人教A版 (2019)导数的运算精品综合训练题

这是一份人教A版 (2019)导数的运算精品综合训练题，文件包含同步练习原卷版53导数在研究函数中的运用-高中数学选择性必修第二册人教版docx、同步练习解析版53导数在研究函数中的运用-高中数学选择性必修第二册人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=x3−2mx2+m2x在x=1处取得极大值，则m的值为( )
A. 1B. 3C. 1或3D. 2或−2
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
函数f(x)=x3−2mx2+m2x，f′(x)=3x2−4mx+m2，根据函数f(x)在x=1处取得极大值，可得f′(1)=0，解得m，并且验证即可得出．
【解答】
解：函数f(x)=x3−2mx2+m2x，
f′(x)=3x2−4mx+m2，
∵函数f(x)在x=1处取得极大值，
∴f′(1)=3−4m+m2=0，解得m=1或3，
m=1时，∴f′(x)=3x2−4x+1=(3x−1)(x−1)，
可得x=1是函数f(x)的极小值点，舍去；
m=3时，∴f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，
可得x=1是函数f(x)的极大值点．
则m=3．
故答案选：B．
2.函数f(x)=e|x|3x的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数图象的变换，函数奇偶性的判断，属于中档题．
易证函数f(x)为奇函数，排除B；又f(1)=e30时，求导可知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，排除D；从而选出正确选项．
【解答】
解：函数f(x)=e|x|3x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
又因为f(−x)=e|x|−3x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，
因为f(1)=e30时，f(x)=ex3x，
则f′(x)=3ex(x−1)(3x)2=ex(x−1)3x2，
当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，排除D，
故选：C．
3.函数f(x)=kx−lnx在[1,e]上单调递增，则k的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. (1e,+∞)C. [1e,+∞)D. (1,+∞)
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．
求出导函数f ′(x)，由于函数f(x)=kx−lnx在区间[1,e]上单调递增，可得f ′(x)⩾0在区间[1,e]上恒成立，解出即可．
【解答】
解：f ′(x)=k−1x，
∵函数f(x)=kx−lnx在区间[1,e]上单调递增，
∴f ′(x)⩾0在区间[1,e]上恒成立，
∴k⩾(1x)max，x∈[1,e]，
而y=1x在区间[1,e]上单调递减，
∴1xmax=1，
∴k≥1，
∴k的取值范围是：[1,+∞),
故选：A．
4.已知a∈R.设函数f(x)=x2−2ax+2a,x≤1,x−alnx,x>1.若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为( )
A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [1,e]
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数恒成立问题，属中档题．
不等式f(x)≥0在R上恒成立，分成两段函数分别恒成立，分离参数a，再构造函数求最值可得．
【解答】
解：当x=1时，f(1)=1−2a+2a=1>0恒成立；
当x0，f(x)=x2−2ax+2a≥0⇔2a≥x2x−1恒成立，
令g(x)=x2x−1=−x21−x=−(1−x−1)21−x=−(1−x)2−2(1−x)+11−x=−(1−x+11−x−2)≤−(2 (1−x)⋅11−x−2)=0，
当且仅当x=0时取等号，
∴2a≥g(x)max=0，∴a≥0．
当x>1时，f(x)=x−alnx≥0⇔a≤xlnx恒成立，
令h(x)=xlnx，则h′(x)=lnx−x⋅1x(lnx)2=lnx−1(lnx)2，
当x>e时，h′(x)>0，h(x)递增，
当12ex+1，等价转化为g(x)>g(0)，即可求解．
【解答】
解：令g(x)=f(x)−1ex，
求导得g′(x)=f′(x)ex−[f(x)−1]exe2x=f′(x)+1−f(x)ex，
因为f(x)>f′(x)+1，
所以g′(x)=f′(x)+1−f(x)ex2ex+1，
所以f(x)−1ex>2=3−1=f(0)−1e0， 即g(x)>g(0)，
所以x2ex+1的解集为(−∞,0)．
故选：A．
10.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(1−x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. f(x)有极大值f(−2)
B. f(x)有极小值f(−2)
C. f(x)有极大值f(1)
D. f(x)有极小值f(1)
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值、考查数形结合思想方法，考查了分类讨论方法，是中档题．
根据函数图象分别判断函数导数的符号，结合函数单调性和极值的关系进行判断即可．
【解答】
解：由函数y=(1−x)f′(x)的图象可知，
x>1时，(1−x)f′(x)>0，1−x