【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--3.1.1 函数的概念（课时教学设计）

函数的概念（第1课时）

（一）教学内容

1 函数的三个要素;

2 “对应关系说”的函数概念

（二）教学目标

1 通过具体实例，归纳、概括出函数的三个要素，建立用集合与对应语言刻画的函数概念，发展学生数学抽象素养.

2 对简单具体的函数，能得出其定义域、值域与对应关系，会用函数的定义刻画函数。

3用具体实例体会对应关系f的真正含义，能将对应关系 f与对应关系的具体表示、函数y=f(x)，x∈A与函数的(解析式、图象与表格等)表示区分开来，在具体函数中体会“对应”观点下函数思想的本质。

（三）教学重点及难点

1 重点：用实例归纳概括函数的三个要素，用集合与对应的语言建立函数的概念。

2 难点:如何在实例分析基础上让学生通过比较、归纳、概括不同案例中的共同特征，并由此建立函数概念.

（四）教学过程设计

引导语：同学们好！我们知道，客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如，“天宫二号”在发射过程中，离发射点的距离随时间变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路运营里程逐年增加，已突破2万公里……所有这些现象，常常用函数模型来描述，并且通过研究函数模型我们就可以把握相应的运动变化规律.在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数式刻画变量之间的对应关系的数学模型和工具.

初中阶段函数的定义：如果有两个自变量与，并且对于的每个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，我们就说是自变量，是的函数.

例如，正方形的周长与边长的对应关系是，而且对于每一个确定的都有唯一与之对应，所以是的函数.这个函数与正比例函数相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.

问题1 某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时.

（1）这段时间内，列车行进的路程（单位：）与运行时间（单位：）的关系如何表示？这是一个函数吗？

（2）有人说“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行就前进了.”你认为这个说法正确吗？你能确定这趟列车运行多长时间前进吗？

（3）你认为应该如何刻画这个函数？

师生活动：

1 教师给出问题题干和第(1)问后，提醒学生先不要看教科书，在信息平台上提交自己的答案，教师点评答案，引导学生用初中函数的定义进行表述.

2 教师给出第(2)问，学生判断后，教师给予点评，启发学生认识到函数应关注自变量的变化范围和函数值的变化范围.

3 让学生思考如何表述与的对应关系，教师再与学生一起讨论的基础上给出表述的示范.

 设计意图：问题1的第(1)问是为了让学生回顾初中所学的函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；第(2)问是要激发认知冲突，发现初中函数概念的不严谨；第(3)问是为了让学生关注到与的变化范围后，尝试用更精确的语言表述函数概念.

问题2 某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.

（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？

（2）一个工人的工资（单位：元）是他工作天数的函数吗？

（3）你能仿照问题1刻画这个函数吗？

 师生活动：

1教师给出问题后，让学生在在信息平台上上提交自己的答案，学生可能多数是得出，视情况教师也可引导他们得出用表格表示的对应关系（表1）：

表1 一个工人一周的工资列表

对于第（2）问，信息平台上设计成判断题，了解学生的思维状态即可。

2 教师提问启发学生思考后，还可以用以下追问帮助学生理解函数值的变化范围：你认为工人一周所获取的工资为2450元吗？

学生在信息平台上书写并提交自己的答案，教师在点评学生答案的基础上给出规范的表述.

3 教师追问（4）：如果将问题2中工人每天的工资改为400元，而其它条件不变，你认为还可以用同样的函数来确定工人一周的工资吗？为什么？

在学生思考与讨论的基础上，教师引导他们认识到：对应关系是影响函数的重要因素，对应关系不同函数就不同.

4 教师追问（5）：问题1和问题2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？你认为影响函数的要素有哪些？

让学生在信息平台上提交自己的答案，教师引导学生认识到不能只由对应关系是否相同判断两个函数是否相同，决定函数的三个要素是：自变量的变化范围、函数值的变化范围和对应关系.

设计意图：问题2的第（1）问和第（2）问让学生在用初中函数定义认识到是的函数的基础上，尝试用不同方法表示函数，为认识函数对应关系做准备；第(3)问是让学生模仿问题1的表述方法去描述函数，既让他们熟悉表述方法，同时训练他们的抽象概括能力；追问（4）进一步帮助学生认识函数对应关系的重要性；追问（5）帮助学生理解怎样区别不同的函数，进一步认识函数三要素的不可或缺，引导学生总结函数的三要素.

问题3   图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index,简称AQI）变化图.

图1

（Ⅰ）你能根据该图确定这一天内12：00的空气质量指数（AQI）的值吗？是否可以确定这一天内任一时刻的空气质量指数（AQI）的值？

（Ⅱ）你认为这里的是的函数吗？如果是，你能仿照前面的说法刻画这个函数吗？

师生活动：

教师呈现问题3，给学生适当时间阅读思考.

教师将第（Ⅰ）问中的前一问设计成填空题，让学生思考后在学案上提交. 学生提交的答案可能不一样，教师点评时要帮助学生理解其原因，并让学生在此基础上回答后一问，引导学生体会图象表示的对应关系的实质，明确由确定的值找出对应值的方法与步骤.

对于第（Ⅱ）问，有些学生可能从初中函数认识的角度，会认为不是时间的函数（因为没有用解析式表示对应关系）。所以，教师应先引导学生认识到时间的变化范围是，空气质量指数（AQI）的值.

在此基础上，由教师阐释：因为对于数集中的任意一个值，都有唯一确定的AQI的值与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出是的函数，而且还可以断定的取值范围也是确定的，不过从图中我们还不能确定这个范围. 如果我们设的取值范围为，那么从图中可以确定. 这样，我们可以把与之间的对应描述为：

对于数集中的任一时刻，按照图1所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的AQI的值与之对应，因此是的函数.

设计意图：学生理解用图象表示的函数，体会其中的对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的. 实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射. 为此，通过问题3的第（Ⅰ）问，先让学生理解图像可以表示一个函数，然后再通过教师对第（Ⅱ）问的讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点. 这里，只要学生能够理解是的函数，并能够接受这种描述方式就可以了.

问题4  国际上常用恩格尔系数r（）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表2是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.

表1

（Ⅰ）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？

（Ⅱ）如果是函数，你能仿照前面的方式刻画这个函数吗？

师生活动：教师将问题呈现出来后，让学生通过信息技术平台对第（Ⅰ）问中“恩格尔系数是年份的函数吗？”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评.

对于第（Ⅱ）问，让学生在不看教科书的情况下，分组练习用集合与对应的语言刻画函数，然后让各组学生代表回答问题，教师根据学生的回答进行点评.

学生表述函数时，给出的函数值取值范围可能是表中的10个值，教师在肯定的基础上可进行引导：对于表1中任意的一个年份，按照表格都在中有唯一的与之对应，虽然不是函数值的变化范围，但仍像前几个问题一样，在中函数值具有存在性和唯一性。

设计意图：通过问题4使学生明确函数对应关系不仅可以用解析式、图象表示，还可以用表格表示，为抽象出函数对应关系做铺垫，并且进一步体会对应关系、自变量取值范围、函数值取值范围是确定函数的三个要素. 另外，通过此问题还要让学生明确函数值的集合与函数值所在的集合是不同的.

问题5  上述问题1—问题4中的函数有哪些共同特征？你能由此概括出函数的本质特征吗？

师生活动：

1.给学生充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程.

如果学生归纳、概括有困难，可以给出表3帮助学生思考.

2.引导学生一起得出函数的共同特征：

①都有两个非空数集，我们用、来表示；

②都有一个对应关系；

③尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应.

3.在上述归纳的基础上，教师讲解：事实上，除解析式、图象、列表外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系.

4.教师给出函数的一般性定义：

一般地，设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作.

5.教师解释函数的记号.

6.教师追问（1）：你认为由函数的定义域与对应关系可以确定函数吗？由函数的值域与对应关系能否确定呢？

7.教师追问（2）：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？

在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习.

8.学生完成教科书中的练习第1-3题，并在信息技术平台上提交，教师对学生的练习进行点评.

设计意图：让学生通过归纳、概括四个问题中函数的基本特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念. 在此过程中，要突破“如何在四个问题基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点. 在此基础上，用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数作为数学模型时应关注的三个要素.

问题6 你能构建一个问题情境，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗?

在学生思考后，教师以例1进行示范 如果学生学习基础好，可以让他们完成教科书例1究，即“构建其它问题情景，并用解析式y=x(10-x)描述其中的变量关系”:对学习基础一般的同学，要求成教科书练习第4题(见课堂目标检测).

问题7  你认为正方形的周长与边长的关系是正比例函数吗请你说说理由.

师生活动：

1.教师提出问题后，让学生在信息平台上提交自己的答案，教师根据答案引导学生从函数的定义与要素去进行判断.

2.教师结合上述问题引导学生回顾本节课的学习内容，并追问以下问题:

(1)与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识?

(2)结合函数概念的学习。你能谈谈如何建立数学概念吗?

教师出示以上问题后，先由学生思考并交流，最后教师进行总结，并强调如下几点:

函数的定义是判断一个关系是不是函数的根本依据;

建立一个数学概念的过程，通常可以概括为:

 具体问题→共同特征→抽象概念→概念表示→运用概念

设计意图： 通过【问题7】回应本节课引言中的问题，并对本节课内容进行小结，由此进一步加深学生对函数概念的理解，加强数学抽象与数学建模意识.

5.课堂小结

想一想，说一说，通过本节课的学习你有哪些收获？

教师结合上述问题引导学生回顾本节课的学习内容，并追问以下问题：

①与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识？

②结合函数概念的学习，你能谈谈如何建立数学概念吗？

教师出示以上问题后，先由学生思考并交流，最后教师进行总结，并强调如下几点：

（1）函数的定义是判断一个关系是不是函数的根本依据；

（2）结合函数概念的学习，你能谈谈如何建立一个数学概念吗？

具体问题→共同特征→抽象概念→概念表示→运用概念.

（五）目标检测设计

设计意图：这是水平一的问题，检测对函数三要素的认识和用函数定义刻画函数的掌握程度。

设计意图：这是水平一的问题，检测对函数三要素的认识和用函数定义刻画函数的掌握程度。

设计意图：这是水平一的问题，检测函数三要素的认识和用函数定义刻画函数的掌握程度。

设计意图：这是水平一的问题，检测用函数模型刻画实际问题中变量关系的能力。

（六）教学反思