人教A版 (2019)必修 第一册函数的概念及其表示教学设计

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知识点一 函数的有关概念
1．函数的概念

[微思考] (1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种理解对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种理解不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
知识点二 区间
区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
题型一 函数的概念
[典例1] 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ eq \r(x)；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
[方法技巧]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2.根据图形判断对应是否为函数的方法
1任取一条垂直于x轴的直线l.
2在定义域内平行移动直线l.
3若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
【对点练清】
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1)
解析：选B A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
2．(多选)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的是( )
解析：选BD 对于A，其定义域是[0，2]，不是P，故A错误；对于B，其定义域是[0，4]＝P，值域[0，2]⊆Q，故B正确；对于C，其与函数定义相矛盾，故C错误；对于D，其定义域是[0，4]＝P，显然值域包含于集合Q，故D正确．
题型二 求函数的定义域、函数值
【分类例析】
角度(一) 求函数的定义域
[典例2] 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝3－eq \f(1,2)x；(2)f(x)＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；
(3)f(x)＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；(4)f(x)＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).
[解] (1)函数f(x)＝3－eq \f(1,2)x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2＞0，即x＞－2，所以x＞－2且x≠－1.所以函数f(x)＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x＞－2且x≠－1}．
(3)要使函数f(x)有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，
所以函数f(x)＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．
(4)要使函数f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,x＋4x－1