高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用获奖作业ppt课件

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02点到平面的距离与直线到平面的距离
能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？
问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些?
答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 传统方法和向量法.
探究 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离?
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为　　　　　. 
思考 类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离
2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为　　　. 
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),
两个平行平面之间的距离 如果两个平面α, β互相平行, 在其中一个平面α内任取一点P, 可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
直线和平面间的距离： 如果一条直线l与一个平面α平行, 可在直线l上任取一点P, 将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
思考 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量
例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.
解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略).
将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到A1C1的距离.
解:以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A1(2,0,2),
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
1.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.
解　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，
用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC= ,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.
思路分析 借助平面SAC⊥平面ABC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN的法向量,再求距离.
解:取AC的中点O,连接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.
2.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离；
解　建立如图所示的空间直角坐标系，
设DH⊥平面PEF，垂足为H，
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解　连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
3.在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
(2)解:因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.如图建立坐标系,
如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线FC到平面AEC1的距离.
1.点线距求解方法线线距实质上都是求点线距，直线方向向量→点到直线点的向量→求点线距2．点面距求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距，平面法向量→点到平面点的向量→求点面距
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
1.已知A(0, 0, 2) ，B(1, 0, 2) ，C(0, 2, 0) ，则点A到直线BC的距离为
解析　∵A(0, 0,2)，B(1, 0,2)，C(0, 2,0)，
∴点A到直线BC的距离为
2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是
解析　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1) ，
设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y，1) ，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
4.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________.
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，则点A到平面EFG的距离为________.
解析　建系如图，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，
令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B1E的距离；(2)求直线FC1到直线AE的距离；(3)求点A1到平面AB1E的距离；(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB到平面D1CB1的距离.
3.点线距求解方法线线距实质上都是求点线距，直线方向向量→点到直线点的向量→求点线距4．点面距求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距，平面法向量→点到平面点的向量→求点面距
1.直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,点P到直线l的距离为
2.点P到平面α的距离为