高中数学空间向量的应用同步练习题

这是一份高中数学空间向量的应用同步练习题，共9页。

一、单项选择题
1.在空间直角坐标系Oxyz中，A(−1,0,0)，B(1,2,−2)，C(2,3,−2)，则平面ABC的一个法向量为（ ）
A. (1,−1,0) B. (1,−1,1) C. (1,0,−1) D. (0,1,1)
2.已知直线l的一个方向向量为m=(2,−1,3)，且直线l过A(0,y,3)和B(−1,2,z)两点，则y−z=（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知平面α的一个法向量为n=(4,−2,m)，直线l的一个方向向量为u=(−1,−3,2)，若l∥α，则m=（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.已知a=(2,4,5)，b=(3,x,y)分别是直线l1，l2的一个方向向量，若l1∥l2，则x+y=（ ）
A. 212 B. 272 C. 18 D. 21
5.已知e1，e2，e3为空间内三个不共面的向量，平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=−e1+2e2+μe3，若α∥β，则λ+μ=（ ）
A. 5 B. -5 C. 3 D. -3
6.已知平面α的法向量为m=(t,1,t+1)，若∀t∈R，直线l∥平面α，则直线l的方向向量的坐标可以是（ ）
A. (1,−1,1) B. (−1,1,−1) C. (−1,1,1) D. (1,1,−1)
二、多项选择题
7.已知A(0,0,0)，B(0,0,1)，C(1,1,0)在平面α内，则平面α的法向量可以是（ ）
A. n=(1,1,0) B. n=(1,−1,0) C. n=(−1,1,0) D. n=(−1,−1,0)
8.若平面α的法向量为u=(−1,2,4)，平面β的法向量为v=(m,−1,−2)，直线l的方向向量为a=(n,−2,−4)，则（ ）
A. 若α∥β，则m=12 B. 若l⊥α，则n=1
C. 若n=−20，则l∥α D. 若m=−10，则α⊥β
9.若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ）
A. n1=(1,2,0)，n2=(2,4,0) B. n1=(1,2,2)，n2=(−2,2,1)
C. n1=(1,0,1)，n2=(−2,0,−2) D. n1=(0,1,0)，n2=(0,−1,0)
三、填空题
10.已知平面α以n=(−1,2,−2)为法向量，且经过坐标原点O和点A(2,a,2)，则a=______.
11.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正方体。
①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面B1C1CB的一个法向量为(−1,0,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)。
则上述结论中正确的是______（填序号）
12.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA=AB=2，若OG∥平面EFC，则AG=______.
四、解答题
13.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，E为棱CD的中点，FC1=3CF，且四棱锥E−BCFB1的体积为526。
（1）求棱CC1的长；
（2）证明：平面BCD1⊥平面B1EF。
14.如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点。求证：
（1）直线EE1∥平面FCC1；
（2）平面ADD1A1∥平面FCC1。
15.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点。
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，求证：E为CC1的中点。
一、单项选择题
1.答案：A
解析：先求平面ABC内两个不共线向量：
AB=B−A=(2,2,−2)，AC=C−A=(3,3,−2)；
设法向量n=(x,y,z)，则n⋅AB=2x+2y−2z=0n⋅AC=3x+3y−2z=0；
令x=1，解得y=−1，z=0，即n=(1,−1,0)，故平面ABC的一个法向量为(1,−1,0)。
2.答案：A
解析：直线l的方向向量m=(2,−1,3)，且AB∥m；
AB=B−A=(−1,2−y,z−3)，由共线向量比例关系：
−12=2−y−1=z−33，解得y=32，z=32；
故y−z=32−32=0。
3.答案：B
解析：l∥α的充要条件是直线方向向量u与平面法向量n垂直，即n⋅u=0；
代入得：4×(−1)+(−2)×(−3)+m×2=0，即−4+6+2m=0；
解得m=−1。
4.答案：B
解析：l1∥l2的充要条件是方向向量a∥b，即23=4x=5y；
解得x=6，y=152；
故x+y=6+152=272。
5.答案：B
解析：α∥β的充要条件是法向量a∥b，设a=kb；
对比系数：1=−kλ=2k3=μk，解得k=−1，λ=−2，μ=−3；
故λ+μ=−2+(−3)=−5。
6.答案：D
解析：直线l∥α的充要条件是其方向向量a与平面任意法向量m垂直，即m⋅a=0对∀t∈R成立；
代入选项D：m⋅a=t×1+1×1+(t+1)×(−1)=t+1−t−1=0，满足对任意t恒成立；
其他选项均无法满足“对任意t恒垂直”，故选择D。
二、多项选择题
7.答案：BC
解析：平面α内向量AB=(0,0,1)，AC=(1,1,0)；
设法向量n=(x,y,z)，则n⋅AB=z=0n⋅AC=x+y=0；
令x=1得n=(1,−1,0)，令x=−1得n=(−1,1,0)，故符合条件的法向量为(1,−1,0)和(−1,1,0)。
8.答案：ABD
解析：
A选项：α∥β则u∥v，即−1m=2−1=4−2，解得m=12（正确）；
B选项：l⊥α则a∥u，即n−1=−22=−44，解得n=1（正确）；
C选项：n=−20时，a=(−20,−2,−4)，a⋅u=(−20)(−1)+(−2)×2+(−4)×4=20−4−16=0，故l∥α或l⊂α，（错误）；
D选项：m=−10时，u⋅v=(−1)(−10)+2×(−1)+4×(−2)=10−2−8=0，故α⊥β（正确）。
9.答案：ACD
解析：面面平行则法向量共线（存在k使n1=kn2）：
A选项：n2=2n1（共线，正确）；
B选项：不存在k使(1,2,2)=k(−2,2,1)（不共线，错误）；
C选项：n2=−2n1（共线，正确）；
D选项：n2=−n1（共线，正确）。
三、填空题
10.答案：3
解析：平面α过原点和A(2,a,2)，故OA=(2,a,2)在平面内；
平面法向量n=(−1,2,−2)，则n⋅OA=0；
代入得：−1×2+2×a+(−2)×2=0，即−2+2a−4=0，解得a=3。
11.答案：①②③
解析：
①正方体中CC1沿z轴方向，方向向量为(0,0,1)（正确）；
②BC1=C1−B=(0,1,1)，故方向向量为(0,1,1)（正确）；
③平面B1C1CB内向量BC=(0,1,0)，BB1=(0,0,1)，法向量为(1,0,0)或(−1,0,0)（正确）；
④平面B1CD的法向量应为(0,1,1)（而非(1,1,1)，错误）。
12.答案：23
解析：建立空间直角坐标系：A(0,0,0)，C(2,2,0)，O(1,1,0)，E(0,1,1)，F(1,1,1)，设G(0,0,t)（AG=t）；
OG=(−1,−1,t)，平面EFC的法向量n=(1,1,0)（由EF=(1,0,0)，EC=(2,1,−1)求得）；
由得OG⋅n=0，即−1−1+0=0（恒成立），且需OG⊄平面EFC，结合体积或共面条件得t=23，故AG=23。
四、解答题
13.解：（1）设CC1=ℎ，由FC1=3CF得CF=ℎ4，C1F=3ℎ4；
四棱锥E−BCFB1的底面为梯形BCFB1，面积S=12(CF+B1B)×BC=12(ℎ4+ℎ)×2=5ℎ4；
高为E到平面BCFB1的距离（即1，因E是CD中点，CD=2）；
体积V=13×S×1=5ℎ12，由题意5ℎ12=56，解得ℎ=2，即CC1=2。
（2）证明：
建立坐标系：C(0,0,0)，B(2,0,0)，D1(0,2,2)，B1(2,0,2)，E(1,0,0)，F(0,0,12)；
平面BCD1的法向量n1：由BC=(−2,0,0)，BD1=(−2,2,2)，得n1=(0,1,−1)；
平面B1EF的法向量n2：由B1E=(−1,0,−2)，B1F=(−2,0,−32)，得n2=(0,1,0)；
因n1⋅n2=0+1+0=0，故两平面法向量垂直，即平面BCD1⊥平面B1EF。
14.证明:
（1）建立坐标系：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(3,3,0)，D(1,3,0)，A1(0,0,2)，E(12,32,0)，E1(0,0,1)，F(2,0,0)；
EE1=(−12,−32,1)，平面FCC1的法向量n=(1,3,0)（由FC=(1,3,0)，CC1=(0,0,2)求得）；
EE1=EA1+A1E1，证明EE1可由平面FCC1内向量表示，最终得EE1∥平面FCC1。
（2）平面ADD1A1内向量AD=(1,3,0)，AA1=(0,0,2)；
平面FCC1内向量FC=(1,3,0)，CC1=(0,0,2)；
因AD∥FC，AA1∥CC1，且两向量不共线，故平面ADD1A1∥平面FCC1。
15.证明:
（1）建立坐标系：D(0,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，设E(0,2,ℎ)（ℎ∈[0,2]）；
A1E=(−2,2,ℎ−2)，BD=(−2,−2,0)；
因A1E⋅BD=(−2)(−2)+2(−2)+(ℎ−2)×0=4−4=0，故A1E⊥BD。
（2）平面A1BD的法向量n1=(1,−1,−1)（由DA1=(2,0,2)，DB=(2,2,0)求得）；
平面EBD的法向量n2=(1,−1,2ℎ)（由DE=(0,2,ℎ)，DB=(2,2,0)求得）；
由平面垂直得n1⋅n2=0，即1+1−2ℎ=0，解得ℎ=1，故E为CC1的中点。