人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精练

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系-同步练习

时间：80分钟

一、单选题

1．已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（    ）

A．垂直 B．平行 C．相交 D．平行或直线在平面内

3．已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（    ）

A．4 B．-4 C．5 D．-5

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（    ）

A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直

B．EF⊥A1D，EF⊥AC

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1异面

5．如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（    ）

A．  B．

C． D．

6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B．

C． D．与斜交

二、填空题

7．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．

8．已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.

9．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)

10．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．

11．在三棱锥中，，，，，则直线SC与BC的位置关系是______.

12．已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为_____.

三、解答题

13．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：．

14．四边形为正方形，平面，，.求证：平面.

15．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．

16．如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上．已知，，，．

（1）求证：；

（2）若点是线段上一点，且，求证：平面平面．

17．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：

（1）MN∥平面CC1D1D；

（2）平面MNP∥平面CC1D1D．

18．如图，已知，平面，四边形是正方形，点在线段上，且．

（1）证明：；

（2）证明：平面．

参考答案

1．D

2．D

3．D

4．B

5．D

6．B

7．0

8．

9．是

10．3

11．垂直

12．(-1,0,2)

13．证明：由题意，在四棱锥中，平面ABCD，

底面四边形ABCD为直角梯形，．

以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，

建立空间直角坐标系：

则，，，，．

因为Q为PD的中点，所以，

所以，，

所以，所以．

14．如图所示，以为坐标原点，线段的长为单位长度，为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得，

则，所以时平面的一个法向量，

又因为，且，即且平面，

所以平面.

15．证明：因为平面ABCD，

所以，．

又，

所以PA，AB，AD两两垂直．

以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，．

因为点M为PC的中点，所以，故．

又，，

所以．

所以，，为共面向量．

又平面PAB，

所以平面PAB．

16．（1）如图所示，以为坐标原点，射线为轴正半轴，射线为轴正半轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

于是，，

所以，

所以，即．

（2）在中，，，所以．

又，且点在线段上，所以．

又，所以，

则，

所以，即．

又，，

所以平面，所以平面．

又平面，所以平面平面．

17．（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向

分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，

D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).

由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，

所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.

由于＝(0，1，－1)，

则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，

所以⊥.

又MN⊄平面CC1D1D，

所以MN∥平面CC1D1D.

（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，

由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，

则，

即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，

所以平面MNP∥平面CC1D1D.

18．（1）设与交于点，与交于点，连接，设，

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，

所以，，

，所以即；

（2）设，因为，所以，

即

解得：，，，

即，所以

设，则，

即，解得：，，

即所以，，共面，

又平面，所以平面.