人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用随堂练习题
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用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习
一、选择题
- 若直线l的方向向量2，，平面的一个法向量，若，则实数
A. 2 B. C. D. 10
- 设的方向向量为2，，的方向向量为3，，若，则m等于
A. 1 B. 2 C. D. 3
- 若直线l的方向向量为1，，平面的法向量为，且，则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
- 已知5，，1，，若，y，，且平面ABC，则实数x、y、z分别为（ ）
A. ，，4 B. ，，4 C. ，，4 D. 4，，
- 已知O为坐标原点，向量，点，若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为
A. B. C. D.
- 如图，在正方体中，分别是的中点，则下列判断错误的是
A. B. 平面
C. 平面ABCD D.
- 平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（ ）
A. ，平行 B. ，垂直 C. ，重合 D. ，不垂直
- 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）
A. 0，，0，
B. 3，，0，
C. 2，，1，
D. ，3，
- 若平面的一个法向量为2，，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合
- 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是
A. 点P的坐标为0， B.
C. 可能为 D.
- 平面的法向量1，，平面的法向量y，，已知，则等于
A. B. C. 3 D.
- 若平面，的法向量分别为，，则
A. B.
C. ，相交但不垂直 D. 以上均不正确
二、填空题
- 已知点4，，3，，2，，若直线平面ABC，直线l的方向向量为m，，则________．
- 已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．
- 设，分别是平面，的法向量，，若，则实数___________．
- 在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点3，若y，是平面上任意一点，则点P的坐标满足的方程是__________________．
三、解答题
- 如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，在四边形ABCD中，，，，点M在PB上，，PB与平面ABCD成的角．用空间向量知识证明：
平面PAD；
平面平面PAD．
- 如图，在正方体中，E，F分别为底面和侧面的中心．
求证：；
平面；
平面平面
- 如图，在长方体中，，E为CD的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
- 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点．
求直线AD与平面PBC的距离；
若，求二面角的平面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：直线l的方向向量，
平面的一个法向量，，
，
，解得．
故选A．
2.【答案】B
【解答】
解：，
解得，
故选B．
3.【答案】C
【解答】
解：因为直线l的方向向量为1，，平面的法向量为，且，
所以存在实数，使得1，，
所以
解得，．
故选C．
4.【答案】B
【解答】
解：，
，解得．
．
平面ABC，平面ABC，平面ABC，
，，
，．
，
解得．
，，．
故选：B．
5.【答案】A
【解答】
解：点E在直线AB上，故，
且，，
故点E的坐标为，
故选A．
6.【答案】D
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系：
设正方体棱长为2，
则0，，2，，，
2，，，2，，1，，
则，，
，，
，，故A正确；
，，
，平面，
平面，故B正确；
根据，，
可知，MN和AB不平行，故MN和不平行，故D错误；
易求得平面ABCD的一个法向量为，
则，又平面ABCD，
平面ABCD，故C正确．
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：平面的法向量，平面的法向量，
因为，
所以两个平面垂直．
8.【答案】D
【解答】
解：若，则，
经验证只有选项D中，
故选D．
9.【答案】C
【解答】
解：由题意可得2，，，
，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直，
故选C．
10.【答案】C
【解答】
解：由题意可得0，，2，，0，，2，，
所以，2，．
设则
取，可得．
因为，，所以平面PAB，
所以平面平面PAB，所以，
所以．
综上所述，A，B，D错，C正确．
故选C．
11.【答案】A
【解答】
解：由题意知，，，
即解得，，，
．
故选A．
12.【答案】C
【解答】
解：因为，，
所以与不平行且与不垂直，
故选C．
13.【答案】2
【解答】
解：由题意知是平面ABC的一个法向量，
，，
解得．
故答案为2．
14.【答案】
【解答】
解：因为直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，，则有和平行，故有，解之得，，则故答案为．
15.【答案】4
【解答】
解：因为，所以，
即，
解得．
故答案为4．
16.【答案】
【解答】
解：由题意知，
所以，
因为，，
所以，
即．
故答案为．
17.【答案】证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．
平面ABCD，
为PB与平面ABCD所成的角，
．
，，，
1，，0，，4，，0，，M，
，3，，
0，
方法一令y，为平面PAD的法向量，则即
令，得2，．
，．
又平面PAD， 平面PAD．
方法二1，，4，．
令，
则解方程组得
．
由共面向量定理知与，共面，
又平面PAD，
平面PAD．
取AP的中点E，连接BE，
则2，，2，．
，．
又2，，3，，
，，又，
PA，平面PAD，
平面PAD，又平面PAB，
平面平面PAD．
18.【答案】证明：以点D为原点，DA，DC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则0，，0，，2，，2，，1，，2，，
，
因为，所以，
所以；
设平面的一个法向量为，
则，
即，，令，则，
因为，
所以平面；
由，同理求出平面的一个法向量，
所以平面平面．
19.【答案】解：以A为原点，，， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设．
Ⅰ证明：0，，1，，1，，，0，，
故1，，，
因为，所以．
Ⅱ假设在棱上存在一点0，，使得平面，
此时，
再设平面的一个法向量为y，，
0，，．
因为平面，
所以，，即
取，得，，得平面的一个法向量．
要使平面，只要，有，解得．
又平面，所以存在点P，满足平面，此时．
20.【答案】解：如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系．
设a，，则0，，a，，0，，0，
因此，0，，a，，a，
则，，
所以，又，所以平面PBC．
由，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为．
设平面AEC的法向量为
因为0，，．
所以，令，得，，所以．
设平面EDC的法向量为，
因为，0，，
所以，令，得，所以．
由图可知二面角的平面角为一锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为：．
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