数学必修 第二册9.1 随机抽样教案

这是一份数学必修 第二册9.1 随机抽样教案，共10页。教案主要包含了教学目标，重难点，分层随机抽样的定义，比例分配，例题巩固，反思收获等内容，欢迎下载使用。

教学基本信息
课题
9.1.2 分层随机抽样
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书 数学必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 8 月
教学目标及教学重点、难点
一、教学目标
1.理解分层随机抽样的概念，了解分层随机抽样的特点、适用范围和必要性;
掌握各层样本量比例分配的方法，会用分层抽样得到的样本均值估计总体均值。
2.在课程中引导学生理解抽样方法的多样性，能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据；
3.关注学生统计观念的形成，强化抽样思想，和用样本估计总体的思想。
二、重难点
重点：分层随机抽样的特点、适用范围和步骤；
难点：比例分配分层随机抽样中，用样本均值估计总体均值。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
一、复习回顾
抽样调查是获取统计数据的重要途径。
在抽样调查中，根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据，对总体的情况进行估计和推断。
我们学习了一种基本的抽样方法 ——简单随机抽样，这种方法简单，直观，是很多抽样方法的基础。并且，可以用样本均值估计总体均值.
为了获得较好的估计效果，样本的代表性是抽样调查的核心问题。
二、问题情境
树人中学高一年级有712名学生，为调查其平均身高，用简单随机抽样的方法，从高一年级学生中，抽取一个样本量为50的样本。样本的身高变量值（单位：cm）如下：
可以计算出，样本均值为162.72 ．
可以估计：树人中学高一年级学生的平均身高为162.72cm ．
复习简单随机抽样，强调“样本的代表性”。
通过简单随机抽样的具体数据，回顾简单随机抽样中用样本均值估计总体均值的方法，为本节课做铺垫。同时，创设本节课的问题情境。
新课
为了考查简单随机抽样的估计效果，从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据．
计算得出，高一年级学生的平均身高为165.0cm ．
问题1：为什么样本平均数大幅度地偏离了总体平均数？
问题2：为什么运用简单随机抽样获取的样本中，
会出现“极端”样本？
（1）高一年级学生的身高差异较大;
（2）样本抽取的随机性．
简单随机抽样存在不足，需要进行改进.
问题3：在样本量相同且样本量不大时，你认为总体中个体差异的大小对估计效果有什么影响？
从以上两个总体中，分别抽取一个个体，来估计总体的平均长度，总体1效果好
在样本量相同且样本量不大时，总体中的个体差异越小，用样本均值估计总体均值的效果越好．
因此，减少总体中个体之间的差异，能够减少“极端样本”的出现，提高样本的代表性和估计效果，也是改进抽样方法的思路。
方法：
（1）将总体划分为若干组，相近的样本划分为同一组;
（2）在每一组中进行简单随机抽样;
（3）汇总，得到样本.
样本在各个组中都有代表，减少了“极端样本”的出现，样本具有更好的代表性。
问题4：通过哪些信息对学生分组，可以使得同组的学生身高差异较小呢？
年龄、性别…
（1）高一年级的学生年龄差异不大，年龄对身高影响不大;
（2）性别和身高存在密切相关，很明显，高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小。
因此，我们可以把高一年级学生分成男生、女生两组，再对男生、女生分别进行简单随机抽样。
在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名，抽取一个容量为50的样本．
思考：样本量在男生、女生中如何分配？
方案一： 按男生、女生在全体学生中所占的比例分配．
每个学生被抽到的可能性都相等．
方案二： 等额分配.
男生、女生被抽到的可能性不都相等.
从样本的结构上分析，方案一，根据总体中男女生比例抽取，得到的样本结构与总体更相近。因此，按比例分配是一种比较合理的方式。
n男=326712×50≈23，n女=386712×50≈27
从男女生中分别用简单随机抽样，抽取23人和27人，汇总，就可以得到样本量为50的样本。
回顾以上的抽样方法，归纳其操作步骤。
（1）把高一学生分为男生、女生两个有明显差异的组；（子总体）组内个体差异小、组间个体差异大
（2）在每一个组中，分别进行简单随机抽样；
（3）把两个组中抽取的样本汇总，作为总样本．
三、分层随机抽样的定义：
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. 每一个子总体称为层.
注意：
（1）每个个体属于且仅属于一个子总体，也就是各层互不相交。
（2）在每层中独立地进行简单随机抽样，因此，简单随机抽样是分层随机抽样的基础。
（3）组、子总体也称为层。
1.分层随机抽样的特点：
（1）适用范围：总体中个体差异较大．
（2）目的：减少“极端”样本的出现，
使样本具有更好的代表性．
2.分层随机抽样的一般步骤：
（1）分层：根据已掌握信息，将总体分成互不相交的层；
（2）定量：计算各层中抽取的个体数；（比例分配）
（3）抽样： 在各层中，用简单随机抽样方法抽取个体，
合在一起作为总样本．
接下来，我们来进一步认识比例分配。
比例分配，按各层在总体中所占的比例分配样本量。
每层样本量= 各层样本量总体的个体数×总样本量
同时，我们也可以将“该层个体数”移到等式左边，
得到：每层样本量该层个体数=总样本量总体的个体数
即：每层的样本量与各层的大小成比例。
四、比例分配：
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
总样本量总体个体数=各层的样本量各层的个体数
比例分配的分层随机抽样的一般步骤：
总体 子总体 样本
例1 在下面的问题中，选择合适的抽样方法抽取样本．
（1）在某厂生产的20辆汽车中抽取4辆进行质量检验；
（总体中个体较少，无明显差异——简单随机抽样）
（2）已知学校教职工中，不到35岁的有80人，35到49
岁的有70人，50岁以上的有50人，为了了解学校教职工
的身体健康状况，从中抽取20人进行调查．
（总体有差异明显的几部分组成——分层随机抽样）
例2为了调查老师对统计软件的了解程度，某市采用分层随机抽样的方法，从A、B、C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A、B、C三所学校分别有180、 270、90名教师，如果样本按比例分配，求A、B、C学校分别应抽取的教师人数．
方法一：按各层在总体中所占的比例分配样本量。
解：A学校抽取的教师人数为：180540×60=20，
B学校抽取的教师人数为：270540×60=30，
C学校抽取的教师人数为：90540×60=10，
方法二：比例分配中，各层样本量与层的大小, 成比例。
解：A学校抽取的教师人数为：60540×180=20，
B学校抽取的教师人数为：60540×270=30，
C学校抽取的教师人数为：60540×90=10，
反思：整理本题中，每个学校的教师人数和样本量，观察，有什么特点？
三个学校的教师人数之比，样本量之比，都是2:3:1
也就是说：各层抽取的样本量之比 = 总体中各层个体数之比
所以，按比例分配的分层随机抽样，得到的样本结构与总体结构相近。
归纳：比例分配的分层随机抽样具有以下特点：
（1）各层样本量=该层个体数总体的个体数×总样本量；
（2）每个个体被抽到的可能性相等；
每层样本量该层个体数=总样本量总体的个体数
（3）各层抽取的样本量之比等于总体中各层个体数之比。
例3 某集团有甲、乙、丙三个分公司，甲公司有员工500名，乙公司有员工800名，丙公司有员工300名．为了了解集团员工对企业改革的态度，用分层随机抽样抽取若干名员工进行访谈．若样本按比例分配，甲公司抽取了10名员工.求乙公司和丙公司抽取的员工数．
方法一：各层样本量=各层个体数 总体个体数 ×样本量
解：设乙、丙公司抽取的员工数分别为x、y.
10500=x800=y300, ∴x=16,y=6
乙、丙公司抽取的员工数分别为16、6 ．
方法二: 各层抽取的样本量之比=总体中各层个体数之比．
解：设乙、丙公司抽取的员工数分别为x、y.
10:x:y=500:800:300 ∴x=16,y=6
乙、丙公司抽取的员工数分别为16、6 ．
例4 按比例分配分层随机抽样的方法，得到树人中学高一年级容量为50的样本数据（单位： cm ）：
男生：
女生：
（1）估计高一年级男生的平均身高． 170.6cm
（2）估计高一年级女生的平均身高． 160.6cm
（3）估计高一年级学生的平均身高．
（4）计算男、女生的总样本平均数．
三、用样本均值估计总体均值
问题5：分层随机抽样中，是否可以直接用样本平均值
估计总体平均值？为什么？
包含的个体数
各个个体
的变量值
抽取的样本量
样本的各个个体变量值
第1层
M
X1,X2,⋯XM
m
x1,x2,⋯xm
第2层
N
Y1,Y2,⋯YN
n
y1,y2,⋯yn
（1）求样本平均数：
第1层的样本平均数：
第2层的样本平均数：
总体的样本平均数为：
（2）求总体平均数：
第1层的总体平均数：
第2层的总体平均数：
总体平均数为：
在每层的简单随机抽样中，
可以用 x估计X；可以用y估计Y;
可以用MM+Nx+NM+Ny估计总体平均数。
思考：与样本平均数对比，它们有什么关系？
x系数不同，y系数也不同。
在比例分配的分层随机抽样中，
MM+Nx+NM+Ny=mm+nx+nm+ny=样本平均数
可以直接用样本平均数估计总体平均数 .
四、估计效果
用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数．
注：黄线表示高一年级全体学生身高的平均数．
问题6：
(1)观察平均数的图形表示，你有怎样的发现？
(2)与上一节相同样本量的简单随机抽样的结果比较,
你有什么发现？
结论：
（1）与简单随机抽样的结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样；
（2）分层随机抽样的样本平均数更均匀，简单随机抽样中出现比较“极端”的样本，而分层随机抽样中几乎没有出现；
（3）在个体之间差异较大时，只要选取的分层变量合适，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样样．并且，分层随机抽样时，不仅能得到总体的估计，还能得到每层的估计。
通过样本均值估计的平均身高，与实际平均身高的对比，引导学生观察数据，分析原因，培养学生的数据分析素养。
引导学生发现“极端”样本对估计效果的影响，体会样本的随机性、改进抽样方法的必要性。
在对比中，发现总体中个体差异，对估计效果的影响，形成改进抽样方法的思路。
初步体会分组方法。
引导学生借助辅助变量划分总体，体会分层的方法。
引导学生合理分配样本量，体会等比例分配中，每个个体被抽到的可能性相等，样本结构与总体结构相近。
引导学习回顾新方法的在步骤，归纳分层随机抽样的定义。
分析分层随机抽样的特点
强调分层随机抽样的一般步骤
从比例分配的特点中分析，形成比例分配的定义
用图示，强调比例分配的分层随机抽样的一般步骤。
通过具体问题，感受两种抽样方法的适用范围，培养学生的抽样思想。
通过问题解决，体会样本量比例分配的方法。
通过例题再次分析，强调比例分配的分层抽样中，每个个体被抽中的可能性相等，样本结构与总体结构一致。
归纳比例分配的分层随机抽样的特点。
灵活应用比例分配的分层随机抽样的特点解题，巩固知识和方法。
每一层的样本数据都由简单随机抽样得到，直接用样本均值估计总体均值。
发现总样本均值和总体均值的一致，引导学生发现规律，探究规律的证明，提升学生用样本估计总体的意识。
引导学生完成探究，提升学生的数据分析、逻辑推理的学科素养。
引导学生应用简单随机抽样中均值关系，及比例分配的特点，进行等价转化，实现证明，体会比例分层随机抽样、简单随机抽样中，蕴含的用样本均值估计总体均值的思想。
引导学生观察图象，认识到样本的随机。
正确认识分层随机抽样和简单随机抽样的特点和估计效果，在理解样本随机性的基础上，正确评价抽样方法，并能够根据问题特点选择抽样方法，培养学生的抽样思想和用样本估计总体的意识。
例题
五、例题巩固
例5 比例分配的分层随机抽样中，总体分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，请估计该总体的平均数．
解：由样本平均数
可以估计该总体的平均数为6
通过例题，巩固比例分配的分层随机抽样中，用样本均值估计总体均值的方法。
总结
六、反思收获
1.分层随机抽样的步骤：
（1）分层：
（2）定量：一般采用比例分配
每层样本量该层个体数=总样本量总体的个体数
（3）抽样：
2.分层随机抽样的特点：
（1）适合于个体差异也较大的情形；
（2）样本具有更好的代表性；
（3）用样本不仅可以估计总体均值，还可以估计各层均值．
2.分层随机抽样与简单随机抽样：
方法
适用范围
联系
简单随
机抽样
从总体中
逐个抽取
总体中的
个体较少
分层随机抽
样中，各层
独立进行简
单随机抽样.
分层随
机抽样
总体分层，
分层抽取
总体中的个
体差异较大
3.抽样思想、用样本估计总体的意识
回顾分层抽样的特点和必要性，并认识分层随机抽样和简单随机抽样的特点和适用范围，关注学生统计思想的形成，培养学生的抽样思想和用样本估计总体的意识.
作业
教材第184页 练习 第1、3、4题
第1题:数据x1,x2,⋯,xm 的平均数为，数据y1,y2,⋯,ym 的平均数为，证明：
第2题: 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm．
（1）如果张华在各层中按等比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高．
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
第3题:要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例，小明根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查，请你查阅有关资料，说说这样的分层是否合理．你觉得在选择分层变量时应注意什么？
巩固强化本节课学习的知识方法,继续强化学生对抽样的认识,用样本均值估计总体均值的方法.