数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用精品课堂检测

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习人教  A版（2019）高中数学选择性表示第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为       

A.  B.  C.  D.

2. 在正方体中，设M为线段BC的中点，则下列说法正确的是

A.  B. 平面
C.  D. 平面

3. 已知直线l的一个方向向量，且直线l过y，和2，两点，则

A. 0 B. 1 C.  D. 3

4. 若直线l的方向向量为1，，平面的法向量为，且，则

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 如图，直三棱柱中，侧棱长为2，，，点D是的中点，F是侧面含边界上的动点要使平面，则线段的长的最大值为     

A.
B.
C.
D.

6. 已知空间中三点，，，则   

A. 与是共线向量
B. 与向量方向相同的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面ABC的一个法向量是

7. 两平面，的法向量分别为，，若，则的值是．

A.  B. 6 C.  D.

8. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则   

A.  B.  C. 或 D. l与斜交

9. 已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合，那么下列说法中正确的有
   
   ．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10. 已知平面内两向量1，，2，且若为平面的法向量，则m，n的值分别为       

A. ，2 B. 1， C. 1，2 D. ，

11. 在正方体中，E，F，G，H分别为AB，，，的中点，下列结论中，错误的是     

A.  B. 平面
C.  D.

12. 我国古代数学名著九章算术第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”今有“阳马”，，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：
    平面AEF；平面PAC；平面平面AEF；平面平面PCD．
    其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 平面的一个法向量1，，如果直线平面，则直线l的单位方向向量是          ．
14. 如图，在正四棱锥中，，点M为的中点，若，则实数          ．

15. 已知平面和平面的法向量分别为，，若，则          

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 在长方体中，，，点E在棱AB上移动，则直线与所成角的大小是          ，若，则          ．
17. 在平面ABC中，，，，若，且a为平面ABC的法向量，则          ，          ．
18. 直线l的方向向量为0，，则          ，若平面的法向量为0，，则直线l与平面的位置关系          填“平行”或“垂直”．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 若，，是平面内的三点，若平面的法向量，求x：y：z的值
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，直三棱柱底面中，，，棱， M是的中点．
    
    
     

求，的值；

求证：．






 

21. 在棱长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
    求EF的长；
    证明：平面；
    证明：平面．
    
     

22. 已知矩形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，交线为AB，，，且，，点M是棱CF的中点．

求证：平面ABEF．






 

23. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．
     
    
    求证：平面PEC．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共线及数量积运算，同时考查垂直的条件，属于基础题．
由，利用数量积求解即可．

【解答】

解： 由已知设，

则，

因为，

所以，

所以，

即H的坐标为．

故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面垂直，线线垂直，线面平行，线面垂直的判定，属于拔高题．
建立适当坐标系，找到相应向量，利用向量的数量积验证平行垂直，进而验证各个选项的正误，得到正确选项．

【解答】

解：建立如图坐标系：

设正方体的边长为2．
则有，，
，，．
A：由上可知：，
，
即与不垂直，故A错误；
B：由图可知是平面的一个法向量，
即．
可知：，
可得向量与不垂直，
即与平面不平行，故B错误；
C：由上可知：，
则，
可得，故C正确；
D：设平面的法向量为．
，


令，解得：，．
即，
，
即与不平行，可得与平面不垂直，故D错误．
故选C．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线的方向向量，属于基础题．
根据，即可得出．

【解答】

解：．
．
，，．
解得，．
．
故选：A．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量在直线与平面位置关系中的应用，属于基础题．
由直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，得出关系式求出m的值即可．

【解答】

解：因为直线l的方向向量为1，，平面的法向量为，且，
所以存在实数，使得1，，
所以
解得，．
故选C．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查线段长的最大值的求法，考查利用空间向量证明线线垂直，考查运算求解能力，属于拔高题．
取上靠近的四等分点为E，连接DE，当点F在DE上时，平面，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明，由此可证平面，即可得解．

【解答】

解：取上靠近的四等分点为E，连接DE，
当点F在DE上时，平面，
证明如下：因为直三棱柱中，
侧棱长为2，，，点D是的中点，
所以平面，
所以．
以为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

所以0，，1，，，1，，
即1，，，
此时，即．
又，DE，平面，
所以平面，
故当F在DE上时，平面，
很明显，当E，F重合时，线段最长，此时．
故选A．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量共线的判断，考查单位向量和向量的数量积运算，考查平面的法向量的求解，属于中档题．
可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可．

【解答】

解：1，，2，，不存在使得，所以与不共线，所以A错误
，与向量方向相同的单位向量为，所以B错误
1，，所以，所以C错误
设平面ABC的法向量是y，，
则，即，
令，可得，，所以平面ABC的一个法向量是，所以D正确．
故选D．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查平面垂直的性质，是基础题．由面面垂直的性质得，由此能求出．

【解答】

解：平面，的法向量分别为，
，
，
．
故选B．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量判定线面的垂直、平行关系，属于基础题．
易得，即，所以或，即可得出结论．

【解答】

解：因为0，，1，，
所以，即，
所以或．
故选C．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用空间向量判定直线与平面、平面与平面的平行与垂直，属于基础题．
利用直线的方向向量与平面的法向量结合空间向量判定线面、面面平行与垂直的方法逐个判断解答．

【解答】

解：平面，不重合；
平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；
正确；
直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量，
等价于直线l垂直平行或包含于于平面；
都错误．
故选B．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算，考查向量的垂直运算，属于中档题．
求出坐标，利用列出方程组，求解即可．

【解答】

解：向量，，
则，
由于为平面的法向量，
则，
即
解得，，
故选A．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量去解决是关键属于基础题．
建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的垂直与共线的判断方法，判断向量垂直还是共线，即可得出结论．
 

【解答】

解：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则0，，，1，，1，，1，，，0，，0，，1，，
则，1，，0，，0，，，
平面的一个法向量为1，，
所以，，，，
故B，C，D中结论正确，A中结论错误．
故选A．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查空间直线与平面、平面与平面的垂直的判定，属于中档题．
可建立空间直角坐标系，之后可令，得出相关点的坐标，最后利用空间向量逐一对题中四种说法进行论证．

【解答】

证明：因为“阳马”，
平面ABCD．
又平面ABCD，平面ABCD，
，
建立如图空间直角坐标系，

令，
则，
，F分别为棱PB，PD的中点，
，

，
所以PB与平面AEF不垂直，错误；

，，
所以
又，，
，正确；
，
令平面AEF的法向量为，
则，即
取，则，
故．
同理可得平面PBD，平面PCD法向量分别为，
，，
平面PBD与平面AEF不垂直错误
，，
平面平面PCD，正确．
故选D．

13.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查直线的方向向量和平面的法向量，以及向量模的计算，属于基础题．
根据直线l的方向向量平行于平面的法向量求解．

【解答】

 解： 如果直线平面，则直线l的方向向量平行于平面的法向量，
所以，
又，即，
所以，故直线l的单位方向向量是 或．
故答案为．

14.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题考查实数值的求法，考查空间向量的坐标运算，属于中档题．
连接AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数．

【解答】

解：连接AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设，

则0，，，0，，0，，，，
设b，，则，
，
，
，
，
，，
，
，
解得实数．
故答案为4．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量在面面垂直中的应用，属于基础题．
由得，求解即可．

【解答】

解：由题意，得，
解得，
故答案为．

16.【答案】

1

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角、直线垂直判定，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设t，，，分别求出t，，0，，由．，能求出直线与所成角的大小，能求出AE的长．

【解答】

解：在长方体中，，，点E在棱AB上移动，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，0，，0，，0，，2，，
设t，，，
则t，，0，，
，直线与所成角为．

．
，．
解得
故答案为，1．

17.【答案】1     

0   

【解析】

【分析】

本题考查平面的法向量，属于基础题．

根据平面的法向量垂直于平面内的任意向量，表示出平面内的两个不共线的向量，再结合向量垂直的数量积公式即可求解．

【解答】

解：，，
为平面ABC的法向量，

则，即，

即，解得．

故答案为：1；0

18.【答案】

垂直

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模，共线向量、利用向量判断线面位置关系，属于基础题．

利用向量模的求法、利用向量判断线面位置关系即可判断得出．

【解答】

解：0，，0，，
，

又， 
，
因此．
故答案为：；垂直．

19.【答案】解：
，

．
 

【解析】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，以及平面的法向量的概念，属于基础题．
先根据法向量的定义求出法向量，再确定法向量的坐标的比值即可．
 

20.【答案】解：以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

0，，1，，0，，1，，
，1，，
，．
证明：0，，1，，0，，，
1，，，，
．
 

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查异面直线及其所成的角，建立空间直角坐标系求得所需各点与向量的坐标是关键，考查分析与运算能力，空间转化的能力，属于中档题．
以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，得到，1，，即可得解；
根据题意得到1，，，，即可得解．
 

21.【答案】解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则0，，0，，2，，2，，0，，0，，
，F分别为AB，的中点，1，，1，，0，，
．
0，，，
又平面，平面，
平面D.
，0，，
，，，，
又，CD、平面，
平面．
 

【解析】本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直．用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标．
建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，代入向量的模长公式求解；
求出的坐标表示，利用坐标关系判断，再利用线面平行的判定定理证明；
利用，，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明．
 

22.【答案】解：平面平面ABCD，平面平面，
，平面ABEF，
平面ABCD，
同理平面ABEF，
又，
如图，建立空间直角坐标系，
 

则0，，0，，0，，
2，，1，，
，平面ABEF的一个法向量，

，
，
平面ABEF，
平面ABEF．

【解析】本题考查由空间向量法证明线面平行，属于中档题．
由题意建立空间直角坐标系，由垂直于平面ABEF的一个法向量，证得线面平行；
 

23.【答案】证明：依题意，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

依题意，可得0，，4，，4，，
0，，0，，4，，0，．
取PC的中点M，连接EM．
因为2，，，，
所以，所以．
又因为平面PEC，平面PEC，
所以平面PEC．
 

【解析】本题考查线面平行的证明，考查向量法的应用，属于中档题．
以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，取PC的中点M，连接推导出，由此能证明平面PEC．