数学选择性必修 第一册空间向量的应用同步测试题

这是一份数学选择性必修 第一册空间向量的应用同步测试题，共8页。

一、单项选择题
1.空间内有三点P(3,1,−4)，E(2,1,1)，F(1,2,2)，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. 14 B. 32 C. 3 D. 23
2.已知平面α的一个法向量n=(−2,−2,1)，点A(−1,3,0)在平面α内，则点P(−2,1,4)到平面α的距离为（ ）
A. 10 B. 3 C. 83 D. 103
3.已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量，若cs⁡⟨m,n⟩=−32，则l与α所成的角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”。在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD=2，M为AD的中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为（ ）
A. 32 B. 33 C. 3−12 D. 3−36
5.在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=∠ABC=90∘，PA=BC=1，PB=AC=2，E是AB的中点，则二面角B−PC−E的余弦值为（ ）
A. 154 B. 108 C. 104 D. 158
6.设a=(1,1,0)，b=(t,0,1)分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60∘，则实数t的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. -1或1 D. 2
二、多项选择题
7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则下列结论中正确的是（ ）
A. AC⊥BD B. AB=AC
C. AB与CD所成的角为60∘ D. AB与平面BCD所成的角为60∘
8.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90∘，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. EF与AC1所成的角为60∘ B. 直线B1C与平面DEF所成的角为60∘
C. 平面DEF与平面ABC的夹角为45∘ D. 直线B1C1到平面DEF的距离为322
9.在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=3，BD=2，CD=4，平面ABD与平面BCD的夹角为π3，则AC的长度可能为（ ）
A. 17 B. 23 C. 35 D. 41
三、填空题
10.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=60∘，PA=2，记平面PAD与平面PBC的交线为l，则直线l到直线BC的距离为______.
11.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO=AB=4，AC=BC，D为SO的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为______.
12.如图，在三棱锥P−ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，G是△PAB的重心，则异面直线PG与BC之间的距离为______.
四、解答题
13.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点。
（1）求异面直线AB1与FC所成角的余弦值；
（2）求直线AA1与平面AB1E所成角的正弦值。
14.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，DE⊥DC，AB=AD=BC=EF=2，CD=4，CF=23。
（1）证明：DE⊥BC；
（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值。
15.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=3AA1=2A1B1=6，AA1⊥平面ABCD。
（1）求直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值；
（2）若棱BC上有一点P使得二面角P−AD1−D的余弦值为211，求线段BP的长。
一、单项选择题
1.答案：A
解析：先求向量EF=(−1,1,1)（E(2,1,1)，F(1,2,2)），EP=(1,0,−5)（P(3,1,−4)）。
点到直线距离公式：d=|EP|2−EP⋅EF|EF|2。
计算得|EP|2=26，EP⋅EF=−6，|EF|=3，代入得d=26−12=14。
2.答案：D
解析：点到平面距离公式：d=|AP⋅n||n|（A在平面内，n为法向量）。
AP=(−1,−2,4)（A(−1,3,0)，P(−2,1,4)），n=(−2,−2,1)，
计算得AP⋅n=10，|n|=3，故d=103。
3.答案：B
解析：线面角θ满足sin⁡θ=|cs⁡⟨m,n⟩|（m为直线方向向量，n为平面法向量）。
已知cs⁡⟨m,n⟩=−32，则|cs⁡⟨m,n⟩|=32，故θ=60∘。
4.答案：B
解析：建系：B(0,0,0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，D(2,2,0)，M(1,1,1)（M为AD中点）。
CM=(−1,1,1)，AB方向向量u=(0,0,1)，
异面直线夹角余弦值：|CM⋅u||CM|⋅|u|=13=33。
5.答案：C
解析：建系：A(0,0,0)，C(2,0,0)，P(0,0,1)，B32,32,0，E34,34,0。
平面BPC法向量n1=(3,1,23)，平面EPC法向量n2=(3,5,23)，
二面角余弦值：|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=204×210=104。
6.答案：C
解析：两平面夹角满足|cs⁡⟨a,b⟩|=cs⁡60∘=12（a,b为法向量）。
a⋅b=t，|a|=2，|b|=t2+1，代入得|t|2t2+1=12，解得t=±1。
二、多项选择题
7.答案：ABC
解析：建系：O(0,0,0)（BD中点），B(1,0,0)，D(−1,0,0)，C(0,1,0)，A(0,0,1)。
A：AC=(0,1,−1)，BD=(−2,0,0)，AC⋅BD=0，垂直，正确；
B：|AB|=2，|AC|=2，相等，正确；
C：AB=(1,0,−1)，CD=(−1,−1,0)，夹角余弦值12，夹角60∘，正确；
D：AB与平面BCD所成角为45∘（非60∘），错误。
8.答案：CD
解析：建系：C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，D(1,0,0)，E(2,0,1)，F(1,1,0)。
A：EF=(−1,1,−1)，AC1=(−2,0,2)，点积为0，夹角90∘，错误；
B：直线B1C与平面DEF所成角为30∘（非60∘），错误；
C：平面DEF法向量n=(1,0,−1)，与平面ABC法向量(0,0,1)夹角45∘，正确；
D：直线B1C1到平面DEF的距离为322，正确。
9.答案：AD
解析：建系：B(0,0,0)，D(2,0,0)，A(0,a,b)，C(2,c,d)。
平面ABD与BCD夹角为π3，得|ac+bd|=6。
AC=4+(a2+b2)+(c2+d2)−2(ac+bd)，代入a2+b2=9，c2+d2=16，
得AC=29∓12，即17或41，正确。
三、填空题
10.答案：19
解析：建系：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，P(0,1,3)。
平面PAD（x=0）与PBC交线l：x=0，z=3；BC：x=4，z=0。
两平行线距离为(4−0)2+(3−0)2=19。
11.答案：53
解析：建系：O(0,0,0)，S(0,0,4)，A(−2,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，N(−1,0,1)。
平面SBC方程：2x+2y+z−4=0，点N到平面距离为|−2+0+1−4|3=53。
12.答案：3
解析：建系：P(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，G(1,1,0)。
异面直线PG（过P，v1=(1,1,0)）与BC（过B，v2=(0,−1,1)）距离：
|(PB)⋅(v1×v2)||v1×v2|=33=3。
四、解答题
13.解：
建系：D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E(0,0,12)，F(1,1,12)。
（1）AB1=(0,1,1)，FC=(−1,0,−12)，
夹角余弦值：|AB1⋅FC||AB1|⋅|FC|=122×52=1010。
（2）AA1方向向量u=(0,0,1)，平面AB1E法向量n=(1,−2,2)，
线面角正弦值：|u⋅n||u|⋅|n|=23。
14.解：
建系：D(0,0,0)，C(4,0,0)，E(0,0,22)，F(2,0,22)，A(1,3,0)，B(3,3,0)。
（1）DE=(0,0,22)，BC=(1,−3,0)，DE⋅BC=0，故DE⊥BC，得证。
（2）AF=(1,−3,22)，平面BDF法向量n=(2,−6,−1)，
线面角正弦值：|AF⋅n||AF|⋅|n|=2223×3=69。
15.解：
建系：A(0,0,0)，B(6,0,0)，C(6,6,0)，D(0,6,0)，A1(0,0,2)，B1(3,0,2)，C1(3,3,2)，D1(0,3,2)。
（1）DD1=(0,−3,2)，平面BCC1B1法向量n=(2,0,3)，
线面角正弦值：|DD1⋅n||DD1|⋅|n|=613×13=613。
（2）设P(6,t,0)，平面PAD1法向量m=(t,−6,9)，平面AD1D法向量u=(1,0,0)，
由|t|t2+117=211，解得t=2，故BP=2。