计班全体同学的平均身高是__________．
题型6：两种抽样方法的选取及综合应用
典型例题
例题1．现要完成下列项抽样调查：
①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；
②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样
B．①简单随机抽样，②简单随机抽样
C．①分层抽样，②分层抽样
D．①分层抽样，②简单随机抽样
例题2．①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90~119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．上述两件事，合适的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样
C．简单随机抽样，简单随机抽样D．分层抽样，分层抽样
例题3．现要完成下列两项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②简单随机抽样B．①分层随机抽样，②分层随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样D．①简单随机抽样，②分层随机抽样
例题4．（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有（ ）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层抽样B．②③适宜采用分层抽样
C．②适宜采用分层抽样D．③适宜采用简单随机抽样
同类题型演练
1．①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90~100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；②运动会的工作人员从参加接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A．分层随机抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层随机抽样
D．分层随机抽样，分层随机抽样
2．现有以下两项调查：①从台刚出厂的电视机中抽取台进行质量检查；②某社区有户家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，低收入家庭户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
3．要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（ ）
A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样B．（1）（2）都用简单随机抽样
C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样D．（1）（2）都用分层随机抽样
题型7：普查与抽样及其合理选择
典型例题
例题1．为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（ ）
A．调查方式是全面调查B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400D．该校约有95%的家长持赞成态度
例题2．要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》 的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数
C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程
例题3．（多选）下面问题可以用抽样调查方法的是（ ）
A．武汉火神山医院供应库房工作人员对新入库的10万只一次性医用口罩进行质检
B．中国银行临沂兰山支行对某公司100万元存款的现钞的真假检验
C．空降兵战士检查20个伞包及伞的质量
D．某单位检测新生产出来的一批电子器件的使用寿命
例题4．为了解某一网课的授课满意度，在参与该课程的学员中进行抽样调查，调查表明非常满意比例为56%，较满意的比例为34%，不满意的比例为10%．在该问题中，统计量是__________________．
例题5．小王和小张计划调查上海某地铁站的拥挤程度．小王连续一个月每天上午8点至10点在地铁站点观察，并统计人数，这两个小时中平均每小时进站人数为3500人次，由此小王推断该地铁站严重拥挤；小张连续5个周末在地铁站观察进站人数，统计得到平均每小时进站人数为500人次，由此他推断该地铁站不拥挤．你同意小王和小张的推断吗？
同类题型演练
1．某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下面说法正确的是（ ）
A．调查方式是普查
B．样本是200个球根
C．这批花只有196个球根发芽
D．这批花约有2%的球根不发芽
2．以下调查不适合用普查的是（ ）
A．调查某班学生每周课前预习的时间
B．调查某中学在职教师的身体健康状况
C．调查全国中小学生课外阅读情况
D．调查某校篮球队员的身高
3．下列调查方式最合适的是（ ）
A．为了调查某批次汽车的抗撞击能力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用普查的方式
C．为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式
D．对载人飞船“神舟十四号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
4．下列各项调查中你认为合理的有（ ）
①为了了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行抽样调查
②“神舟十四号”飞船发射前，采用抽样调查的方式检查其各零部件的合格情况
③采用抽样调查的方式了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受
④为调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，将要调查的问题放到某网站上，这样大部分上网的人就可以看到调查问题并及时反馈
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．要得到某乡镇的贫困人口数据，应采取的方法是（ ）
A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据
题型8：总体与样本
典型例题
例题1．一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵.现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为(矮中高)，则（ ）
A．(高中矮)>矮中高)B．(高中矮)(矮中高)
C．(高中矮)