高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的概念及其表示教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的概念及其表示教案，共10页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。
课时目标要求
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
课时重难点
重点：通过四个实际情景，引导学生构建完整的函数概念；熟悉函数本质，明确函数三要素；能够利用函数概念解决问题。
难点：找到不同函数情景中，所包含的共同特征；理解教师给出的f（x）的含义；熟练使用函数语言。
在教学过程中需要注意
W：学习方向和原因
H：教学要吸引学生并保持他们的注意力
E：准备必要的经验、工具和知识，使学生体验知识的探索过程，从而获得知识
R：让学生重新思考，并修改自己不当的想法观念
E-2：引导学生进行自我评估
T：强调个性化，为每个学生量身定制
O：对于所有元素进行合理的组织-有效的组织活动也可以算作是O
教学过程
（一）、回顾旧知，激发疑问
问题一：生活中有哪些函数关系？
预设：学生从实际生活出发，可能的回答包括：路程与时间，速度与时间，篮球抛出的高度与时间等。
教师：以其中的路程与时间为例，当小车以4m/s的速度匀速前进时，路程S与时间t的关系就可以写为S=4t当时间发生变化时，路程也随之变化。当时间确定时，路程也随之确定。引入初中变量说，即在一个变化过程中，存在两个变量x与y，并且当我们确定了x值之后y也会随之确定，那么就称y是x的函数，y的值称作函数值。
【设计意图】：通过举个例子，引出初中变量说。并且在举例过程中，让学生回忆函数的作用，利用函数可以描述客观事物的变化规律，研究与解决现实问题。这一部分可以为学生准备必要的工具和知识，使学生具备探索函数概念的能力，从而获得知识。（H）
问题二：在回忆函数“变量说”后，思考y=x与y=x^2/x是否为同一个函数？
预设学生能够发现，x的取值范围不同，两个函数有所区别，但无法从定义入手解决问题。
【设计意图】学生发现通过已经学习的函数定义无法有效地解决问题，因此需要找到更加准确的函数定义刻画函数。问题二可以帮助学生明确本节课的学习原因与方向，增加学生的学习动机。（W）
（二）、分析问题，归纳本质
课本问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t
问题三：路程S是否为时间t的函数？
预设：学生利用变量说可以判断出是函数关系。
追问：那你能够算出一小时后列车的行驶距离吗？
预设：部分学生会得到350km的答案，部分学生会察觉到题目中并未说明半小时后的行驶情况，因此无法确定一小时后的路程。
【设计意图】引导学生发现要求距离时，必须要注意时间t的取值范围，要确定函数值，必须要考虑自变量的变化范围。问题三让学生重新思考自己对与函数关系的认识，调整自己的想法观念。（R）
教师：引导学生对课本问题1的函数关系进行重新刻画：如果将t的取值范围记为A1，有A1＝{t|0≤t≤0.5}，那么同时可以算出，在这段时间内路程的取值范围B1，B1={S|0≤S≤175}，这样在数集A1任取一个时刻t，就可以在数集B1中找到一个确定的路程S与之对应。
【设计意图】在发现函数关系需要考虑自变量的取值范围之后，利用集合语言重新描述函数关系，建立起函数关系是实数集中元素与元素的对应关系的初步印象。这一引导过程，是为学生在之后描述函数关系，准备必要的经验，使学生体验知识的探索过程，从而获得知识。（E）
课本问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资ω（单位：元）是他的工作天数d的函数吗？
问题三：ω与d是函数关系吗？关系式是什么？问题2的函数是否能够像问题1一样，利用集合语言描述出来？
预设：学生很容易判断出ω与d是函数关系，并且ω=350d。之后仿照问题1的描述，学生可以写出天数d的集合A2，从而计算出工资ω的集合B2，之后在教师的引导下，利用集合语言重新描述问题2中的函数关系。
追问：问题1与问题2中的函数与相同的对应关系，你认为他们是同一个函数吗？为什么？
预设：部分学生认为函数解析式相同就是同一个函数，另外一部分学生认为自变量的取值范围不同，得到的函数值也不相同，因此两个函数不是同一个函数。
教师：通过问题1、2给出判断函数相等的依据。两个函数相等，既要满足对应相同，同时还要保证自变量的取值范围相等，从而得到问题二得答案，y=x与y=x^2/x不是同一个函数。
【设计意图】进一步认识到函数是实数集中元素与元素的对应关系，并且引导学生发现解析式与自变量的变化范围都是确定函数是否相等的要素，从而让学生重新思考对于函数的认识，意识到解析式不是判断函数相等的唯一条件，修改自己不当的观念。（E，R）
课本问题3：图3.1—1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。如何依据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
（插上书上的图）
问题四：每一个时刻所对应的客气质量指数是确定的吗？能够表示出来吗？依据函数“变量说”能够判断出I是t的函数吗？
预设：学生通过作图，可以找到某一个时刻t所对应的空气质量指数，并在图中标记出来，但是对于I是否为t的函数并不确定。
教师：借助于gegebra软件，演示在任意时刻t都有与之对应的空气质量指数I，如图1所示，并且对应关系是函数图像，而不是解析式。
图1
【设计意图】通过课本例题3让学生认识到对应关系的不同表现形式，同时更改解析式就是对应关系的观念。通过gegebra演示，吸引学生注意，并直观的感受函数就是实数集中元素与元素的对应关系。（H，R）
追问：能否仿照前面两个问题，利用集合语言描述问题3中的函数关系。
预设：学生在写出时刻t的取值范围A3后，发现通过观察图像无法得到B3的准确范围，进而无法进一步描述函数关系。
追问：通过观察图像无法取得I的准确范围，是否可以得到近似范围？利用近似范围描述对应关系，是否依然成立？
预设：学生尝试利用更大的范围表示I的取值范围，得到实数集B3，并发现，对于描述函数关系没有影响，并认识到集合B并不一定等于值域
【设计意图】经过再次描述函数是实数集中元素与元素的对应关系，加深了学生对于函数本质的认识，同时认识到数集B并不一定就是值域，只要包含其中就不影响对应关系的描述。（E）
问题4：国际上常用恩格尔系数r（r=食品支出金额总支出金额×100%）反应一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。
（插书上的表格）
问题五：课本问题4中的年份y与恩格尔系数r是函数关系吗？能够利用前面几组函数关系的描述方法进行描述吗？
预测：部分学生利用列举的方式给出恩格尔系数的取值范围A4，以及年份y的取值范围B4。同时另一部分同学受上一问的启发，利用更大的更简便的范围表示年份y的取值范围。
追问：自变量的取值范围即数集可以用更大的范围进行表示吗？
预测：学生通过对应关系，发现无法找到多余的x值所对应的函数值，因此不能够用较大的范围表示实数集A
【设计意图】通过问题4再次引入函数新的表示方法，表格法，同时加深学生对于函数本质的认识，同时分辨了实数集A与自变量的关系，实数集B与值域的关系。（E）
教师讲四个问题所涉及到的实数集A、B，以及对应关系进行归总。如表1所示
表1
教师：通过分析多个函数关系，发现对应关系的表达形式并不统一，因此引入符号f统一表示对应关系。
问题六：在分析并利用集合语言重新描述了不同的四个函数关系后，我们将其列入同一个表格中，观察表格，你能总结出这四个函数有什么共同特点？进而得到函数的定义吗？
预设：学生可以发现，虽然函数关系不同，但都包括了非空集合A、B,对应关系，并且尽管f表达方式不同，但都满足，对于数集A中任意一个数x，通过对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y与它对应
【设计意图】学生通过分析四个函数的共同特点，有助于认识到函数的本质，为
后面函数概念的引入奠定基础。（E）
教师：将共同要素进行归总，就可以归纳出函数的概念，一般的设A是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f：A→R，都有唯一确定的实数f(x)和它对应，那么就称f：A→R为一个函数，并且利用对应关系的符号f，我们可以将函数记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，可以表示为{f(x)|x∈A}或{y|x∈A}
（三）、概念辨析，演绎应用
1、辨析新的函数表达形式：
教师：进一步说明y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示，充分体现出了函数的三要素，并且突出了对应关系是函数的核心。强调f(x)不是y等于f与x的乘积，f(x)表示变量y，一般情况下也可以将y=f(x)简写为f(x)，当x取某一个特殊值a时，就可以将y值表示为f(a)，此时f(a)就是一个确定的数。
问题七：已知2是一个无理数，表示为小数形式是无限不循环小数，借助计算器
可以得到小数点后任意一位的值。此时每当我们确定一个位数时，可以发现该位数上的值也是确定的，那么此时，位数与位数上的值是否是函数关系？定义域是什么？对应关系是什么？值域是什么？
【设计意图】通过对于新的函数的表达形式进行辨析，明确对应关系f的含义，理解对应关系f引入的必要性。同时通过问题七进一步明确函数的三要素。（R）
2、利用新的函数定义，与实际问题进行联系：
例题一：构建问题情境，是其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x）来描述。
教师：尝试通过爬山法，逐步引导学生够构建情景。首先思考生活中哪些关系是二次函数；这些关系在什么情况下是开口向下的二次函数；针对二次函数y=x（10-x）的最大值以及对称轴，你能够将开口向下的二次函数情境赋予具体的数值吗。
追问：你所构建的情境中的自变量，定义域，函数值以及值域是什么？是否能够利用函数的定义进行函数关系的描述？
【设计意图】例题一属于表现性任务，不同的学生通过对自己所熟悉的情境进行
运用，体会到函数与实际生活的联系，通过追问让学生能够自查自己所构建的情
境是否符合函数定义，更加明确了函数三要素以及函数的本质。（R，E-2，T）
区间：
对于有限区间的表示方法进行介绍，包括闭区间，开区间，半开半闭区间以及端
点的概念，并结合数轴表示进行演示。
对于无限区间介绍无穷的表示方法，结合数轴举例说明。
（四）、课堂练习
练习1：用新的函数定义描述一次函数、二次函数、以及反比例函数，找到三要素。
【设计意图】体会对应关系f的一般性，并且与旧知进行联系，帮助学生熟悉函数的三要素。
练习2：下列函数中哪个与函数y=x相等？
(1)y=x2 (2)u=3u3 (3)y=x2 (4)m=n2n
【设计意图】使学生理解，对于函数y=f(x)，x∈A和函数u=g(v)，v∈B，如果A=B且a∈A，都有f(a)＝g(a)，那么这两个函数就是同一个函数，称它们相等，使学生明白，函数的本质就是对应关系，两个函数相等的充要条件是对应关系一致、定义域相同，这里“对应关系一致”的含义是“任意一个自变量所对应的函数值相等”，可以尝试举出案例，例如y=1与y=sin2x+cs2x是同一个函数。
（五）、课堂小结
通过提问方式，回顾这节课学习的主要知识包括函数概念“对应关系说”，以及新的函数的符号表示方法，学会了概念的探究思路，明白为什么要重新进行函数定义
初步构建知识框架，明确下一步的学习任务
函数概念——函数表示法——函数三要素
函数表示法
通过定义三种表示方法，进行应用得到特点
解析式法：清晰表示出函数的对应关系
图像法：直观看出因变量随自变量变化而变化的趋势
表格法：简单直观
发现三种方法的内在是一致的
尝试绘制
绘制y=|x|过程中，渗透分段函数——注重和数形结合
应用问题
三要素——区间
函数研究：图像直观——定性描述——定量刻画
最值
阶段1—确定单元学习预期结果
所确定的目标：
依据课程标准，在本节课学习完成后
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域
理解：
1、理解函数是实数集之间的对应关系
2、理解对应关系f的含义
3、理解新的符号表示，即y=f(x)，理解函数的三要素
回答的基本问题：
1、什么是函数
学生应掌握的知识：
1、函数概念以及函数的三要素。
2、区间的定义及表示。
学生应形成的技能：
能够根据新的函数定义判断函数关系，对于给定的自变量能够求出对应的函数值。能够用区间正确表示函数的定义域与值域
阶段2—确定评估证据
评估水平
评估方法
本节课函数单调性的学习，主要针对前两个理解水平，即感知水平与释义水平
表现性任务
依据函数概念，主动构建与解析式相关的函数，从而深化对于函数的认识。
其他任务
1、课堂例题与练习
2、课堂口头提问
3、课堂总结与反思
4、课后作业
阶段3—规划教学过程
教学活动
1、利用问题，引导学生思考变量说是否存在不足。（W）
2、在关注到描绘函数关系需要注意到自变量的取值范围之后，引导学生对于几类不同的函数关系进行重新表示，目的在于找到不同函数关系的共同点，总结函数定义。（H，R，E）
3、表现性任务，依据函数概念，主动构建与解析式y=x(10-x)相关的函数关系，从而深化对于函数的认识。（E，E-2，T）